單級倒立擺系統(tǒng)建模與控制器設(shè)計(jì)

單級倒立擺系統(tǒng)的建模與控制器設(shè)計(jì)一、簡介倒立擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺。二、應(yīng)用1.機(jī)器人的站立與行走類似于雙倒立擺系統(tǒng)。2.火箭等飛行器的飛行過程中，為保持正確的姿態(tài)，要不斷進(jìn)行實(shí)時控制。由于倒立擺與雙足機(jī)器人、火箭飛行控制和各類伺服云臺穩(wěn)定有很大的相似性，因此對倒立擺控制機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義。倒立擺的控制方法線性理論控制方法非線性理論控制方法二、單級倒立擺的建模與分析1.單級倒立擺系統(tǒng)的建模單級倒立擺系統(tǒng)的建模屬于單一剛性鉸鏈，兩自由度動力學(xué)問題，忽略空氣流動和摩擦后，可將小車倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。如圖：F加在小車上的力x小車的位移φ桿與垂直向上方向的夾角θ擺桿與垂直向下方向的夾角M小車質(zhì)量0.5kgm擺桿質(zhì)量0.2kgl擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度0.3mI擺桿慣量0.006小車和擺桿的受力圖應(yīng)用牛頓方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程對桿垂直方向上的受力進(jìn)行分析，可以得到：擺桿的力矩平衡方程：線性化后運(yùn)動方程:得：狀態(tài)空間表達(dá)式單級倒立擺系統(tǒng)的模型分析根據(jù)小車質(zhì)量，擺桿質(zhì)量，擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度和擺桿質(zhì)量的具體數(shù)值，用Matlab求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣。程序1.M=0.5;m=0.2;I=0.006;g=9.8;l=0.3;

A=[0100003*M*g/(4*M+m)00001003*(M+m)*g/((4*M+m)*l)0];B=[04/(4*M+m)03/((4*M+m)*l)];C=[10000010];D=[00];根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，對于一階倒立擺，如果沒有加以控制，當(dāng)擺桿有一個小的偏角時，或者擺桿初始位置在豎直狀態(tài)但小車受到一個初始干擾外力，擺桿必然會倒下來，也就是說，上述倒立擺模型中的零平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。下面我們將進(jìn)一步通過Matlab仿真來對這一現(xiàn)象進(jìn)行考證。首先，我們考證擺桿不受外力干擾，但是擺桿有一個小的初始偏角的情況。

擺桿不受外力干擾但是擺桿有一個小的初始偏角程序2系統(tǒng)開環(huán)初值響應(yīng)曲線由系統(tǒng)的開環(huán)初值響應(yīng)曲線可知，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這與我們的經(jīng)驗(yàn)是相符合的。擺桿初始位置在豎直狀態(tài)，但是小車收到一個脈沖干擾的情況。MATLAB程序如下：系統(tǒng)開環(huán)脈沖響應(yīng)曲線由系統(tǒng)的開環(huán)脈沖干擾響應(yīng)曲線可知，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這與我們的經(jīng)驗(yàn)也是相符合的。最后，我們通過比較嚴(yán)格的手段來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。我們知道，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)矩陣的特征值決定，若系統(tǒng)矩陣的特征值的實(shí)部均不大于零，則系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。下面，我們將根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值來判斷開環(huán)系統(tǒng)的的穩(wěn)定性。求開環(huán)系統(tǒng)矩陣特征值的Matlab源程序如下圖：顯然，因?yàn)橄到y(tǒng)有一個特征值為正實(shí)數(shù)5.5841，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。單級倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)單級倒立擺系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)單級倒立擺系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是：通過對小車的左右移動使得擺桿保持在豎直的位置。且對于小車所給的階躍輸入信號，滿足如下設(shè)計(jì)指標(biāo)：1、小車位置x和擺桿角度θ的穩(wěn)定時間小于5秒；2、位置x的上升時間小于0.5秒；3、擺桿角度的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）。單級倒立擺系統(tǒng)的能控性分析采用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)倒立擺系統(tǒng)的控制器。為此，首先需要分析系統(tǒng)的能控性。下面采用matlab來分析系統(tǒng)的能控性，分析M程序如下：于是，可以得知系統(tǒng)的能控性矩陣的秩為4，因此該系統(tǒng)是能控的。故可以采用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)倒立擺系統(tǒng)的控制器。單級倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)為了滿足給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)，我們選取系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為:其它極點(diǎn)為：設(shè)系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋控制律為：其中，v為外部參考輸入信號，增益矩陣K采用極點(diǎn)配置方法進(jìn)行求取，可以采用Matlab中的函數(shù)來直接進(jìn)行計(jì)算。采用Matlab求取極點(diǎn)配置控制器源程序如下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：其中：閉環(huán)系統(tǒng)仿真分析為了驗(yàn)證我們所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，我們就需要對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。首先，我們考察擺桿不受外力干擾，但是擺桿有一個小的初始偏角的情況。仿真程序如下：由系統(tǒng)的閉環(huán)初值響應(yīng)曲線可知，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，擺桿在有初始偏角的情況下能保持在豎直位置。閉環(huán)階躍響應(yīng)程序如下：由閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線可知，對x和θ的過渡過程時間為小于5s,對x的上升時間小于0.5s,θ的最大擺度為0.0068,全部符合性能指標(biāo)要求。PID控制設(shè)計(jì)分析由以下公式：經(jīng)過拉普拉斯變換可得以下公式由于輸出為角度φ，求解方程組的第一個方程，可以得到：角度與位置的傳遞函數(shù)：如果令

V=X’’，得到角度與速度的傳遞函數(shù)：把上式代入方程組的第二個方程，得到總的傳遞函數(shù)為：首先，對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上的情況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下：圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對象傳遞函數(shù)?？紤]到輸入r(s)=0，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成：由前可以得到擺桿角度和小車加速的傳遞函數(shù)：即：matlab調(diào)試模型matlab調(diào)試模型及結(jié)果如下：由以上仿真圖可以看出PID的不同值，可以得到不同的控制結(jié)果：通過仿真圖也可以看出有反饋時系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定狀