新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1空間向量及其運算2空間向量基本定理學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE7空間向量基本定理課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解共面向量定理以及空間向量基本定理，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題.2.了解空間向量的基底、基向量及向量的線性組合的概念，并能應(yīng)用其解決有關(guān)問題.1.數(shù)學(xué)抽象——能理解共線向量基本定理、共面向量定理以及空間向量基本定理.2.邏輯推理——能運用空間向量基本定理和共面向量定理證明空間向量共線和共面問題.自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句要點一共面向量定理1.共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在①唯一的實數(shù)對(x,y)，使c=②x2.判斷空間中四點共面的方法由共面向量定理還可得到判斷空間中四點是否共面的方法:如果A，B，C三點③不共線，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x,y)，使AP=x要點二空間向量基本定理1.空間向量基本定理（1）空間向量基本定理如果空間中的三個向量a，b，c④不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=x（2）線性組合空間向量基本定理中,p用a，b，c表示的表達(dá)式p=xa+yb+zc唯一.特別地，當(dāng)a，b表達(dá)式xa+yb+zc一般稱為向量a2.基底空間中不共面的三個向量a，b，c組成的集合{a,b,c}，常稱為空間向量的一組基底.此時，a，b，c都稱為⑤基向量；如果p=xa+y自主思考1.為何要規(guī)定向量a，b不共線?答案：提示若向量a，b共線，則對于任意的向量c，向量a，b，c都共面.2.如何由共面向量定理得到判斷空間中四點共面的方法?答案：提示若四點中的任意三點不共線，連接任意兩點的有向線段表示的向量，其中一個都可以用另外兩個線性表示，則四點共面.3.若空間中的三個向量a，b，c不共面，且AB=xa+yb+zc=2答案：提示x=2，y=-3，z=1.4.給出空間中的三個向量a，b，c，空間中的任意一個向量都可以用這三個向量來表示嗎?答案：提示只有這三個向量不共面時才可以.5.空間向量的基底唯一嗎?答案：提示不唯一，只要是不共面的三個向量都可以作為空間向量的一組基底.名師點睛對基底的三點說明（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一組基底；（2）基底中的三個向量不共面；（3）一組基底是由三個不共面的向量構(gòu)成，一個基向量是指基底中的某一個向量.互動探究·關(guān)鍵能力探究點一空間向量的共面問題精講精練例（1）（2021山東棗莊八中高二檢測）已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O，都有OM=xOA+A.1B.0C.3D.1（2）對于任意空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，如圖，則EF與BC，AD是否共面？若共面，請證明；若不共面，請說明理由.答案：（1）D解析：（1）因為OM=xOA+13OB+13OC，且M，答案：（2）EF與BC，AD共面.證明如下：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，則EF=EA+又E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，則EA=-EB，將②代入①中，再將兩式相加得2EF所以EF=12AD+12解題感悟證明空間向量共面或四點共面的方法（1）向量共面：充分利用題干條件將其中一個向量表示成另兩個向量的線性組合，即若p=xa+yb，則向量p，（2）四點共面：若存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對于空間任一點O和不共線的A，B，C三點，有OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1成立，則P，遷移應(yīng)用1.（多選）若a，b，c不共面，則()A.b+c，b-c，a共面B.b+C.b+c，a，a+b+c共面D.答案：B;C;D解析：∵2b=(b+c)+(b∵a+b+c=(b∵a+c=(a-2c對于A選項，若設(shè)b+c=λ（解得λ=1,-λ=1,μ=0,無解，因此b+c，2.（多選）已知點P為三棱錐O-ABC的底面ABC所在平面內(nèi)的一點，且OP=12OA+mA.1，12B.12，1C.-1答案：A;C解析：∵OP=12OA+mOB-nOC∴12+m-n=1?m-n=12，∴m=1，n=12和m=-1探究點二空間向量基本定理精講精練例（1）已知{a,b,c}是空間向量的一組基底，則可以與向量p=A.aB.bC.a+2b（2）（2020山東青島二中期末）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，A1A.13，23，23B.23C.23，23，13D.23答案：（1）D（2）C解析：（1）易知只有a+2c與p，q不共面，故可以與p，∵A1M∵A1C=AC-AA解題感悟用基底表示向量的步驟（1）定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間向量的一組基底.（2）找目標(biāo)：用確定的基底（或已知基底）表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．（3）下結(jié)論：利用空間向量的一組基底a，b，c可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．遷移應(yīng)用1.（2020河南鶴壁一中高二檢測）在四面體OABC中，M，N分別是OA，BC的中點，P是MN的三等分點（靠近點N），若OA=a，OB=b，A.13aC.12a答案：B解析：如圖所示：OP2.設(shè)a，b，c是三個不共面的向量，現(xiàn)在從①a+b；②a-b；③a+c；④b+答案：③④⑤解析：構(gòu)成基底只要三個向量不共面即可，這里只要含有向量c即可，故③④⑤都可以選擇.探究點三空間向量基本定理的應(yīng)用精講精練例已知在平行六面體ABCD-A1B（1）求AD（2）求AC答案：（1）如圖，令A(yù)B=a，AD=b，∵AD1∴A（2）∵A∴|A∴|A變式本例的條件不變，求向量AC1與答案：AA所以向量AC1與AA解題感悟利用空間向量基本定理求空間向量的數(shù)量積、長度、夾角的技巧根據(jù)條件確定基底，一般用已知的向量（向量的長度已知，夾角已知等）作為一組基底，用基底表示要求的向量，可證平行、垂直．可求兩向量的數(shù)量積、夾角，可求向量的長度．遷移應(yīng)用1.（多選）（2021山東德州一中高二月考）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1CA.(B.AC.向量B1C與AD.BD1與AC答案：A;B解析：由題意可設(shè)棱長為1，則AA(AAC易知向量B1C∥A1所以向量A1D與AA1的夾角是120°,所以向量BD則|BD1BD所以cos<評價檢測·素養(yǎng)提升1.（多選）已知A，B，C，D，E是空間中的五點，若AB，AC，AD與AB，AC，AE均不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列結(jié)論正確的是()A.AB，AD，AE不能構(gòu)成空間向量的一組基底B.AC，AD，AE不能構(gòu)成空間向量的一組基底C.BC，CD，DE不能構(gòu)成空