軟件學(xué)生會學(xué)習(xí)部試卷線性代數(shù)第五章

§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化

設(shè)

A

為

n

階實(shí)對稱矩陣，本節(jié)的目的：Q的列向量是A的特征向量Q的列向量組標(biāo)準(zhǔn)正交

關(guān)鍵：求

A

的

n

個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。希望找到一個(gè)n階正交矩陣Q，使得

定義

元素為復(fù)數(shù)的矩陣和向量分別被稱為復(fù)矩陣和復(fù)向量。

則稱

為

的共軛矩陣。

定義

設(shè)為復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，

共軛矩陣有以下性質(zhì)：若A可逆,則

另外對任意n元復(fù)向量

都有且僅當(dāng)時(shí),等號成立。

說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對稱矩陣。定理實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。注1

實(shí)矩陣的特征值未必是實(shí)數(shù)，例如

一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量

注2

實(shí)對稱矩陣的特征向量都是實(shí)向量。

定理實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。

證明

A，實(shí)對陣矩陣；、，A的兩個(gè)不同的特征值；X、Y，A的分別對應(yīng)于、的特征向量。則

于是又-≠

0

，所以，即由此得X與Y正交。

二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化

定理

設(shè)是n階實(shí)對稱矩陣A的任一特征值，p、q分別為的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)，則p=

q。推論實(shí)對稱矩陣可相似對角化。

例已知矩陣

有特征值1(二重)和3，對應(yīng)的特征向量為容易驗(yàn)證，是正交向量組。令則是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。

令

則Q是正交矩陣且

例已知矩陣

有特征值2(二重)和-7，對應(yīng)的特征向量為

容易驗(yàn)證，但與不正交。對與進(jìn)行Schmidt正交化：

則與也是A對應(yīng)特征值2的特征向量。這樣，

(=)是兩兩正交的特征向量。再令

則是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。令則

Q是正交矩陣且

定理對任一n階實(shí)對稱矩陣A，存在n階正交矩陣Q，使得其中為矩陣A的全部特征值。實(shí)對稱矩陣

A

正交相似對角化的一般過程：是線性無關(guān)的特征向量

是兩兩正交的特征向量

是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量

其中，若令

則Q是正交矩陣且

例

求正交矩陣Q，使為對角矩陣，解∵∴

A的特征值為2(三重)和-2對，解得基礎(chǔ)解系正交化：單位化：對，解得基礎(chǔ)解系

令則取

例設(shè)A是3階實(shí)對稱矩陣，特征值為1(二重)和2，且已知A屬于2的一個(gè)特征向量。求A。

解設(shè)是A屬于1的特征向量，則，即解出它的一組基礎(chǔ)解系為

可證，恰為A屬于1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。令，則線性無關(guān)。取則

由此得（另法）把