等比數(shù)列性質(zhì)課件(1)-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

§3.1等比數(shù)列第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)

在等差數(shù)列{an}中，存在很多的性質(zhì)，如(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(2)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.(3)若l1，l2，l3，l4…ln成等差數(shù)列，則al1，al2，al3，al4，…aln也成等差數(shù)列．那么如果該數(shù)列為等比數(shù)列，能否求出等比數(shù)列的相類似的性質(zhì)呢？3．推廣的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝_________，an＝_________(m，n∈N*)．a(chǎn)1qn-1amqn-m{an}是等比數(shù)列，其中任意一項(xiàng)am，公比為q，就可寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式；2.深刻理解等比中項(xiàng)概念；3.熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法.課標(biāo)要求1.數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式；2.數(shù)學(xué)抽象：熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法.3.數(shù)學(xué)抽象：深刻理解等比中項(xiàng)概念；素養(yǎng)要求探究點(diǎn)1等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.②對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am·an＝ak2.兩項(xiàng)下標(biāo)和相等則積相等如a4·a6＝a52.a4·a8＝a62.如

a4·a6＝a3·a7=a2·a8.變式訓(xùn)練1(1)在等比數(shù)列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根,則a50的值為(

)A.10 B.16 C.±4 D.4(2)在等比數(shù)列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,則a3a4=(

)(2)在等比數(shù)列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9.又a3a4與a1a2的符號(hào)相同,故a3a4=3.答案:(1)C

(2)A

探究點(diǎn)3由等比數(shù)列衍生的新數(shù)列(1)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或qk2)的等比數(shù)列．a(chǎn)1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9…a1(1+q+q2),a4(1+q+q2),a7(1+q+q2),pq

(4)在{an}中,每隔k(k∈N*)項(xiàng)取出一項(xiàng),按原來(lái)順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為qk+1.如在{an}中，a1

，

a4，

a7，…也是等比數(shù)列(5).當(dāng)m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列時(shí)，am

,an

,ap

成等比數(shù)列.等比數(shù)列性質(zhì)的活用例2：

在等比數(shù)列{an}中,a2=2,a6=162.試求a10.解法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由an=am·qn-m,∴a6=a2·q4,即162=2·q4,得q4=81,∴a10=a6·q4=162×81=13

122.1.對(duì)任意等比數(shù)列{an},下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.a1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列 D.a3,a6,a9成等比數(shù)列解析:根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=2k(m,n,k∈N*),則am,ak,an成等比數(shù)列.即a3,a6,a9成等比數(shù)列.故選D.答案:D2.在等比數(shù)列{an}中,若a2=8,a5=64,則公比q為(

)A.2 B.3 C.4 D.8解析:由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2.答案:A3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.又a1+a3=21-a2=15,∴a1,a3是方程x2-15x+36=0的兩根3和12.【即時(shí)練習(xí)】8探究點(diǎn)2等比中項(xiàng)

思考：

若G2=ab,則a,G,b是否必成等比數(shù)列？

等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例3有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的和是16,中間兩個(gè)數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).所以,當(dāng)a=4,d=4時(shí),所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16;當(dāng)a=9,d=-6時(shí),所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.反思感悟等比數(shù)列的項(xiàng)的巧妙設(shè)法

延伸探究將本例中的條件改為“有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是-8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積為-80”,再求這四個(gè)數(shù).延伸探究將本例中的條件改為“有四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是-8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積為-80”,再求這四個(gè)數(shù).等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3為了治理“沙塵暴”,西部某地區(qū)政府經(jīng)過(guò)多年努力,到2016年底,將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%.從2017年開(kāi)始,每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象:原有沙漠面積的12%被綠化,即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲),同時(shí)原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠.問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾年的綠化,才能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò)50%?(可參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3,最后結(jié)果精確到整數(shù))解:設(shè)該地區(qū)總面積為1,2016年底綠洲面積為a1=40%=,經(jīng)過(guò)n年后綠洲面積為an+1,設(shè)2016年底沙漠面積為b1,經(jīng)過(guò)n年后沙漠面積為bn+1,則a1+b1=1,an+bn=1.依題意,an+1由兩部分組成:一部分是原有綠洲面積an減去被侵蝕的部分8%·an的剩余面積92%·an,另一部分是新綠化的12%·bn,所以1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)比較an-an-1=d（n≥2）

等差數(shù)列

等比數(shù)列

常數(shù)減—除加—乘加-乘乘—乘方迭加法迭乘法等比數(shù)列用“比”代替了等差數(shù)列中的“差”定義數(shù)學(xué)表達(dá)式通項(xiàng)公式證明通項(xiàng)公式,提示:由等差數(shù)列的性質(zhì)，猜想等比數(shù)列的性質(zhì){an}是公差為d的等差數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列性質(zhì)1：an=am+(n-m)d性質(zhì)2：若an-k,an,an+k是{an}中的三項(xiàng)，則2an=an+k+an-k猜想2：性質(zhì)3：若n+m=p+q,則am+an=ap+aq猜想1：

若bn-k,bn,bn+k

是{bn}中的三項(xiàng),則若n+m=p+q，則bn·bm=bp·bq猜想3：性質(zhì)4：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列公差為2d.(可推廣)性質(zhì)5:若{cn}是公差為d′的等差數(shù)列，則數(shù)列{an+cn}是公差為d+d′的等差數(shù)列.若{dn}是公比為q′的等比數(shù)列,則數(shù)列{bn?dn}是公比為q·q′的等比數(shù)列.猜想4：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列公比為(可推廣)猜想5：1.在等比數(shù)列{an}中,若a3=-9,a7=-1,則a5的值(

).A.是3或-3 B.是3C.是-3D.不存在又a3<0,a7<0,∴a5<0,∴a5=-3.C2.如果-1，a，b，c，-9成等比數(shù)列，那么(

)A.b=3，ac=9B.b=-3，ac=9C.b=3，ac=-9D.b=-3，ac=-9【解析】選B.∵b是－1，－9的等比中項(xiàng)，∴b2＝9，b