福建省福建師大附中2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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福建省福建師大附中2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.42.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.3.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.5.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知,,則等于().A. B. C. D.7.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.8.世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個(gè)正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限步后,一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個(gè)程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.9.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.10.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.11.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè),導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米12.已知集合,,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知角的終邊過(guò)點(diǎn),則______.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則滿足的x的取值范圍為______.15.設(shè)全集,集合,,則集合______.16.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,且二階矩陣M滿足AMB,求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量.18.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)設(shè)拋擲4次的得分為,求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)當(dāng)游戲得分為時(shí),游戲停止,記得分的概率和為.①求;②當(dāng)時(shí),記,證明:數(shù)列為常數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點(diǎn)在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在曲線上,且的最小值為,求的值.20.(12分)設(shè)(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)21.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬(wàn)元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過(guò)程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.22.(10分)已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為和一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長(zhǎng)方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點(diǎn)間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得,由取得最小值為,求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上,準(zhǔn)線方程,則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,則,所以拋物線方程:,設(shè),圓,圓心為,半徑為1,則,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義,點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.3、A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.4、B【解析】

采用排除法:通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過(guò)判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?,其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選A排除;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.5、C【解析】

將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因?yàn)殡p曲線,所以其漸近線方程為,又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.11、B【解析】

由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小,可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛¢L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小,可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng),故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算,屬于容易題.12、D【解析】

因?yàn)?,所以,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過(guò)點(diǎn),∴,,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減,最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡(jiǎn)不等式,解得結(jié)果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.15、【解析】

分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集,再由集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算求得答案.【詳解】由題可知,集合A中集合B的補(bǔ)集,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析:由題意得,因?yàn)閽佄锞€,即,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、特征值為1,特征向量為.【解析】

設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運(yùn)算和矩陣相等的條件可求矩陣M,然后利用可求特征值的另一個(gè)特征向量.【詳解】設(shè)矩陣M=,則AM=,所以,解得,所以M=,則矩陣M的特征方程為,解得,即特征值為1,設(shè)特征值的特征向量為,則,即,解得x=0,所以屬于特征值的的一個(gè)特征向量為.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的運(yùn)算及特征量的求解,矩陣運(yùn)算的關(guān)鍵是明確其運(yùn)算規(guī)則,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、(1)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為6;(2)①;②證明見解析【解析】

(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,分別求出兩種情況的概率,進(jìn)而可求得;②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,可知當(dāng)且時(shí),,結(jié)合,可推出,從而可證明數(shù)列為常數(shù)列;結(jié)合,可推出,進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8.每次拋擲一次硬幣,正面向上的概率為,反面向上的概率也為,則,.所以變量的分布列為:45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,概率的和為.②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,故且時(shí),有,則時(shí),,所以,故數(shù)列為常數(shù)列;又,,所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)利用消參法以及點(diǎn)求解出的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程;(2)將的坐標(biāo)設(shè)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標(biāo)方程為(2)的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當(dāng),時(shí)取得最小值即,∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值求參數(shù),難度一般.(1)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式:;(2)求解曲線上一點(diǎn)到直線的距離的最值,可優(yōu)先考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式,然后再去求解.20、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)將代入函數(shù)解析式可得,構(gòu)造函數(shù),求得并令,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況:當(dāng)時(shí),可知滿足題意;將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào),即可確定整數(shù)的最大值;當(dāng)時(shí)不滿足題意,因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論.【詳解】(1)證明:當(dāng)時(shí)代入可得,令,,則,令解得,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,所以,則,即成立.(2)函數(shù)則,若時(shí),當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞減,所以,即當(dāng)時(shí)成立;所以此時(shí)需滿足的整數(shù)解即可,將不等式化簡(jiǎn)可得,令則令解得,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)取得最小值,則,,,所以此時(shí)滿足的整數(shù)的最大值為;當(dāng)時(shí),在時(shí),此時(shí),與題意矛盾,所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論,綜上所述,當(dāng)時(shí),整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用,構(gòu)

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