2019-2020學(xué)年山東省棗莊市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2019-2020學(xué)年山東省棗莊市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】先對(duì)分子進(jìn)行化簡，然后再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題2．設(shè)α∈R，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，二：，三：，四：，六：與角的相關(guān)三角函數(shù)間的等量關(guān)系，即可知各選項(xiàng)的正誤【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式公式二，有公式四，有公式六，有公式二、三，有故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷相關(guān)三角函數(shù)的等式是否成立3．若事件A與B相互獨(dú)立，P（A）＝，P（B）＝，則P（A∪B）＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)事件A與B相互獨(dú)立，則P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.【詳解】因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，且P（A）＝，P（B）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率以及并集事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.4．在ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，則A＝（）A．或 B． C．或 D．【答案】B【解析】由正弦定理求出或，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】由正弦定理得因?yàn)?所以或，因?yàn)锽C＝1＜AB＝，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.5．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與BF所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接，則可得∥，從而可得與所成的角就是異面直線A1E與BF所成角，然后由已知可得≌,從而可得到結(jié)果【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，則,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)?，∥，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，∥因?yàn)?，∥，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以與所成的角就是異面直線A1E與BF所成角，由題意可知，,所以≌,所以，因?yàn)?，所以，所以，即與所成的角為，所以異面直線A1E與BF所成角為故選：D【點(diǎn)睛】此題考查異面直線所成的角，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題6．已知從某中學(xué)高一年級(jí)隨機(jī)抽取20名女生，測量她們的身高（單位：cm），把這20名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)從小到大排序：148.0149.0150.0152.0154.0154.0155.0155.5157.0157.0158.0159.0161.0162.0163.0164則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)就是這組數(shù)據(jù)排列后的第15個(gè)數(shù)，從而可得答案【詳解】解：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)從小到大已排序，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，即為故選：A【點(diǎn)睛】此題考查百分位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題7．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，則向量在上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先畫出圖形，根據(jù)投影的幾何意義，計(jì)算結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，，，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，是等腰三角形，是中點(diǎn)，，由圖可知向量在上的投影向量為，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎(chǔ)題型.8．θ為第二或第三象限角的充分必要條件是（）A．cosθ＜0 B．sinθ＜0 C．cosθtanθ＜0 D．sinθtanθ＜0【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)象限角的符號(hào)，由sinθtanθ，得到且求解.【詳解】因?yàn)閟inθtanθ，所以且，所以且，所以θ為第二或第三象限角.以上各步可逆.所以“sinθtanθ＜0”θ為第二或第三象限角的充分必要條件.所以故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件，必要條件的判斷以及三角函數(shù)象限角的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.9．已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．與可以作為基底C．+＝ D．﹣與方向相反【答案】B【解析】根據(jù)，得到，利用共線向量定理和平面向量基本定理可判斷A，B，C的正誤，再由﹣，判斷D即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，+＝，與不可以作為基底，﹣，所以﹣與方向相反.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線向量定理以及基本定理，屬于基礎(chǔ)題.10．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC、CC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．A1D⊥AFB．三棱錐A﹣BCF外接球的表面積為9πC．點(diǎn)C到平面AEF的距離為D．平面AEF截正方體所得的截面面積為【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，用反證法證明與不可能垂直，判斷A，證明的中點(diǎn)就是三棱錐外接球球心，求得球面積，判斷B，利用等體積法求得點(diǎn)C到平面AEF的距離判斷C，作出完整截面并求出面積判斷D．【詳解】A．如圖，取中點(diǎn)，連接，由于是中點(diǎn)，∴，而平面，∴平面，平面，∴，若，由于，∴平面，又平面，∴，但正方形中，是中點(diǎn)，不可能有，A錯(cuò)；B．設(shè)與交于點(diǎn)，則是的外心，取中點(diǎn)，連接，則，∴平面，∴是三棱錐外接球的球心，，球表面積為，B正確；C．，，中，，，，則，，，設(shè)到平面的距離為，則得，，C正確；D．連接，易證得，平面AEF截正方體所得的截面即為等腰梯形，，，，梯形的高為，，D正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中命題的真假，考查線線垂直的判斷，三棱錐的外接球問題，等體積法求點(diǎn)到平面的距離，考查正方體的截面等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算求解能力，分析并解決問題的能力，屬于中檔題．二、多選題11．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+），將f（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A．當(dāng)x＝時(shí)，g（x）取最小值B．g（x）在[，]上單調(diào)遞減C．g（x）的圖象向左平移個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)D．直線y＝與g（x）（0＜x＜）圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】ACD【解析】首先利用伸縮變換得到函數(shù)，再依次利用整體代入的方法，判斷AB是否正確；按照平移變換判斷函數(shù)平移后是否是偶函數(shù)；令，計(jì)算內(nèi)所有的實(shí)數(shù)根.【詳解】由條件可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，取得最小值，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B不正確；向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；，解得：，解得：，或，解得：,,因?yàn)?，所以或所以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，圖象變換，方程實(shí)根的綜合問題，重點(diǎn)考查整體代入的方法，以及伸縮和平移變換規(guī)律，屬于中檔題型.12．在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高（單位：cm）的調(diào)查中，隨機(jī)抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均數(shù)和方差分別為170和，27名女生的平均數(shù)和方差分別為160和，則（）A．總樣本中女生的身高數(shù)據(jù)比男生的離散程度小B．總樣本的平均數(shù)大于164C．總樣本的方差大于45D．總樣本的標(biāo)準(zhǔn)差大于7【答案】BC【解析】對(duì)于A，利用方差的性質(zhì)判斷即可；對(duì)于B，利用平均的公式計(jì)算即可；對(duì)于C，利用方差公式計(jì)算即可；對(duì)于D，利用標(biāo)準(zhǔn)差公式計(jì)算即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榉讲钤叫?，?shù)據(jù)的離散程度越小，所以總樣本中女生的身高數(shù)據(jù)比男生的離散程度大，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由已知可得樣本的平均數(shù)為，所以B正確；對(duì)于C，設(shè)23名男生的身高分別為，27名女生的身高分別為，則，，，，所以，所以，，所以總樣本的方差為，所以C正確，對(duì)于D，由上面的計(jì)算可知標(biāo)準(zhǔn)差約為，所以D錯(cuò)誤故選：BC【點(diǎn)睛】此題考查方差和平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題三、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)開____．【答案】【解析】解不等式可求得函數(shù)的定義域.【詳解】解不等式，可得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．有如下命題：①過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；③平行于同一條直線的兩條直線平行；④如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．其中作為公理（基本事實(shí)）的是_____（填寫序號(hào)）．【答案】①②③【解析】根據(jù)公理可得出結(jié)論.【詳解】公理如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，命題②為公理；公理過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，命題①為公理；公理如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；公理平行于同一條直線的兩條直線平行，命題③為公理.命題④為等角定理.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)平面幾個(gè)公理的理解，屬于基礎(chǔ)題.15．已知平面非零向量兩兩所成的角相等，，則的值為_____．【答案】3或0【解析】由于三個(gè)平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，由于三個(gè)向量的模已知，當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，直接算出結(jié)果；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，采取平方的方法可求出三個(gè)向量的和向量的模．【詳解】由題意三個(gè)平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是或，當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，方向相同，則；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，由于，則，則，.綜上的值為3或0.故答案為：3或0.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模的求法，涉及向量的夾角和向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解向量夾角的定義，考查運(yùn)算能力.16．在一次全運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽．羽毛球的比賽規(guī)則是3局2勝制，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率．為此，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，其概率為．由于要比賽三局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組．例如，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：423231423344114453525323152342345443512541125342334252324254相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn)，用頻率估計(jì)甲獲得冠軍的概率的近似值為_____．【答案】【解析】由20組隨機(jī)數(shù)中先求出甲獲勝的頻數(shù)，從而可求出甲獲勝的頻率，進(jìn)而可得答案【詳解】解：由題意可知，20組隨機(jī)數(shù)中甲獲勝的有：423231423114323152342512125342334252324有13組，所以甲獲勝的頻率為，所以甲獲得冠軍的概率的近似值約為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查頻率與概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題四、解答題17．已知圓錐SO的底面半徑R＝3，高H＝4．（1）求圓錐SO的側(cè)面積和體積：（2）圓錐SO的內(nèi)接圓柱OO'的高為h，當(dāng)h為何值時(shí)，圓錐SO的內(nèi)接圓柱OO'的側(cè)面積最大，并求出最大值．【答案】（1）；；（2）時(shí)，圓柱的側(cè)面積的最大值是.【解析】（1）計(jì)算母線長，根據(jù)公式直接計(jì)算側(cè)面積和體積；（2）設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)比例關(guān)系表示，寫出圓柱的側(cè)面積，利用二次函數(shù)求最大值.【詳解】由條件可知圓錐的母線長，所以圓錐的側(cè)面積，體積；（2）設(shè)圓柱的底面半徑為，

則，解得：，（），則圓柱的側(cè)面積當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐和圓柱側(cè)面積體積的求法，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．已知函數(shù)（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若0＜A＜，且，求cosA的值．【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間為，（2）【解析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡得，從而可求其最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，再結(jié)合角的范圍可得，而，再利用兩角和的余弦公式可得答案【詳解】解：（1）所以的最小正周期為，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)恒等變換公式的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題19．如圖，在直角△ABC中，點(diǎn)D為斜邊BC的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，（1）用表示和；（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加減法法則進(jìn)行求解即可（2）如圖，以，所在的方向分別為軸，軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，然后表示出向量與的坐標(biāo)，再利用向量夾角的坐標(biāo)公式求解【詳解】解：（1）因?yàn)镈為斜邊BC的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以，所以,（2）,如圖，以，所在的方向分別為軸，軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則,所以，，所以，,設(shè)向量與夾角為，則【點(diǎn)睛】此題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查向量夾角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題20．某高校的入學(xué)面試中有4道不同的題目，每位面試者都要回答這4道題目．已知李明答對(duì)第1題、第2題、第3題、第4題的概率分別為假設(shè)對(duì)這4道題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，該高校要求至少答對(duì)其中的3道題才能通過面試．用Ai表示事件“李明答對(duì)第i道題”（i＝1，2，3，4）．（1）寫出所有的樣本點(diǎn)；（2）求李明通過面試的概率．【答案】(1)；(2)【解析】(1)由題意知李明通過面試的樣本點(diǎn)有：；(2)由這4道題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，且李明答對(duì)第1題、第2題、第3題、第4題的概率分別為，即可求得李明通過面試的概率【詳解】(1)李明能通過面試的樣本空間中樣本點(diǎn)：(2)由(1)知，李明通過面試的概率，又這4道題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，且李明答對(duì)第1題、第2題、第3題、第4題的概率分別為∴，，，，，即.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的概念及獨(dú)立事件的概念計(jì)算，由題意任意答對(duì)3個(gè)及以上的題可通過面試即可寫出通過面試的所有樣本點(diǎn)，根據(jù)基本事件的獨(dú)立性，利用獨(dú)立事件的乘法概率公式求樣本點(diǎn)概率，進(jìn)而求得通過面試的概率21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將△DAE沿線段AE折起到PAE的位置，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAE；（2）若PB＝2，求證：平面PAE⊥平面ABCE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，可證明是平行四邊形，得，從而得線面平行；（2）取中點(diǎn)，連接，可證明，再有，得線面垂直，從而得證面面垂直．【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，∵是中點(diǎn)，∴，原矩形中是中點(diǎn)，∴，，∴，∴是平行四邊形，∴，又平面PAE，平面PAE，∴平面PAE；（2）取中點(diǎn)，連接，∵，∴，又，，∴，，在中，，∵，∴，即，，平面ABCE，平面ABCE，∴平面ABCE．又平面，∴平面PAE⊥平面ABCE．【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行和面面垂直，掌握線面平行和面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．22．由袁隆平團(tuán)隊(duì)研發(fā)的第三代雜交水稻于年月日至日首次公開測產(chǎn)，經(jīng)測產(chǎn)專家組評(píng)定，最終畝產(chǎn)為公斤，第三化雜交水稻的綜合優(yōu)勢可以推動(dòng)我國的水稻生產(chǎn)向更加優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、綠色和可持續(xù)方向發(fā)展．某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)的食品生產(chǎn)線，計(jì)劃以第三代雜交水稻為原料進(jìn)行深加工，創(chuàng)建一個(gè)新產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的質(zhì)量以某項(xiàng)指標(biāo)值為衡量標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)量指標(biāo)的等級(jí)劃分如表：質(zhì)量指標(biāo)值產(chǎn)品等級(jí)為了解該產(chǎn)品的生產(chǎn)效益，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn)，從中隨機(jī)抽取了件產(chǎn)品，測量了每件產(chǎn)品的指標(biāo)