優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊1116祖暅原理與幾何體的體積

11.1.6祖暅原理與幾何體的體積基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.兩個底面積相等、高也相等的棱柱(圓柱)的體積有何關(guān)系?2.等底等高的錐體的體積有何關(guān)系?繼續(xù)探究:(1)正方體、長方體、圓柱的體積與這些幾何體的哪些量有關(guān)?提示:它們的體積與這些幾何體的底面積和高有關(guān).(2)如果一個錐體的底面積和高與一個柱體的底面積和高都相等,那么這個錐體的體積與柱體的體積有什么關(guān)系?提示:底面積和高相同的錐體與柱體的體積關(guān)系為:V錐體=V柱體.【概念生成】1.祖暅原理(1)“冪勢既同,則積不容異”,即“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,如果被平行于這兩個平面的任意平面所截,兩個截面的面積_______,那么這兩個幾何體的體積一定_____”.(2)作用:等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積_____.總相等相等相等2.柱體、錐體、臺體和球的體積公式其中S′、S分別表示上、下底面的面積,h表示高,r′和r分別表示上、下底面圓的半徑,R表示球的半徑.核心互動探究探究點一柱體、錐體、臺體的體積【典例1】如圖所示三棱臺ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱錐A1-ABC,三棱錐B-A1B1C,三棱錐C-A1B1C1的體積之比.【思維導(dǎo)引】AB∶A1B1=1∶2→S△ABC∶=1∶4→【解析】設(shè)棱臺的高為h,S△ABC=S,則=4S.所以S△ABC·h=Sh,

又V臺=h(S+4S+2S)=Sh,所以

所以三棱錐A1-ABC,三棱錐B-A1B1C,三棱錐C-A1B1C1的體積比為1∶2∶4.【類題通法】求常見幾何體體積的方法及注意的問題(1)常見的求幾何體體積的方法①公式法:直接代入公式求解.②等積法:如四面體的任何一個面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可.③分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.(2)求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺體的體積的計算,一般要找出相應(yīng)的底面和高,要充分利用截面、軸截面,求出所需要的量,最后代入公式計算.【定向訓(xùn)練】若一圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積之比為 (

)

A.1 B.

C.

D.

【解析】選D.設(shè)圓柱底面半徑為R,圓錐底面半徑r,高都為h,由已知得2Rh=rh,所以r=2R.故V柱∶V錐=πR2h∶πr2h=.探究點二等體積法的應(yīng)用【典例2】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點,求三棱錐A-DED1的體積.【思維導(dǎo)引】將求三棱錐A-DED1的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-DD1A的體積.【解析】

【延伸探究】若本例題條件不變,求點A到平面A1BD的距離d.【解析】在三棱錐A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=1,A1B=BD=A1D=,因為所以所以d=.【類題通法】幾何體體積的計算方法(1)利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高,從而求出幾何體的體積.(2)利用等體積法可求點到平面的距離.【定向訓(xùn)練】如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為________.

【解析】三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積,三棱錐A-B1BC1的高為,底面積為,故其體積為答案:

探究點三求球的體積【典例3】過球面上三點A,B,C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半,且AB=BC=CA=3cm,求球的體積和表面積.【思維導(dǎo)引】解決本題要充分利用已知條件,尤其是球半徑,截面圓半徑和球心距構(gòu)成的直角三角形.【解析】如圖,設(shè)過A,B,C三點的截面為圓O′,連接OO′,AO,AO′.因為AB=BC=CA=3cm,所以O(shè)′為正三角形ABC的中心,所以AO′=AB=cm.設(shè)OA=R,則OO′=R,因為OO′⊥截面ABC,所以O(shè)O′⊥AO′,所以AO′=R=cm,所以R=2cm,所以V球=πR3=πcm3,S球=4πR2=16πcm2,即球的體積為πcm3,表面積為16πcm2.【類題通法】求球的體積的方法球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù),球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法.【定向訓(xùn)練】如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器厚度,則球的體積為 (

)

【解析】選A.作出該球軸的截面如圖所示,依題意BE=2,AE=CE=4,設(shè)DE=x,故AD=2+x,因為AD2=AE2+DE2,即(2+x)2=42+x2解得x=3,故該球的半徑AD=5,所以V=πR3=(cm3).【補償訓(xùn)練】若球的體積與其表面積數(shù)值相等,則球的大圓(過球心的圓)面積等于(

)

A.π B.3π C.6π D.9π【解析】選D.由題意得:πR3=4πR2,所以R=3,則球的大圓面積等于9π.【課堂小結(jié)】柱、錐、臺體與球體的體積公式之間的關(guān)系課堂素養(yǎng)達標1.若一個球的表面積為4π,則這個球的體積是 (

)

【解析】選B.設(shè)球的半徑為R,則4πR2=4π,解得R=1,于是V=πR3=.2.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,則該組合體的表面積是________,體積是________.

【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,該組合體的體積V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=答案:10π

3.將兩個棱長為10cm的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長為5cm的正四棱柱,則該四棱柱的高為(

)A.8cm B.80cm C.40cm D.

cm【解析】選