第06講 二元一次方程組的應(yīng)用（核心考點講與練）-(解析版)

第06講二元一次方程組的應(yīng)用（核心考點講與練）一．由實際問題抽象出二元一次方程（1）由實際問題列方程是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．（2）一般來說，有2個未知量就必須列出2個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符．（3）找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵和難點．常見的一些公式要牢記，如利潤問題，路程問題，比例問題等中的有關(guān)公式．二．由實際問題抽象出二元一次方程組（1）由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．（2）一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符．（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．②將問題中給出的條件按意思分割成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系．③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系．三．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．一．由實際問題抽象出二元一次方程（共4小題）1．（2021?下城區(qū)模擬）王阿姨以每個m元的價格買進蘋果100個，現(xiàn)以每個比進價多20%價格賣出70個后，再以每個比進價低n元的價格將剩下的30個賣出，則全部賣出100個蘋果所得的金額是W元，下列方程正確的是（）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W【分析】王阿姨全部蘋果共賣得金額＝先賣70個蘋果的總價+剩下的30個蘋果賣出的總價．根據(jù)等量關(guān)系直接列出方程即可．【解答】解：依題意得，先賣70個蘋果的單價是m（1+20%）元，剩下的30個蘋果賣出的單價是（m﹣n）元，∴全部蘋果共賣得金額是：70×（1+20%）×m+30（m﹣n）元．∴70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程，正確理解文字語言中的關(guān)鍵詞，從而明確其中的運算關(guān)系．注意多每個比進價多20%是原來的價錢m再加上20%m．2．（2021春?饒平縣校級期末）大型客車每輛能坐54人，中型客車每輛能坐36人，現(xiàn)有378人，問需要大、中型客車各幾輛才能使每個人上車都有座位，且每輛車正好坐滿？【分析】首先根據(jù)題意表示出大型客車x輛可座54x人，中型客車y輛可座36y人，根據(jù)總?cè)藬?shù)為378可得方程54x+36y＝378．【解答】解：設(shè)需要大型客車x輛，中型客車y輛，由題意得：54x+36y＝378，則3x+2y＝21，當x＝1時，y＝9；當x＝2時，y＝（不合題意）；當x＝3時，y＝6；當x＝4時，y＝（不合題意）；當x＝5時，y＝3；當x＝6時，y＝（不合題意）；當x＝7時，y＝0；答：一共有4種符合題意的答案．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．3．列二元一次方程：把一袋花生分給一群猴子，每只猴子分3粒，還剩下8粒．設(shè)有x?；ㄉ?，y只猴子．【分析】根據(jù)猴子數(shù)量乘以每只猴子分3粒再加上8即可得出等式．【解答】解：設(shè)有x?；ㄉ瑈只猴子，則3y+8＝x．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程，根據(jù)已知得出花生粒的總個數(shù)是解題關(guān)鍵．4．根據(jù)題意列二元一次方程：長方形的長是5cm，寬是2bcm，周長為acm．【分析】根據(jù)長方形的周長公式（長+寬）×2＝周長代入相應(yīng)數(shù)值可得答案．【解答】解：由題意得：（5+2b）×2＝a．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．二．由實際問題抽象出二元一次方程組（共5小題）5．（2021春?拱墅區(qū)期中）某校運動員分組訓(xùn)練，若每組7人，余2人；若每組8人，則缺3人；設(shè)運動員人數(shù)為x人，組數(shù)為y組，則列方程組為．【分析】根據(jù)“若每組7人，余2人；若每組8人，則缺3人”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．6．（2021?西湖區(qū)二模）某中學(xué)體育組配備了籃球20個和排球10個，一個籃球和一個排球的單價之和為93元．若設(shè)籃球的單價為a元，排球的單價為b元，已知本次購買的總費用為1510元，根據(jù)題意可得方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“一個籃球和一個排球的單價之和為93元．購買籃球20個和排球10個共花費1510元”，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．（2021春?奉化區(qū)校級期末）《九章算術(shù)》是我國東漢年間編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在它的“方程”一章里一次方程組是由算籌排布而成的，如圖1、圖2，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與對應(yīng)的常數(shù)項，把圖1所示的算籌圖中方程組形式表述出來，就是．類似地，圖2所示的算籌圖可用方程組表述為．【分析】上下兩行的前兩個算籌分別為x、y的系數(shù)，每行的后一個算籌是常數(shù)項，且十位數(shù)用橫線表示，個位數(shù)用豎線表示，滿五用橫線表示．按此規(guī)律，即可看出第二個方程組．【解答】解：根據(jù)圖2知，此算籌圖可用方程組表述為，故答案為：．【點評】本題主要考查由實際問題抽象出二元一次方程組，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知的方程根據(jù)對應(yīng)位置的數(shù)字理解算籌表示的實際數(shù)字．8．（2021春?仙居縣期末）某班用700元錢購買足球和籃球共11個，其中籃球單價為50元/個，足球單價為80元/個，若設(shè)購買籃球x個，足球y個，則可列方程組為．【分析】根據(jù)“用700元錢購買足球和籃球共11個，其中籃球單價為50元/個，足球單價為80元/個”，找到等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：設(shè)購買籃球x個，購買足球y個，根據(jù)“足球和籃球共11個”可x+y＝11；根據(jù)“兩種球共花費了700元”可得買籃球的錢數(shù)+買足球的錢數(shù)＝700，即50x+80y＝700，因此可得方程組：，故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組的知識，解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的等量關(guān)系，難度不大．9．（2021?贛州模擬）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為．【分析】直接利用每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢，分別得出方程求出答案．【解答】解：設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為：．故答案是：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．三．二元一次方程組的應(yīng)用（共10小題）10．（2021春?蕭山區(qū)期末）某超市以同樣的價格賣出同樣的牙刷和牙膏，以下是4天的記錄：第1天，賣出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，賣出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，賣出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，賣出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聰明的小方發(fā)現(xiàn)這四天中有一天的記錄有誤，其中記錄有誤的是（）A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天【分析】設(shè)牙刷的單價為x元，牙膏的單價為y元，當?shù)?天、第2天的記錄無誤時，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再代入第3天及第4天的數(shù)據(jù)中驗證即可得出結(jié)論（若3，4天的結(jié)果均不對，則1，2天中的數(shù)據(jù)有誤，以3，4天的數(shù)據(jù)列出方程組求出牙刷和牙膏的單價，再代入1，2天的數(shù)據(jù)中驗證即可）．【解答】解：設(shè)牙刷的單價為x元，牙膏的單價為y元，當?shù)?天、第2天的記錄無誤時，依題意得：，解得：，∴23x+20y＝23×3+20×15＝369（元），17x+11y＝17×3+11×15＝216（元）．又∵369≠368，∴第3天的記錄有誤．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．11．（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，在周長為60的長方形ABCD中放入六個相同的小長方形，若小長方形的面積為S，長為x，寬為y，則（）A．若x＝2，則S＝20 B．若y＝2，則S＝20 C．若x＝2y，則S＝10 D．若x＝4y，則S＝10【分析】由長方形的性質(zhì)得2x+5y＝30，再分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵長方形ABCD的周長為60，∴AB+AD＝30，由題意得：x+2y+x+3y＝30，即2x+5y＝30，A、若x＝2時，則y＝，∴S＝xy＝，故選項A不符合題意；B、若y＝2時，則x＝10，∴S＝xy＝20，故選項B符合題意；C、若x＝2y，則4y+5y＝30，解得：y＝，∴x＝，∴S＝xy＝，故選項C不符合題意；D、若x＝4y，則8y+5y＝30，解得：y＝，∴x＝，∴S＝xy＝，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，在各個條件下求出x、y、S的值是解題的關(guān)鍵．12．（2021春?江干區(qū)期末）如圖，長為y，寬為x的大長方形被分割為5小塊，除陰影D，E外，其余3塊都是正方形，若陰影E周長為8，下列說法中正確的是（）①x的值為4；②若陰影D的周長為6，則正方形A的面積為1；③若大長方形的面積為24，則三個正方形周長的和為24．A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，正方形C的邊長為c，則x＝a+b，y＝b+c，陰影E的長為c，寬為a+b﹣c，陰影D的長為a，寬為b﹣a，由陰影E的周長為8可求解x值判定①；由陰影D周長為6可求解b值，即可求a，進而判定②；由大長方形的面積為24，可求b+c＝6，假設(shè)三個正方形的周長為24，可求得a＝0，不成立，故可判定③．【解答】解：設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，正方形C的邊長為c，∴x＝a+b，y＝b+c，陰影E的長為c，寬為a+b﹣c，陰影D的長為a，寬為b﹣a，∵陰影E的周長為8，∴2（c+a+b﹣c）＝8，∴a+b＝4，即x＝4，故①正確；∵陰影D周長為6，∴2（a+b﹣a）＝6，解得b＝3，∵a+b＝4，∴a＝1，即正方形A的面積為1，故②正確；∵大長方形的面積為24，∴xy＝24，∵x＝4，∴y＝6，∴b+c＝6，假設(shè)三個正方形的周長為24，∴4a+4b+4c＝24，∴a+b+c＝6，∴a＝0（不成立），∴若大長方形的面積為24，則三個正方形周長的和為24．故③錯誤，故選：B．【點評】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，正方形C的邊長為c，用a，b，c表示x，y是解題的關(guān)鍵．13．（2021?吳興區(qū)二模）織里童裝城某拉鏈專賣店出售甲、乙兩種拉鏈，已知該店進貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．（1）求出甲、乙兩種拉鏈的進價；（2）已知專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費45元，求有哪幾種購買方案；（3）在（2）條件下，不同方案專賣店獲利是否發(fā)生變化，如果變化，請求出最大值；如果不變，請說明理由．【分析】（1）甲種拉鏈的進價為每條x元，乙種拉鏈的進價為每條y元，由題意：該店進貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購買甲種拉鏈m條，乙種拉鏈n條，由題意：專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費45元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可；（3）求出利潤是恒值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲種拉鏈的進價為每條x元，乙種拉鏈的進價為每條y元，由題意得：，解得：，答：甲種拉鏈的進價為1.6元，乙種拉鏈的進價為2元；（2）設(shè)購買甲種拉鏈m條，乙種拉鏈n條，由題意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，整理得：n＝18﹣m，∵m、n為正整數(shù)，∴或或或，即有4種購買方案：①甲種拉鏈5條，乙種拉鏈14條；②甲種拉鏈10條，乙種拉鏈10條；③甲種拉鏈15條，乙種拉鏈6條；④甲種拉鏈20條，乙種拉鏈2條；（3）不發(fā)生變化，理由如下：∵利潤w＝0.4m+2×25%×（18﹣m）＝9（元），∴不同方案專賣店獲利不發(fā)生變化．【點評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出二元一次方程組或二元一次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2021春?金東區(qū)期末）某班為充實圖書角圖書，在學(xué)習(xí)委員的倡議下進行了一次給班級捐書活動，受污染區(qū)域（陰影部分）記錄了在相應(yīng)捐書數(shù)目為N時的人數(shù)分布情況．捐書數(shù)N123456捐書N本的人數(shù)1217■■4已知捐書4本或4本以上的人平均每人捐書4.7本，捐書5本以及5本以下的同學(xué)平均捐書3.5本．問捐書4本和5本的各有多少人？【分析】設(shè)捐書4本的有x人，捐書5本的有y人，根據(jù)“捐書4本或4本以上的人平均每人捐書4.7本，捐書5本以及5本以下的同學(xué)平均捐書3.5本”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)捐書4本的有x人，捐書5本的有y人，依題意得：，解得：．答：捐書4本的有10人，捐書5本的有6人．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．15．（2021春?江干區(qū)期末）某校七年級為了表彰“數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平測試”中表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)，準備用480元錢購進筆記本作為獎品，若A種筆記本買20本，B種筆記本買30本，則錢還缺40元；若A種筆記本買30本，B種筆記本買20本，則錢恰好用完．（1）求A，B兩種筆記本的單價；（2）由于實際需要，需要增加購買單價為6元的C種筆記本若干本．若購買A，B，C三種筆記本共75本，錢恰好全部用完，則C種筆記本購買了多少本？【分析】（1）設(shè)A種筆記本的單價為x元，B種筆記本的單價為y元，根據(jù)“若A種筆記本買20本，B本筆記本買30本，則錢還缺40元；若A種筆記本買30本，B種筆記本買20本，則錢恰好用完”，列出二元一次方程組，解之即可；（2）設(shè)購買A種筆記本m本，B種筆記本n本，則購買C種筆記本（75﹣m﹣n）本，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，化簡后可得出m+3n＝15，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)A種筆記本的單價為x元，B種筆記本的單價為y元，依題意，得：，解得：，答：A種筆記本的單價為8元，B種筆記本的單價為12元．（2）設(shè)購買A種筆記本m本，B種筆記本n本，則購買C種筆記本（75﹣m﹣n）本，依題意，得：8m+12n+6（75﹣m﹣n）＝480，∴m+3n＝15，則m＝15﹣3n，∴購買C種筆記本為：（60+2n）本，∵m，n均為正整數(shù)，∴m＝12，n＝1或m＝9，n＝2或m＝6，n＝3或m＝3，n＝4，∴當m＝12，n＝1時，60+2n＝62；當m＝9，n＝2時，60+2n＝64；當m＝6，n＝3時，60+2n＝66；當m＝3，n＝4時，60+2n＝68；答：C種筆記本購買了62本或64本或66本或68本．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．16．（2021春?拱墅區(qū)期末）某廠接到任務(wù)需完成500臺空調(diào)的安裝．由于時間要求高，該廠沒有足夠的熟練工人，故決定招聘一批新工人，生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和3名新工人每天共安裝11臺空調(diào)；2名熟練工人每天裝的空調(diào)數(shù)與5名新工人每天安裝空調(diào)數(shù)一樣多．（1）求1名熟練工人和1名新工人1天一共可以安裝多少臺空調(diào)；（2）若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人（m，n均不為0），為了剛好20天完成安裝任務(wù)，你有哪幾種方案？【分析】（1）設(shè)1名熟練工人1天可以安裝x臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝y臺空調(diào)，由題意列出方程組，即可求解；（2）由題意列出方程，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)1名熟練工人1天可以安裝x臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝y臺空調(diào)，由題意可得：，解得：，∴x+y＝7（臺），答：1名熟練工人和1名新工人1天一共可以安裝7臺空調(diào)；（2）由題意可得：20（5m+2n）＝500，∴5m+2n＝25，∵m，n為正整數(shù)，∴m＝1，n＝10或m＝3，n＝5，答：m＝1，n＝10或m＝3，n＝5．【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2021?拱墅區(qū)二模）如圖，某型號動車由一節(jié)車頭和若干節(jié)車廂組成，每節(jié)車廂的長度都相等．已知該型號動車掛8節(jié)車廂以38米/秒的速度通過某觀測點用時6秒，掛12節(jié)車廂以41米/秒的速度通過該觀測點用時8秒．（1）車頭及每節(jié)車廂的長度分別是多少米？（2）小明乘坐該型號動車勻速通過某隧道時，如果車頭進隧道5秒后他也進入了隧道，此時車內(nèi)屏幕顯示速度為180km/h，請問他乘坐的是幾號車廂？【分析】本題一動車運轉(zhuǎn)為背景，考察了學(xué)生應(yīng)用二元一次方程組解決實際問題的能力，解題的關(guān)鍵是找到問題中的兩個相等關(guān)系，列出方程組，從而解決問題．【解答】解：（1）設(shè)車頭x米，車廂每節(jié)y米，根據(jù)題意得：，解得．答：車頭28米，車廂每節(jié)25米．（2）180km/h＝50m/s，（50×5﹣28）÷25＝8.88；答：小明乘坐的是9號車廂．【點評】本題考察二元一次方程組的應(yīng)用，要正確理解題意，準確找出題目中包含的兩個相等關(guān)系從而列出二元一次方程組是解決此類問題的關(guān)鍵．18．（2021春?麗水月考）我市某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進行試生產(chǎn)．他們購得規(guī)格是170cm×40cm的標準板材作為原材料，每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材（不計損耗），如圖甲．（單位：cm）（1）列出方程（組），求出圖甲中a與b的值；（2）在試生產(chǎn)階段，若將30張標準板材用裁法一裁剪，4張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙的豎式（高大于長）與橫式（長大于高）兩種無蓋禮品盒．①兩種裁法共生產(chǎn)A型板材64張，B型板材38張；②能否在做成若干個上述的兩種無蓋禮品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，則豎式無蓋禮品盒與橫式無蓋禮品盒分別做了幾個？若不能，則最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共多少個？并直接寫出此時做成的橫式無蓋禮品盒的個數(shù)．【分析】（1）由圖示列出關(guān)于a、b的二元一次方程組求解．（2）①根據(jù)已知和圖示計算出兩種裁法共產(chǎn)生A型板材和B型板材的張數(shù)；②根據(jù)豎式與橫式禮品盒所需要的A、B兩種型號板材的張數(shù)列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求解，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，即圖甲中a與b的值分別為60，40；（2）①由圖示裁法一產(chǎn)生A型板材為：2×30＝60，裁法二產(chǎn)生A型板材為：1×4＝4，∴兩種裁法共產(chǎn)生A型板材為60+4＝64（張），由圖示裁法一產(chǎn)生B型板材為：1×30＝30，裁法二產(chǎn)生B型板材為：2×4＝8，∴兩種裁法共產(chǎn)生B型板材為30+8＝38（張），故答案為：64，38；②不能在做成若干個兩種無蓋禮品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完，理由如下：設(shè)豎式禮品盒做x過，橫式禮品盒做y個，則A型板材需要（4x+3y）個，B型板材需要（x+2y）個，則，解得：，∵x、y是自然數(shù)，∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完，∵x+y＝，∴最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共20個，此時做成的橫式無蓋禮品盒為16個或17個或18個．【點評】本題考查的知識點是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，根據(jù)圖示列出算式以及關(guān)于x、y的二元一次方程組．19．（2021春?北侖區(qū)期中）在一次汽車展上，甲展位對A型車和B型車兩種車型購買的客戶進行優(yōu)惠：A、B型車都購買3輛及以上時，A型車每輛優(yōu)惠0.5萬元，B型車每輛優(yōu)惠1萬元．一家公司準備買9輛車，按優(yōu)惠后的價格計算結(jié)果如下表：購買量購買量A型車45B型車54總價128萬元124萬元（1）計算兩種型號的車原價分別是多少元？（2）乙展位對該公司同時購買9輛車很感興趣，給出同時購買9輛車且每種車型分別購買3輛及以上時兩種車型均實行6%的優(yōu)惠措施，且該公司要求盡可能多地購買B型車．請你通過計算說明該公司應(yīng)該在哪個展位定車（兩展位這兩款車原價都相同）．【分析】（1）設(shè)A型車優(yōu)惠后的價格為每輛x萬元，B型車優(yōu)惠后的價格為每輛y萬元，根據(jù)“A型車買4輛B型車買5輛花費128萬，A型車買5輛B型車買4輛花費124萬”，即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）由優(yōu)惠政策及該公司要求盡可能多地購買B型車，可知該公司應(yīng)購A型車3輛，B型車6輛，根據(jù)“總費用＝購買A型車的費用+購買B型車的費用”算出選擇甲、乙兩展位購買A型車3輛、B型車6輛所需總錢數(shù)，二者作比較即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A型車優(yōu)惠后的價格為每輛x萬元，B型車優(yōu)惠后的價格為每輛y萬元，由題意，得：，解得：，∴A型車原價：12+0.5＝12.5（萬元）；B型車原價：16+1＝17（萬元）．答：A型車原價為12.5萬元，B型車原價為17萬元．（2）∵兩展位對A、B型車都購買3輛及以上給予優(yōu)惠，且該公司要求盡可能多地購買B型車，∴該公司應(yīng)購A型車3輛，B型車6輛．選擇甲展位所需費用為12×3+16×6＝132（萬元），選擇乙展位所需費用為（12.5×3+17×6）×（1﹣6%）＝131.13（萬元），∵132＞131.13，∴該公司應(yīng)該在乙展位定車．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式計算．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出算式（方程或方程組）是關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共9小題）1．（2020?杭州模擬）某影院昨天甲，乙兩種電影票共售出203張，甲票售出x張，每張35元，乙票每張20元，票房總額y，則（）A．15x﹣y+4060＝0 B．x﹣15y+4060＝0 C．15x+y+4060＝0 D．x﹣15y﹣4060＝0【分析】根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：y＝35x+20（203﹣x），整理，得：15x﹣y+4060＝0．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021春?奉化區(qū)校級期末）《孫子算經(jīng)》中的一道名題：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？其意思是：用繩子去量一根木頭，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量木頭，木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？設(shè)木頭為x尺，繩子為y尺，可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“用繩子去量一根木頭，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量木頭，木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意，得：．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，正方形ABCD由四個相同的大長方形，四個相同的小長方形以及一個小正方形組成，其中四個大長方形的長和寬分別是小長方形長和寬的3倍，若中間小正方形的面積為1，則大正方形ABCD的面積是（）A．25 B．36 C．49 D．81【分析】設(shè)小長方形的長為x，寬為y，則大長方形的長為3x，寬為3y，觀察圖形可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，再利用正方形的面積公式即可求出大正方形ABCD的面積．【解答】解：設(shè)小長方形的長為x，寬為y，則大長方形的長為3x，寬為3y，根據(jù)題意得：，解得：，∴（3x+3y）2＝（3×2+3×1）2＝81．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?饒平縣校級期末）如圖商店里把塑料凳整齊地疊放在一起，據(jù)圖中的信息，當有10張塑料凳整齊地疊放在一起時的高度是（）A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm【分析】設(shè)塑料凳桌面的厚度為xcm，腿高hcm，根據(jù)題意得，，求出塑料凳桌面的厚度和腿高，然后即可計算出當有10張塑料凳整齊地疊放在一起時的高度．【解答】解：設(shè)塑料凳桌面的厚度為xcm，腿高hcm，根據(jù)題意得，，解之得，x＝3，h＝20．則10張塑料凳整齊地疊放在一起時的高度是20+3×10＝50cm．故選：B．【點評】此題是二元一次方程組的實際應(yīng)用，求出塑料凳桌面的厚度和腿高是關(guān)鍵．5．（2019?拱墅區(qū)校級模擬）某次知識競賽共有20道題，規(guī)定：每答對一題得+5分，每答錯一題得﹣3分，不答的題得﹣1分．已知歡歡這次競賽得了72分，設(shè)歡歡答對了x道題，答錯了y道題，則（）A．5x﹣3y＝72 B．5x+3y＝72 C．6x﹣2y＝92 D．6x+2y＝92【分析】直接根據(jù)題意表示出不答的題為（20﹣x﹣y）道，根據(jù)每答對一題得+5分，每答錯一題得﹣3分，不答的題得﹣1分表示出總分＝72，進而得出答案．【解答】解：設(shè)歡歡答對了x道題，答錯了y道題，則：5x﹣3y﹣（20﹣x﹣y）＝72，整理得：6x﹣2y＝92．故選：C．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程，正確表示出實際得分是解題關(guān)鍵．6．（2020秋?南山區(qū)期末）某公司用3000元購進兩種貨物．貨物賣出后，一種貨物的利潤率是10%，另一種貨物的利潤率是11%，兩種貨物共獲利315元，如果設(shè)該公司購進這兩種貨物所用的費用分別為x元，y元，則列出的方程組是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)購進兩種貨物的總價為3000元及銷售后的利潤為315元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．（2021春?無棣縣期末）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就．其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？譯文：今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢：每人出7錢，又會差4錢，問人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價為y錢，以下列出的方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價為y錢，根據(jù)題意得到相等關(guān)系：①8×人數(shù)﹣物品價值＝3，②物品價值﹣7×人數(shù)＝4，據(jù)此可列方程組．【解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組：，故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系．8．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，在大長方形ABCD中，放入九個相同的小長方形，則圖中陰影部分面積（單位：cm2）為（）A．96 B．100 C．124 D．148【分析】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，觀察圖形，根據(jù)小長方形長寬之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用陰影部分的面積＝大長方形的面積﹣9×小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意，得：，解得：，∴20×（11+2y）﹣9xy＝124．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（2021春?懷柔區(qū)期末）雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題．書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞、兔同在一個籠子里，從上上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳．求籠中各有幾只雞和兔？經(jīng)計算可得（）A．雞20只，兔15只 B．雞12只，兔23只 C．雞15只，兔20只 D．雞23只，兔12只【分析】設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)上有35個頭、下有94只腳，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)題意得：，解得：．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）10．（2016春?雙城市期末）買14支鉛筆和6本練習(xí)本，共用5.4元．若鉛筆每支x元，練習(xí)本每本y元，寫出以x和y為未知數(shù)的方程為14x+6y＝5.4．【分析】等量關(guān)系為：14支鉛筆總價錢+6本練習(xí)本總價錢＝5.4，把相關(guān)量代入即可．【解答】解：鉛筆每支x元，14支鉛筆需14x元；練習(xí)本每本y元，6本練習(xí)本需付6y元，共用5.4元，可列方程為：14x+6y＝5.4．【點評】根據(jù)共用去的錢得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，注意單價與數(shù)量要保持對應(yīng)關(guān)系．11．（2021春?奉化區(qū)校級期末）弟弟對哥哥說：“我像你這么大的時候你已經(jīng)20歲．”哥哥對弟弟說：“我像你這么大的時候你才5歲．”求弟弟和哥哥的年齡．設(shè)這一年弟弟x歲，哥哥y歲，根據(jù)題意可列出二元一次方程組是．【分析】設(shè)這一年弟弟x歲，哥哥y歲，根據(jù)題意列出方程組解答即可．【解答】解：設(shè)這一年弟弟x歲，哥哥y歲，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點評】考查了二元一次方程組的應(yīng)用和理解題意能力，關(guān)鍵是知道年齡差是不變的量從而可列方程求解．12．（2021春?奉化區(qū)校級期末）甲、乙兩人練習(xí)跑步，如果乙先跑10米，則甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙，若設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，可列方程組．【分析】根據(jù)題意，得出等量關(guān)系：①乙先跑10米，則甲跑5秒就可以追上乙；②乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙，得出方程組即可．【解答】解：根據(jù)乙先跑10米，則甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x＝5y+10；根據(jù)乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙，得方程4x＝4y+2y．可得方程組．故答案為：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，此題是追及問題，注意：無論是哪一個等量關(guān)系中，總是甲跑的路程＝乙跑的路程．13．（2021春?綏濱縣期末）七（1）班學(xué)生42人去公園劃船，共租用10艘船．大船每艘可坐5人，小船每艘可坐3人，每艘船都坐滿．問大船、小船各租了多少艘？設(shè)坐大船的有x人，坐小船的有y人，由題意可得方程組為：．【分析】由于一共租用了10只船．每只大船坐5人，每只小船坐3人，共有人數(shù)42人，所以可設(shè)租了大船x只，坐小船的有y人，由此可得等量關(guān)系式：x+y＝42，+＝10，即可得出答案．【解答】解：設(shè)坐大船的有x人，坐小船的有y人，由題意可得方程組為：．故答案為：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，據(jù)題意列出等量關(guān)系式是完成本題的關(guān)鍵．14．（2020秋?拱墅區(qū)校級期末）同型號的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210km．它們各自單獨行駛并返回的最遠距離是105km．現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車繼續(xù)行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠可距離A地140km．【分析】設(shè)甲車行駛到C地時返回，到達A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時燃料用完，設(shè)AC＝xkm，AB＝y(tǒng)km，根據(jù)“兩車行駛的總路程為210×2km，到C地時甲車加注到乙車里面的燃料等于甲車行駛到C地消耗掉的燃料”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，進而可得出B地最遠可距離A地140km．【解答】解：設(shè)甲車行駛到C地時返回，到達A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時燃料用完，如圖：設(shè)AC＝xkm，AB＝y(tǒng)km，依題意得：，解得：，∴乙在C地時加注行駛210﹣2×70＝70（km）的燃料，AB的最大長度為140km．故答案為：140．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．15．（2020春?紹興期中）某企業(yè)2020年3月初準備開工，需要給員工發(fā)放口罩，老板只買到了少量口罩，如果每人發(fā)5個，還剩下3個，如果每人發(fā)6個，還缺5個，設(shè)該企業(yè)共有x名員工，買到了y個口罩，根據(jù)題意可列方程組為．【分析】根據(jù)每人發(fā)5個，還剩下3個，如果每人發(fā)6個，還缺5個，可以列出相應(yīng)的方程組，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，，故答案為：．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．三．解答題（共7小題）16．（2020秋?普寧市期末）某超市對甲、乙兩種商品進行打折銷售，其中甲種商品打八折，乙種商品打七五折，已知打折前，買6件甲種商品和3件乙種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元．（1）打折前甲、乙兩種商品每件分別為多少元？（2）某人購買甲種商品80件，乙種商品100件，問打折后購買這些商品比不打折可節(jié)省多少元？【分析】（1）設(shè)打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件y元，根據(jù)“打折前，買6件甲種商品和3件乙種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)節(jié)省的錢數(shù)＝打折前購買所需費用﹣打折后購買所需費用，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件y元，依題意，得：，解得：．答：打折前甲種商品每件40元，乙種商品每件120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．答：打折后購買這些商品比不打折可節(jié)省3640元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．17．（2021春?上城區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中，放入8個完全相同的小長方形．（1）每個小長方形的長和寬分別是多少厘米？（2）圖中陰影部分面積為多少平方厘米？【分析】（1）設(shè)小長方形的長為x厘米，寬為y厘米，觀察圖形，根據(jù)小長方形長與寬之間的關(guān)系，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值；（2）利用陰影部分的面積＝大長方形的面積﹣8×小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)小長方形的長為x厘米，寬為y厘米，依題意，得：，解得：，答：每個小長方形的長和寬分別是10厘米，2厘米；（2）∵每個小長方形的長和寬分別是10厘米，2厘米，∴圖中陰影部分面積為18×（12+2）﹣8×2×10＝92（平方厘米）．答：圖中陰影部分面積為92平方厘米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．18．（2021春?寧波期中）如圖1，是3×3的方陣圖，中國古代也叫“縱橫圖”，填寫了一些數(shù)和表示數(shù)的代數(shù)式，使得每行的3個數(shù)、每列的3個數(shù)、斜對角的3個數(shù)之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在圖2中完成此方陣圖．【分析】（1）要求x，y的值，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程組即可；（2）根據(jù)（1）中求得的x，y的值和每行的3個數(shù)、每列的3個數(shù)、斜對角的3個數(shù)之和均相等即可完成表格的填寫．【解答】解：（1）由題意，得，解得；（2）如圖，【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)方陣圖中每行的3個數(shù)、每列的3個數(shù)、斜對角的3個數(shù)之和均相等，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．19．（2021春?下城區(qū)校級期中）小明媽媽開了一家網(wǎng)店，專門銷售女式鞋子．一次，小明發(fā)現(xiàn)一張進貨單上的一條信息：A款鞋的進價比B款鞋進價多40元，B款鞋的進價為每雙160元．（1）小明在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)如下表：日期A款女鞋銷量B款女鞋銷量銷售總額5月1日12雙8雙4480元5月2日8雙10雙3920元請問兩種鞋的銷售價分別是多少？（2）小明媽媽說：“兩款鞋的利潤率相同．”結(jié)合所給的信息，判斷小明媽媽的說法是否正確，如果正確，請說明理由；如果錯誤，請給出一種調(diào)整售價的方案，使得兩款鞋的利潤率相同．【分析】（1）設(shè)A款女鞋的銷售價為x元/雙，B款女鞋的銷售價為y元/雙，根據(jù)5月1日和5月2日兩天的銷售數(shù)量及銷售總額，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）分別求出兩款鞋的利潤率，比較后可得出媽媽的說法錯誤，方案一：A款女鞋的銷售價增加m元，根據(jù)A款女鞋的利潤率為25%，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；方案二：B款女鞋的銷售價降低n元，根據(jù)B款女鞋的利潤率為20%，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A款女鞋的銷售價為x元/雙，B款女鞋的銷售價為y元/雙，依題意得：，解得：．答：A款女鞋的銷售價為240元/雙，B款女鞋的銷售價為200元/雙．（2）A款女鞋的進價為160+40＝200（元/雙），A款女鞋的利潤率為×100%＝20%，B款女鞋的利潤率為×100%＝25%．∵20%≠25%，∴媽媽的說法錯誤．方案一：A款女鞋的銷售價增加m元，依題意得：×100%＝25%，解得：m＝10；方案二：B款女鞋的銷售價降低n元，依題意得：×100%＝20%，解得：n＝8．答：媽媽的說法錯誤，調(diào)整售價的方案為：A款女鞋的銷售價增加10元或B款女鞋的銷售價降低8元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．20．（2020秋?會寧縣期末）2019年2月《上海市生活垃圾管理條例》正式出臺，其中規(guī)定生活垃圾分為可回收物、有害垃圾、濕垃圾、干垃圾四類．某校由六、七兩個年級共17名同學(xué)組成了“垃圾分類宣傳”志愿者小隊，他們對本校每天的生活垃圾收集情況進行調(diào)查統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)：①由于宣傳到位，學(xué)?，F(xiàn)在每天生活垃圾的重量比原來每天400千克下降了20%；②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占現(xiàn)在每天生活垃圾重量的，可回收物中廢紙占70%；③由于部分同學(xué)對干垃圾的認識還不夠清楚，因此，發(fā)現(xiàn)干垃圾中還有20%的廢紙；④可回收物中的廢紙與干垃圾中的廢紙合在一起共重82千克．根據(jù)上述信息回答下面的問題：（1）學(xué)?，F(xiàn)在每天生活垃圾重量是多少千克？（2）學(xué)?，F(xiàn)在每天的可回收物和干垃圾各多少千克？（用二元一次方程組解）【分析】（1）根據(jù)現(xiàn)在每天生活垃圾重量＝原來每天生活垃圾重量×（1﹣20%），即可求出結(jié)論；（2）設(shè)學(xué)?，F(xiàn)在每天的可回收物有x千克，干垃圾有y千克，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)的問題②③④，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）400×（1﹣20%）＝320（千克）．答：學(xué)?，F(xiàn)在每天生活垃圾重量是320千克；（2）設(shè)學(xué)?，F(xiàn)在每天的可回收物有x千克，干垃圾有y千克，依題意得：，解得：．答：學(xué)?，F(xiàn)在每天的可回收物有160千克，干垃圾有60千克．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．21．（2021春?奉化區(qū)校級期末）工作人員從倉庫領(lǐng)取如圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒若干個，恰好使領(lǐng)取的紙板用完．（1）下表是工作人員兩次領(lǐng)取紙板數(shù)的記錄：日期正方形紙板（張）長方形紙板（張）第一次560940第二次4201002①倉庫管理員在核查時，發(fā)現(xiàn)一次記錄有誤．請你判斷第幾次的記錄有誤，并說明理由；②記錄正確的那一次，利用領(lǐng)取的紙板做了豎式與橫式紙盒各多少個？（2）若工作人員某次領(lǐng)取的正方形紙板數(shù)與長方形紙板數(shù)之比為1：3，請你求出利用這些紙板做出的豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值．【分析】（1）①設(shè)做成x個豎式紙盒，y個橫式紙盒，由領(lǐng)取的正方形的紙板和長方形的紙板之和應(yīng)該是5的倍數(shù)，可判斷第二次記錄錯誤；②由第一次記錄，列出方程組，可求解；（2）由正方形紙板數(shù)與長方形紙板數(shù)之比為1：3，可得，可求解．【解答】解：（1）①第二次記錄錯誤，理由如下：設(shè)做成x個豎式紙盒，y個橫式紙盒，則需要正方形紙板（x+2y）張，需要長方形的紙板（4x+3y）張，∴領(lǐng)取的正方形的紙板和長方形的紙板之和應(yīng)該是5的倍數(shù)，∴第二次記錄有誤；②由題意可得：，解得：答：做成40個豎式紙盒，260個橫式紙盒；（2）由題意可得：，解得：x＝3y，∴x：y＝3，答：豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值為3．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，找到正確的數(shù)量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．22．（2021春?西湖區(qū)校級期中）如圖，長為60cm，寬為xcm的大長方形被分割為10塊，除A、B兩塊外，其余8塊是形狀、大小完全一樣的小長方形，其較短一邊長為acm．（1）從圖可知，每個小長方形較長一邊長是（60﹣4a）cm．（用含a的代數(shù)式表示）（2）求圖中A、B兩塊的周長和為多少？（3）分別用含a、x和代數(shù)式表示A、B兩塊的面積，并求a為何值時這兩塊面積相等【分析】（1）從圖可知，每個小長方形較長一邊長是大長方形的長﹣小長方形寬的4倍；（2）從圖可知，A的長+B的寬＝x，A的寬+B的長＝x，依此求出兩塊陰影A、B的周長和；（3）根據(jù)長方形的面積＝長×寬即可表示陰影A、B的面積，再令SA＝SB，即可求出a的值．【解答】解：（1）每個小長方形較長一邊長是（60﹣4a）cm．故答案為（60﹣4a）；（2）∵A的長+B的寬＝x，A的寬+B的長＝x，∴A、B的周長和＝2（A的長+A的寬）+2（B的長+B的寬）＝2（A的長+B的寬）+2（B的長+A的寬）＝2x+2x＝4x；（3）∵SA＝（60﹣4a）×（x﹣4a）＝，SB＝4a（x﹣60+4a），∵A、B兩塊的面積相等，∴（60﹣4a）×（x﹣4a）＝4a（x﹣60+4a），（60﹣4a）x﹣4a（60﹣4a）＝4ax﹣4a（60﹣4a），（60﹣4a）x＝4ax，（60﹣4a）x﹣4ax＝0，（60﹣8a）x＝0，60﹣8a＝0，解得：a＝．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．題組B能力提升練一．選擇題（共5小題）1．（2021春?饒平縣校級期末）某地響應(yīng)國家號召，實施退耕還林政策．退耕還林之前，該地的林地面積和耕地面積共有180km2．退耕還林之后，該地的耕地面積是林地面積的30%．設(shè)退耕還林之后該地的耕地面積為xkm2，林地面積為ykm2，則可列方程組（）A． B． C． D．【分析】關(guān)鍵描述語是：林地面積和耕地面積共有180km2，耕地面積是林地面積的30%．等量關(guān)系為：林地面積+耕地面積＝180；耕地面積＝林地面積×30%．根據(jù)這兩個等量關(guān)系，可列方程組為B．【解答】解：設(shè)耕地面積xkm2，林地面積為ykm2，根據(jù)題意列方程組．故選：B．【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出等量關(guān)系，列出方程組．2．（2021?拱墅區(qū)校級四模）古代《折繩測井》“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？“譯文大致是：“用繩子測水井深度，如果將繩子折成三等分，井外余繩4尺；如果將繩子折成四等分，井外余繩1尺，問繩長、井深各是多少尺？”如果設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】用代數(shù)式表示井深即可得方程．此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測之，繩多四尺；②繩四折測之，繩多一尺．【解答】解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是，故選：A．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．3．（2021春?柯橋區(qū)月考）甲、乙兩水池現(xiàn)共貯水40t，如果甲池進水4t，乙池進水8t，那么甲池水量等于乙池水量，則甲、乙兩水池原先各自的貯水量是（）A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17t C．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t【分析】設(shè)甲水池原先的貯水量是xt，乙水池原先的貯水量是yt．根據(jù)等量關(guān)系：①兩水池共貯水40t；②如果甲池進水4t，乙池進水8t，那么甲池水量等于乙池水量，列方程組求解．【解答】解：設(shè)甲水池原先的貯水量是xt，乙水池原先的貯水量是yt，根據(jù)題意得，解得．答：甲水池原先的貯水量是22t，乙水池原先的貯水量是18t．故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的等量關(guān)系列方程組是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵，能夠熟練運用加減消元法解方程組．4．（2021春?奉化區(qū)校級期末）疫情期間，小明去藥店買口罩和消毒液（每包口罩單價相同，每瓶消毒液價格相同）．若購買20包口罩和15瓶消毒液，則身上的錢還少25元，若購買19包口罩和13瓶消毒液，則他身上的錢會剩下15元，若小明購買16只口罩和7瓶消毒液，則（）A．他身上的錢會剩下135元 B．他身上的錢會不足135元 C．他身上的錢會剩下105元 D．他身上的錢會不足105元【分析】設(shè)每只口罩為x元，每瓶消毒液為y元，由小江身上的錢不變得出方程20x+15y﹣25＝19x+13y+15，整理得x+2y＝40，再由小明購買16只口罩和7瓶消毒液的錢為16x+7y，得19x+13y+15﹣（16x+7y）＝3x+6y+15，代入計算即可．【解答】解：設(shè)每只口罩為x元，每瓶消毒液為y元，根據(jù)題意得：20x+15y﹣25＝19x+13y+15，整理得：x+2y＝40，∵小明購買16只口罩和7瓶消毒液的錢為16x+7y，∴19x+13y+15﹣（16x+7y）＝3x+6y+15＝3（x+2y）+15＝3×40+15＝135，即小明身上的錢會剩下135元，故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，得出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?包河區(qū)期末）用如圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒．現(xiàn)有m張正方形紙板和n張長方形紙板，如果做兩種紙盒若干個，恰好將紙板用完，則m+n的值可能是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【分析】設(shè)做豎式和橫式的兩種無蓋紙盒分別為x個、y個，然后根據(jù)所需長方形紙板和正方形紙板的張數(shù)列出方程組，再根據(jù)x、y的系數(shù)表示出m+n并判斷m+n為5的倍數(shù)，然后選擇答案即可．【解答】解：設(shè)做豎式和橫式的兩種無蓋紙盒分別為x個、y個，由題意得：，兩式相加得，m+n＝5（x+y），∵x、y都是正整數(shù)，∴m+n是5的倍數(shù)，∵2018、2019、2020、2021四個數(shù)中只有2020是5的倍數(shù)，∴m+n的值可能是2020，故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)未知數(shù)系數(shù)的特點，計算出所需兩種紙板的張數(shù)的和正好是5的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）《九章算術(shù)》是中國古代的一本重要數(shù)學(xué)著作，其中有一道方程的應(yīng)用題：“五只雀、六只燕，共重16兩，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重，問每只雀、燕的重量各為多少？”解：設(shè)雀每只x兩，燕每只y兩，則可列出方程組為．【分析】設(shè)雀重x兩，燕重y兩，根據(jù)五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，列方程組即可．【解答】解：設(shè)雀重x兩，燕重y兩，由題意得，．故答案是：．【點評】本題考查了有實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組．7．（2021?寧波模擬）如圖，一個矩形被分割成11個正方形，原矩形的長為a，寬為b（a＞b），則＝．【分析】設(shè)矩形中較小的正方形的邊長為x，較大的正方形的邊長為y，由圖中各個正方形的邊長之間的關(guān)系列出方程組，解方程組，進而求解即可．【解答】解：設(shè)矩形中較小的正方形的邊長為x，較大的正方形的邊長為y，由題意得：，解得：，又∵b＝3x+a＝a，∴＝，故答案為：．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，P是長方形ABCD內(nèi)一點，過點P分別作EF∥AB，GH∥BC，（E，F(xiàn)，G，H在長方形的各邊上），這樣，EF，GH就把長方形ABCD分割成四個小長方形，若其中長方形BEPG的面積是其周長的1.5倍，長方形AGPF和長方形PECH的面積均為2，則長方形PHDF的周長為．【分析】列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．【解答】解：設(shè)PG＝a，PE＝b，PF＝c，PH＝d，根據(jù)題意，得ac＝bd＝2，則c＝，d＝．又ab＝1.5×2（a+b）＝3（a+b）．c+d＝+＝＝＝．所以長方形PHDF的周長為2（c+d）＝．故答案為．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，長方形AGPF和長方形PECH的面積均為2，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）9．（2021春?蕭山區(qū)期末）（我國古代算題）馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．問：（1）馬牛各價幾何？（2）馬一十三匹、牛十頭，共價幾何？【分析】（1）設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，由題意：馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．列出方程組，解方程組即可；（2）由（1）的結(jié)果進行計算即可．【解答】解：（1）設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意得：，解得：，答：馬每匹6兩，牛每頭4兩；（2）由題意得：6×13+4×10＝118（兩），答：馬一十三匹、牛十頭，共價118兩．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．10．（2021春?麗水月考）如圖，已知方格紙的每一橫行中從第二（從左往右）個數(shù)起的數(shù)都比它左邊相鄰的數(shù)大m，各豎列中從第二（從上往下）個數(shù)起的數(shù)都比它上邊相鄰的數(shù)大n．（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值；（2）若w＝0，求x與a的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)表內(nèi)的各橫行中，從第二個數(shù)起的數(shù)都比它左邊相鄰的數(shù)大m得出8+2n﹣m＝9；再由各豎列中，從第二個數(shù)起的數(shù)都比它上邊相鄰的數(shù)大n，得出12+n﹣2m＝8，計算即可；（2）根據(jù)w＝0，得出a+n﹣2m＝0和x+n﹣2m＝a，整理即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：．（2）由已知得：，解得：x＝2a．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．11．（2021春?諸暨市月考）某企業(yè)承接了一批禮盒的制作業(yè)務(wù)，該企業(yè)進行了前期的試生產(chǎn)，如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）加工成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方形紙箱．（加工時接縫材料不計）（1）該企業(yè)原計劃用若干天加工紙箱300個，后來由于提升工作效率，實際加工時每天加工速度為原計劃的1.5倍，這樣提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計劃多加工15個，問原計劃每天加工禮盒多少個；（2）若該企業(yè)購進正方形紙板550張，長方形紙板1200張．問豎式紙盒，橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完．【分析】（1）設(shè)原計劃每天加工禮盒x個，則實際加工時每天加工禮盒1.5x個，根據(jù)“提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計劃多加工15個”即可得出關(guān)于x的分式方程，解方程即可得出x值；（2）設(shè)豎式紙盒加工m個，橫式紙盒加工n個，恰好能將購進的紙板全部用完．根據(jù)“豎式紙盒需要4個長方形和1個正方形紙板，橫式紙盒需要3個長方形和2個正方形紙板”即可得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)原計劃每天加工禮盒x個，則實際加工時每天加工禮盒1.5x個，根據(jù)題意得：＝3，解得：x＝30，經(jīng)檢驗：x＝30滿足題意．答：原計劃每天加工禮盒30個．（2）設(shè)豎式紙盒加工m個，橫式紙盒加工n個，恰好能將購進的紙板全部用完．由已知得：，解得：，答：豎式紙盒加工150個，橫式紙盒加工200個，恰好能將購進的紙板全部用完．【點評】本題考查了解分式方程、二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于m、n的二元一次方程組．12．（2020秋?禪城區(qū)期末）在元旦期間，某商場投入13800元資金購進甲、乙兩種商品共500件，兩種商品的成本價和銷售價如下表所示：商品單價（元/件）成本價銷售價甲2436乙3348（1）該商場購進兩種商品各多少件？（2）這批商品全部銷售完后，該商場共獲利多少元？【分析】（1）設(shè)商場購進甲種商品x件，購進乙種商品y件，根據(jù)投入13800元資金購進甲、乙兩種商品共5