2023年GCT數(shù)學(xué)真題及經(jīng)典解析

GCT入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測試試題（25題,每題4分，共１00分）難度增長:初等數(shù)學(xué)幾何和微積分線性代數(shù)和2０2３考試持平,關(guān)鍵考察計算1.若則值為(）B．C.D.設(shè)，則被4除余數(shù)是()A.B.Ｃ．Ｄ．圖所表達，是內(nèi)切圓中一個內(nèi)接正三角形,已知陰影部分面積為1500平方厘米，則正三角形面積等于(）平方厘米.A.1900B.C.21０0D.2２00已知數(shù)列通項是,則該數(shù)列前１01項和等于()A.２501B．２551C.26０1D.2651三個邊長為1正方形拼成圖所表達圖形,圖中有兩條線段相交銳角為,(）Ａ.B.Ｃ.D．若則代數(shù)式值為（）A．Ｂ.Ｃ.Ｄ.設(shè)A,Ｂ兩車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，沿同一公路相向勻速行駛.兩車第一次相遇于距甲地20公里處仍繼續(xù)前行,當(dāng)分別到達乙、甲兩地后立即按原速原路返回,途中第二次相遇于距乙地10公里處，則甲、乙兩地相距（)公里。A.B.C．D.8．設(shè)O為坐標(biāo)原點,大小關(guān)系圖所表達,則值是（）A.B.Ｃ.D.若函數(shù)是周期為6奇函數(shù),則值等于()Ａ.B.C．D.若復(fù)數(shù)，則（)Ａ．B.C.D.11.圖,面積為9平方厘米正方形在面積為2５平方厘米正方形所在平面上移動，一直保持.記線段中點為,中點為，則線段長度是（）厘米.A.Ｂ.C．Ｄ.1２．有長為六根細(xì)木條,任取其中3根為邊可以成一個三角形概率為(）A.Ｂ．C.D.13.某股民用３0０0０元買進甲乙兩種股票，在甲股票跌下１０%，乙股票升值8%時所有賣出，賺得1５００元,則該股民本來購置甲乙兩種股票所用錢數(shù)比例為(）A．2：3Ｂ．3:２C．１:5D.5:1１4.參數(shù)方程x=sｉnt＋ｃos(－t)+2在xOy平面上表達y=cosｔ+sin(-t)－3曲線是（)A.圓B.橢圓C．雙曲線D．拋物線15．一個盛滿水圓柱形容器，其底面半徑為1,母線長3.將該容器在水平桌面上平穩(wěn)地傾斜使水緩緩流出。當(dāng)容器中剩下水為本來時,圓柱母線和水平面所成角等于（)Ａ．３0。B.45。C．６０。D．75。16.當(dāng)x→３－時，下列選項中為無窮小量是（)A.Ｂ.lｎ(3－x)Ｃ.ｓiｎD．17.若f(x)在x０處可導(dǎo),且f(ｘ0)=a,f’（x0)=b,而|f(x）|在x０處不可導(dǎo),則（)Ａ.ａ=0,b＝0B.a=0,b≠0C.a≠0,b＝0D．ａ≠0,b≠0１8.若方程ｘ-eｌnｘ-ｋ=0在(0，1]上有解,則ｋ最小取值為()A．-1B．C．1D．ｅ1９.若函數(shù)ｙ(x)＝,,則=A.0Ｂ.1C.D.4ｅ若是xf（x)一個原函數(shù),則=（)A.-１B．C.D．1設(shè)f(ｘ)在[0,2]上單調(diào)連續(xù)，f(0)=1，f(2)＝2,且對任意x1,x２[0,2］,總有f()＞,g(x）ｓ是ｆ(x)反函數(shù),P=,則（）A.0<Ｐ<1Ｂ．1<Ｐ＜2Ｃ．2<P<３D．3<P<4在(x1,x2,x3）展開式中,x2x3項系數(shù)是()A.—4B.—2C．2D.1３對任意n階矩陣Ａ,Ｂ，C，若ABC＝E（E是單位矩陣)，則下列5式中:(ⅰ)ACB＝E(=2\*ｒoｍan\*ＭERＧEFORMＡTｉｉ)BＣA=E(=3\*roｍan＼*MEＲＧＥＦORMＡTｉii)ＢAC=Ｅ(=4＼*roｍan\*ＭＥRGEFOＲMATｉv)CBA=E(＝５\*romａn\＊MERＧEＦOＲＭAＴv)ＣAＢ=E恒成立有（）個。A．1B．2C.3D．４2４.若方程組有解，則其中a＝(）Ａ．－２B-1C．1D.2２5.若A=和Ｂ＝相同，則a=(）A.２B．1C.－1D.-2GＣT數(shù)學(xué)真題參考答案1.解析：解法一:（替換法）由，可知;由,可知;綜上，可知,代入，可得，選擇D選項。解法二:(特殊值法）令，由，得到;由,得到,于是，選擇D選項。解法三:(比例法)在上下同時除以，得到,選擇Ｄ選項。解法四：（估量法)由，可知是20倍，而是10倍；所以分子是分母10倍以上，而選項中只有D在１0倍以上，所以選擇D選項。2．解析:解法一:(等比數(shù)列法)事實上是一個首項為公比為等比數(shù)列前7項和，所以，而,所以余數(shù)是1,選擇B選項。解法二:（同余法），所以,,，，，，所以可以得到所以余數(shù)是1，選擇B選項。3．解析:解法一：依據(jù)正三角形性質(zhì),設(shè)邊長為,則其內(nèi)切圓半徑為;設(shè)邊長為,則其外接圓半徑為，所以,得到。所以面積是面積4倍,所以陰影部分是面積3倍,所以面積是平方厘米。解法二:依據(jù)對稱性，內(nèi)切圓和三條邊切于三條邊中點,將旋轉(zhuǎn)一下,其三個頂點恰好是這三個切點。依據(jù)三角形中位線原理,邊長是一半,所以面積是四分之一。4.解析:解:所以選擇C選項。5.解析:解:顯然，所以所以,選擇D選項。６、解析:解：由，得到選擇Ａ選項。7、解析：解：依據(jù)題意，畫圖以下。由于在同一段時間內(nèi)，行進路程之比等于速度之比，所以可設(shè)全路程為公里。則從開始到二人在C地相遇時，A走過了2０公里,而B走過了公里，所以Ｂ和A速度之比就是；同理，當(dāng)她們第二次相遇時，A走過了公里,而B走過了公里，所以Ｂ和A速度之比就是。由于二人在行進過程中速度是不變，所以有，解此方程過程以下:選擇D選項。【解析二】設(shè)甲、乙兩地相距S公里，A從甲到乙,B從乙到甲，第一次相遇時A行走路程為20公里，B行走路程為(S-２0)公里，第二次相遇時A行走路程為(Ｓ+10）公里,乙行走路程為(2Ｓ-1０)公里，她們兩次相遇共走了３個全程，由于走3個全程時間相同,故３個全程距離差是1個全程距離差3倍，所以(2S-１０）-(S+10)=３［(S－20)－２0]，所以Ｓ＝５０公里。８、解析：解法一：（去絕對值法）依據(jù)題意，所以,所以,所以，選擇Ｄ選項。解法二:（特殊值法)令，得到只有D選項對的。9、解析:解法一:(函數(shù)性質(zhì)）依據(jù)題意，（奇函數(shù)在零點處假如有定義則函數(shù)值為零),所以所以選擇A選項。解法二：(特殊函數(shù)法)令,既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，并且任意一個實數(shù)所有是它周期，所以符合題意。所以選擇Ａ選項。10、解析:解：(直接計算法）,所以，所以選擇C選項。11、解:（解析幾何法)本題用平面幾何方法解比較困難，即使是使用特殊位置法計算也會比較麻煩,所以我們采用解析幾何方法來計算。先建立一個平面直角坐標(biāo)系，將A點設(shè)為坐標(biāo)原點，AＤ邊和ＡB邊分別落在軸和軸上，要使,只需要ＥF邊所在直線垂直于軸即可,以下圖所表達:顯然正方形ABCD邊長是5，而正方形ＥFGH邊長是３,于是可以把多個點坐標(biāo)標(biāo)出來：設(shè)Ｅ點坐標(biāo)是，由于EF垂直于軸,則ＥH平行于軸，于是得到此外幾點坐標(biāo)分別是:依據(jù)線段中點坐標(biāo)公式,可知M點和N點坐標(biāo)分別為:，依據(jù)平面內(nèi)兩點間距離公式,可以算得：。所以對的答案選擇C選項。12、解析:(列舉法)從６根細(xì)木條中任取3根總數(shù)為，能組成三角形情況是共７種情況,所以概率是,選擇D選項。13.【答案】Ｃ【解析】設(shè)該股民本來購置甲乙兩種股票所用錢數(shù)比例為，所以有,解得。14.【答案】A【解析】由已知，，故參數(shù)方程可化為，是一個認(rèn)為圓心,為半徑圓。15.【答案】B【解析】我們畫出此容器橫截面圖，是一個長為3寬為2長方形,由于容器中剩下水為本來，連接ＡB，則AB以下部分水是總水量，AB以上部分水是總水量，我們將此問題轉(zhuǎn)化為平面圖像面積，由上面分析，長方形容器面積為6，所以,所以a=１，又ＡＣ平行于桌面,故由于a＝1,故△ACE是等腰直角三角形,所以。16.【答案】D【解析】當(dāng)x→3-時,,所以選D。17.【答案】Ｂ【解析】令,可排除A;令f();令,可排除D,故選B。18.【答案】Ｃ【解析】將原方程化為在(0，1]上有解,令,則交點橫坐標(biāo)即為根,由于，駐點，，當(dāng)又在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以是最小值點,最小值為，所以在(0,1]上,所以在(0，1]上和總有交點，由于在單調(diào)遞減，所以k最小值為1。19．【答案】D【解析】由于，所以，所以,選D2０.【答案】C【解析】.由于，所以，所以，２1.【答案】Ａ【解析】由已知是[0，2］上凸函數(shù),和g(x)互為反函數(shù)，所以它們圖像相關(guān)y＝ｘ對稱,g(x）過(１,0）、