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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,為圓上的動(dòng)點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn),若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.3.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.44.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值:先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì);再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值,那么可以估計(jì)的值約為()A. B. C. D.5.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對(duì)任意都有零點(diǎn);則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.6.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.7.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.88.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若,則實(shí)數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.9.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c11.某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排,要求郁金香不在兩邊,任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種A. B. C. D.12.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,則的值為_(kāi)_______.14.的展開(kāi)式中含的系數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)15.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則=_______.16.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-101三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知在四棱錐中,平面,,在四邊形中,,,,為的中點(diǎn),連接,為的中點(diǎn),連接.(1)求證:.(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知三棱柱中,,是的中點(diǎn),,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點(diǎn),且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于,兩點(diǎn),求點(diǎn)到,的距離之積.21.(12分)過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.22.(10分)已知.(1)已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解,求的取值范圍;(2)求不等式的解集.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
由題意得,即可得點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn),的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn),的雙曲線,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.2.C【解析】
把截面畫(huà)完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對(duì)稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào),∴所求最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問(wèn)題,解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn),第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.3.D【解析】可以是共4個(gè),選D.4.D【解析】
由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),滿足,面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì),滿足條件的面積,由幾何概型概率計(jì)算公式,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計(jì)的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì),即,對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形,其面積為,若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.5.A【解析】
先分別判斷每一個(gè)命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí),直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí),,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當(dāng)時(shí),沒(méi)有零點(diǎn),所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.7.D【解析】
畫(huà)出可行域,計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬綜合基礎(chǔ)題.9.C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價(jià)條件為,再利用大角對(duì)大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定,同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對(duì)大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.10.A【解析】
利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11.B【解析】
間接法求解,兩盆錦紫蘇不相鄰,被另3盆隔開(kāi)有,扣除郁金香在兩邊有,即可求出結(jié)論.【詳解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有種,然后將盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有,扣除郁金香在兩邊,排盆虞美人、盆郁金香有種,再將盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有,所以共有種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列應(yīng)用問(wèn)題、分步乘法計(jì)數(shù)原理,不相鄰問(wèn)題插空法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12.D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】由題意得,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.15.【解析】
先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16.【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)連接,證明,得到面,得到證明.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(1)連接,在四邊形中,,平面,面,,,面,又面,,又在直角三角形中,,為的中點(diǎn),,,面,面,.(2)以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,,,,,令,則,,,同理可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)向量與的所成的角為,,由圖形知,二面角為銳二面角,所以余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點(diǎn),,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點(diǎn),以,,為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì),考查空間向量與空間角的計(jì)算,屬于中檔題.19.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接,設(shè),連接.通過(guò)證明,證得直線平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的正弦值.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,因?yàn)?,所以,所以,在中,因?yàn)?,所以,且平面,故平?(2)因?yàn)?,,,,,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,所以,,取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,,,,所以,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,,設(shè)為平面的法向量,則,令,解得,,所以,即為平面的一個(gè)法向量.,同理可求得平面的一個(gè)法向量為所以所以二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20.(1)曲線:,直線的直角坐標(biāo)方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線化為普通方程,再根據(jù)將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)題意設(shè)直線參數(shù)方程,代入C方程,利用參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得點(diǎn)到,的距離之積試題解析:(1)曲線化為普通方程為:,由,得,所以直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡(jiǎn)得:,設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.21.(1);(2).【解析】
(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫(xiě)出直線MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線方程,并將其化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,根據(jù),結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線MN的參數(shù)方程代入曲線,得,整理得,設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為,,則,當(dāng)時(shí)
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