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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年長(zhǎng)江藝術(shù)工程職業(yè)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(2,),則過(guò)點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是()
A.ρsinθ=1
B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1
D.ρcosθ=答案:A2.把下列命題寫成“若p,則q”的形式,并指出條件與結(jié)論.
(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;
(2)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax是增函數(shù).答案:(1)若兩個(gè)三角形相似,則它們的對(duì)應(yīng)角相等.條件p:三角形相似,結(jié)論q:對(duì)應(yīng)角相等.(2)若a>1,則函數(shù)y=ax是增函數(shù).條件p:a>1,結(jié)論q:函數(shù)y=ax是增函數(shù).3.已知某離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=76,ξ的分布列如下,則a=______.
答案:∵Eξ=76=0×a+1×13+2×16+3b∴b=16,∵P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1∴a+13+16+16=1∴a=13.故為:134.已知函數(shù)f(x)=x2+2,x≥13x,x<1,則f(f(0))=()A.4B.3C.9D.11答案:因?yàn)閒(0)=30=1,所以f[f(0)]═f(1)=1+2=3.故選B.5.空間向量a=(2,-1,0),.b=(1,0,-1),n=(1,y,z),若n⊥a,n⊥b,則y+z=______.答案:∵n⊥a,n⊥b,∴n?a=0n?b=0,即2-y=01-z=0,解得y=2z=1,∴y+z=3.故為3.6.若平面向量a與b的夾角為120°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=______.答案:∵|a+2b|=(a+2b)2=a
2+4a?b+4
b2=|a|2+4|a||b|cos<a,b>+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2.故為:27.每一噸鑄鐵成本y
(元)與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x,下列說(shuō)法正確的是()A.廢品率每增加1%,成本每噸增加64元B.廢品率每增加1%,成本每噸增加8%C.廢品率每增加1%,成本每噸增加8元D.如果廢品率增加1%,則每噸成本為56元答案:∵回歸方程y=56+8x,∴當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),對(duì)應(yīng)的y要增加8個(gè)單位,這里是平均增加8個(gè)單位,故選C.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ為參數(shù))和直線l:x=4t+6y=-3t-2(t為參數(shù)),則直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)等于______.答案:∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ為參數(shù)),∴(x+1)2+(y-2)2=25,∴圓心為(-1,2),半徑為5,∵直線l:x=4t+6y=-3t-2(t為參數(shù)),∴3x+4y-10=0,∴圓心到直線l的距離d=|-3+8-10|5=1,∴直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)=2×52-1=46.故為46.9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1),如果f(x1+x2+…+x2009)=8,那么f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)的值等于()A.32B.64C.16D.8答案:f(x1+x2+…+x2009)=8可得ax1+x2+…+x2009=8f(2x1)×f(2x2)×…×f(2x2009)=a2(x1+x2+…+x2009)=82=64故選B.10.設(shè)x1、x2、y1、y2是實(shí)數(shù),且滿足x12+x22≤1,
證明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).答案:證明略解析:分析:要證原不等式成立,也就是證(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.(1)當(dāng)x12+x22=1時(shí),原不等式成立.……………3分(2)當(dāng)x12+x22<1時(shí),聯(lián)想根的判別式,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)…7分其根的判別式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).………9分由題意x12+x22<1,函數(shù)f(x)的圖象開口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,………11分因此拋物線與x軸必有公共點(diǎn).∴Δ≥0.∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,…………13分即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).……………14分11.兩弦相交,一弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,求另一弦長(zhǎng)______.答案:設(shè)另一弦長(zhǎng)xcm;由于另一弦被分為3:8的兩段,故兩段的長(zhǎng)分別為311xcm,811xcm,有相交弦定理可得:311x?811x=12?18解得x=33故為:33cm12.如圖:一個(gè)力F作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移,F(xiàn)的大小為50牛,且與小車的位移方向的夾角為60°,則F在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為______,力F做的功為______牛米.答案:如圖,∵|F|=50,且F與小車的位移方向的夾角為60°,∴F在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為:|F|cos60°=50×12=25(牛).∵力F作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移,∴力F做的功w=25×40=1000(牛米).故為:25牛,1000.13.已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則A1B1=A2B2是l1∥l2的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件答案:當(dāng)A1B1=A2B2
時(shí),兩直線可能平行,也可能重合,故充分性不成立.當(dāng)l1∥l2時(shí),B1與B2可能都等于0,故A1B1=A2B2
不一定成立,故必要性不成立.綜上,A1B1=A2B2是l1∥l2的既非充分又非必要條件,故選D.14.兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有______
種(以數(shù)字作答)答案:由題意,先排男生,再插入女生,可得兩名女生不相鄰的排法共有A44?A25=480種故為:48015.已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,3)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC邊上的中點(diǎn)。
(1)求AB邊所在的直線方程。
(2)求中線AM的長(zhǎng)。
(3)求點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。答案:解:(1)由兩點(diǎn)式得AB邊所在的直線方程為:=即2x-y+3=0(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(1,1)∴|AM|==(3)設(shè)C點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為C′(x′,y′)則CC′⊥AB且線段CC′的中點(diǎn)在直線AB上。即解之得x′=
y′=C′點(diǎn)坐標(biāo)為(,)16.若=(2,-3,1)是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面α的法向量的是()
A.(0,-3,1)
B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1)
D.(-2,3,-1)答案:D17.若根據(jù)10名兒童的年齡
x(歲)和體重
y(㎏)數(shù)據(jù)用最小二乘法得到用年齡預(yù)報(bào)體重的回歸方程是
y=2x+7,已知這10名兒童的年齡分別是
2、3、3、5、2、6、7、3、4、5,則這10名兒童的平均體重是()
A.17㎏
B.16㎏
C.15㎏
D.14㎏答案:C18.類比“等差數(shù)列的定義”給出一個(gè)新數(shù)列“等和數(shù)列的定義”是()A.連續(xù)兩項(xiàng)的和相等的數(shù)列叫等和數(shù)列B.從第一項(xiàng)起,以后每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都相等的數(shù)列叫等和數(shù)列C.從第二項(xiàng)起,以后每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都不相等的數(shù)列叫等和數(shù)列D.從第二項(xiàng)起,以后每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都相等的數(shù)列叫等和數(shù)列答案:由等差數(shù)列的定義:從第二項(xiàng)起,以后每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都相等的數(shù)列叫等差數(shù)列類比可得:從第二項(xiàng)起,以后每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都相等的數(shù)列叫等和數(shù)列故選D19.在用樣本頻率估計(jì)總體分布的過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是()A.總體容量越大,估計(jì)越精確B.總體容量越小,估計(jì)越精確C.樣本容量越大,估計(jì)越精確D.樣本容量越小,估計(jì)越精確答案:∵用樣本頻率估計(jì)總體分布的過(guò)程中,估計(jì)的是否準(zhǔn)確與總體的數(shù)量無(wú)關(guān),只與樣本容量在總體中所占的比例有關(guān),∴樣本容量越大,估計(jì)的月準(zhǔn)確,故選C.20.設(shè)D為△ABC的邊AB上一點(diǎn),P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足AD=23AB,AP=AD+14BC,則S△APDS△ABC=()A.29B.16C.754D.427答案:由題意,AP=AD+DP,AP=AD+14BC∴DP=14BC∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=23∴S△APDS△ABC=23×14=16故選B.21.若已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)(1,233),且它的一條準(zhǔn)線方程為x=3,則該橢圓的方程為______.答案:設(shè)橢圓的方程是x2a2+y2b2=1,由題設(shè),中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)(1,233),且它的一條準(zhǔn)線方程為x=3,∴1a2+43b2=1,a2c=3,又a2=c2+b2三式聯(lián)立可以解得a=3,b=2,c=1或a=7,b=143,c=73故該橢圓的方程為x23+y22=1或x27+y2149=1故應(yīng)填x23+y22=1或x27+y2149=122.已知適合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3,求p的值.答案:因?yàn)閤的最大值為3,故x-3<0,原不等式等價(jià)于|x2-4x+p|-x+3≤5,(3分)即-x-2≤x2-4x+p≤x+2,則x2-5x+p-2≤0x2-3x+p+2≥0
解的最大值為3,(6分)設(shè)x2-5x+p-2=0
的根分別為x1和x2,x1<x2,x2-3x+p+2=0的根分別為x3和
x4,x3<x4.則x2=3,或x4=3.若x2=3,則9-15+p-2=0,p=8,若x4=3,則9-9+p+2=0,p=-2.當(dāng)p=-2時(shí),原不等式無(wú)解,檢驗(yàn)得:p=8
符合題意,故p=8.(12分)23.某海域有A、B兩個(gè)島嶼,B島在A島正東40海里處.經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線像一個(gè)橢圓,其焦點(diǎn)恰好是A、B兩島.曾有漁船在距A島正西20海里發(fā)現(xiàn)過(guò)魚群.某日,研究人員在A、B兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)(傳播速度相同),A、B兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為5:3.你能否確定魚群此時(shí)分別與A、B兩島的距離?答案:以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)橢圓方程為:x2a2+y2b2=1(a>b>0)且c=a2-b2------(3分)因?yàn)榻裹c(diǎn)A的正西方向橢圓上的點(diǎn)為左頂點(diǎn),所以a-c=20------(5分)又|AB|=2c=40,則c=20,a=40,故b=203------(7分)所以魚群的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是x21600+y21200=1------(8分)由于A,B兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為5:3,因此設(shè)此時(shí)距A,B兩島的距離分別為5k,3k-------(10分)由橢圓的定義可知5k+3k=2×40=80?k=10--------(13分)即魚群分別距A,B兩島的距離為50海里和30海里.------(14分)24.已知方程x2-(k2-9)x+k2-5k+6=0的一根小于1,另一根大于2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.答案:令f(x)=x2-(k2-9)x+k2-5k+6,則∵方程x2-(k2-9)x+k2-5k+6=0的一根小于1,另一根大于2,∴f(1)<0
且f(2)<0,∴12-(k2-9)+k2-5k+6<0且22-2(k2-9)+k2-5k+6<0,即16-5k<0且k2+5k-28>0,解得k>137-52.25.如圖,平行四邊形ABCD中,AE:EB=1:2,若△AEF的面積等于1cm2,則△CDF的面積等于______cm2.答案:平行四邊形ABCD中,有△AEF~△CDF∴△AEF與△CDF的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比的平方,∵AE:EB=1:2,∴AE:CD=1:3∵△AEF的面積等于1cm2,∴∵△CDF的面積等于9cm2故為:926.用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).答案:同解析解析:解:324=243×1+81
243=81×3+0
則324與243的最大公約數(shù)為81又135=81×1+54
81=54×1+27
54=27×2+0則81與135的最大公約數(shù)為27所以,三個(gè)數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27.另法為所求。27.若點(diǎn)M,A,B,C對(duì)空間任意一點(diǎn)O都滿足則這四個(gè)點(diǎn)()
A.不共線
B.不共面
C.共線
D.共面答案:D28.曲線xy=1的參數(shù)方程不可能是()
A.
B.
C.
D.答案:B29.已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),丨a丨=5,丨b丨=6,a?b=30,則a1+a2b1+b2=______.答案:因?yàn)樨璦丨=5,丨b丨=6,a?b=30,又a?b=|a|?|b|cos<a,b>=30,即cos<a,b>=1,所以a,b同向共線.設(shè)b=ka,(k>0).則b1=ka1,b2=ka2,所以|b|=k|a|,所以k=65,所以a1+a2b1+b2=a1+a2k(a1+a2)=1k=56.故為:56.30.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=1x有相同定義域的是()A.f(x)=log2xB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=2x答案:∵函數(shù)y=1x定義域?yàn)閤>0,又函數(shù)f(x)=log2x定義域x>0,故選A.31.有以下命題:①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么的關(guān)系是不共線;②O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)O,A,B,C一定共面;③已知向量是空間的一個(gè)基底,則向量,也是空間的一個(gè)基底.其中正確的命題是[
]A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③答案:C32.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=2.在BC邊上任取一點(diǎn)M,則∠AMB≥90°的概率為______.答案:過(guò)A點(diǎn)做BC的垂線,垂足為M',當(dāng)M點(diǎn)落在線段BM'(含M'點(diǎn)不含B點(diǎn))上時(shí)∠AMB≥90由∠A=90°,AB=1,BC=2解得BM'=12,則∠AMB≥90°的概率p=122=14.故為:1433.若log
23(x-2)≥0,則x的范圍是______.答案:由log
23(x-2)≥0=log231,可得0<x-2≤1,解得2<x≤3,故為(2,3].34.如圖,已知△ABC,過(guò)頂點(diǎn)A的圓與邊BC切于BC的中點(diǎn)P,與邊AB、AC分別交于點(diǎn)M、N,且CN=2BM,點(diǎn)N平分AC.則AM:BM=()
A.2
B.4
C.6
D.7
答案:D35.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,π6)到直線ρsinθ=2的距離等于______.答案:在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2
,
π6)化為直角坐標(biāo)為(3,1),直線ρsinθ=2化為直角坐標(biāo)方程為y=2,(3,1),到y(tǒng)=2的距離1,即為點(diǎn)(2
,
π6)到直線ρsinθ=2的距離1,故為:1.36.一條直線的傾斜角的余弦值為32,則此直線的斜率為()A.3B.±3C.33D.±33答案:設(shè)直線的傾斜角為α,∵α∈[0,π),cosα=32∴α=π6因此,直線的斜率k=tanα=33故選:C37.考慮坐標(biāo)平面上以O(shè)(0,0),A(3,0),B(0,4)為頂點(diǎn)的三角形,令C1,C2分別為△OAB的外接圓、內(nèi)切圓.請(qǐng)問(wèn)下列哪些選項(xiàng)是正確的?
(1)C1的半徑為2
(2)C1的圓心在直線y=x上
(3)C1的圓心在直線4x+3y=12上
(4)C2的圓心在直線y=x上
(5)C2的圓心在直線4x+3y=6上.答案:O,A,B三點(diǎn)的位置如右圖所示,C1,C2為△OAB的外接圓與內(nèi)切圓,∵△OAB為直角三角形,∴C1為以線段AB為直徑的圓,故半徑為12|AB|=52,所以(1)選項(xiàng)錯(cuò)誤;又C1的圓心為線段AB的中點(diǎn)(32,2),此點(diǎn)在直線4x+3y=12上,所以選項(xiàng)(2)錯(cuò)誤,選項(xiàng)(3)正確;如圖,P為△OAB的內(nèi)切圓C2的圓心,故P到△OAB的三邊距離相等均為圓C2的半徑r.連接PA,PB,PC,可得:S△OAB=S△POA+S△PAB+S△POB?12×3×4=12×3×r+12×5×r+12×4×r?r=1故P的坐標(biāo)為(1,1),此點(diǎn)在y=x上.所以選項(xiàng)(4)正確,選項(xiàng)(5)錯(cuò)誤,綜上,正確的選項(xiàng)有(3)、(4).38.設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且滿足:“當(dāng)成立時(shí),總可推出成立”.那么,下列命題總成立的是A.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立B.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立C.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立D.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立答案:D解析:若成立,依題意則應(yīng)有當(dāng)時(shí),均有成立,故A不成立,若成立,依題意則應(yīng)有當(dāng)時(shí),均有成立,故B不成立,因命題“當(dāng)成立時(shí),總可推出成立”.“當(dāng)成立時(shí),總可推出成立”.因而若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立,故C也不成立。對(duì)于D,事實(shí)上,依題意知當(dāng)時(shí),均有成立,故D成立。39.若關(guān)于x的一元二次實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0有一個(gè)根為1+i(i是虛數(shù)單位),則p+q的值是()
A.-1
B.0
C.2
D.-2答案:B40.已知P(4,-9),Q(-2,3)且Y軸與線段PQ交于M,則Q分的比為()
A.-2
B.-
C.
D.3答案:B41.已知=(1,2),=(x,1),當(dāng)(+2)⊥(2-)時(shí),實(shí)數(shù)x的值為(
)
A.6
B.2
C.-2
D.或-2答案:D42.如圖①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx,根據(jù)圖象可得a、b、c、d與1的大小關(guān)系為()
A.a(chǎn)<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d
D.a(chǎn)<b<1<d<c
答案:B43.為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡足球之間有無(wú)關(guān)系,一般需要收集以下數(shù)據(jù)______.答案:為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡足球之間有無(wú)關(guān)系,一般需要收集男女生中喜歡或不喜歡足球的人數(shù),再得出2×2列聯(lián)表,最后代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式,得出結(jié)果.故為:男女生中喜歡或不喜歡足球的人數(shù).44.(幾何證明選講選選做題)如圖,AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn),∠ABC的平分線與⊙O相交于.D已知BC=1,AB=3,則AD=______;過(guò)B、D分別作⊙O的切線,則這兩條切線的夾角θ=______.答案:∵AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn)∴∠ABC=90°∵∠ABC的平分線與⊙O相交于D,BC=1,AB=3∴∠C=60°,∠BAC=30°,∠ABD=∠CBD=45°由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°△ABD中,由正弦定理可得ABsin60°=ADsin45°即AD=3sin60°×sin45°=2∵∠BAD=30°+45°=75°∴∠BOD=2∠BAD=150°設(shè)所作的兩切線交于點(diǎn)P,連接OB,OD,則可得OB⊥PB,OD⊥PD即∠OBP=∠ODP=90°∴點(diǎn)ODPB共圓∴∠P+∠BOD=180°∴∠P=30°故為:2,30°45.在某電視歌曲大獎(jiǎng)賽中,最有六位選手爭(zhēng)奪一個(gè)特別獎(jiǎng),觀眾A,B,C,D猜測(cè)如下:A說(shuō):獲獎(jiǎng)的不是1號(hào)就是2號(hào);A說(shuō):獲獎(jiǎng)的不可能是3號(hào);C說(shuō):4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)都不可能獲獎(jiǎng);D說(shuō):獲獎(jiǎng)的是4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)中的一個(gè).比賽結(jié)果表明,四個(gè)人中恰好有一個(gè)人猜對(duì),則猜對(duì)者一定是觀眾
獲特別獎(jiǎng)的是
號(hào)選手.答案:C,3.解析:推理如下:因?yàn)橹挥幸蝗瞬聦?duì),而C與D互相否定,故C、D中一人猜對(duì)。假設(shè)D對(duì),則推出B也對(duì),與題設(shè)矛盾,故D猜錯(cuò),所以猜對(duì)者一定是C;于是B一定猜錯(cuò),故獲獎(jiǎng)?wù)呤?號(hào)選手(此時(shí)A錯(cuò)).46.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,則在映射f下,象20的原象是()A.2B.3C.4D.5答案:由2n+n=20求n,用代入法可知選C.故選C47.兩個(gè)樣本甲和乙,其中=10,=10,=0.055,=0.015,那么樣本甲比樣本乙波動(dòng)()
A.大
B.相等
C.小
D.無(wú)法確定答案:A48.已知直線l:x=2+ty=1-at(t為參數(shù)),與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點(diǎn).
(1)若A,B的中點(diǎn)為P(2,1),求|AB|;
(2)若P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),求直線l的直角坐標(biāo)方程.答案:(1)直線l:x=2+ty=1-at代入橢圓方程,整理得(4a2+1)t2-4(2a-1)t-8=0設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則t1+t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-84a2+1,∵A,B的中點(diǎn)為P(2,1),∴t1+t2=0解之得a=12,∴t1t2=-4,∵|AP|=12+(-12)2|t1|=52|t1|,|BP|=52|t2|,∴|AB|=52(|t1|+|t1|)=52×(t1+t2)2-4t1t2=25,(2)P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),∴|AP|=12|PB|,∴1+a2|t1|=21+a2|t2|,?t1=-2t2,∴t1+t2=-t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-2t
22=-84a2+1,∴t
22=44a2+1,∴16(2a-1)2(4a2+1)2=44a2+1,解得a=4±76,∴直線l的直角坐標(biāo)方程y-1=4±76(x-2).49.已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()
A.(,-)
B.(,-)
C.(-,)
D.(-,)答案:A50.用反證法證明命題“若a、b∈N,ab能被2整除,則a,b中至少有一個(gè)能被2整除”,那么反設(shè)的內(nèi)容是______.答案:根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立,而要證命題的否定為:“a,b都不能被2整除”,故為:a、b都不能被2整除.第2卷一.綜合題(共50題)1.已知復(fù)數(shù)z的模為1,且復(fù)數(shù)z的實(shí)部為13,則復(fù)數(shù)z的虛部為______.答案:設(shè)復(fù)數(shù)的虛部是b,∵復(fù)數(shù)z的模為1,且復(fù)數(shù)z的實(shí)部為13,∴(13)2+b2=1,∴b2=89,∴b=±223故為:±2232.如圖,AB為⊙O的直徑,弦AC、BD交于點(diǎn)P,若AP=5,PC=3,DP=5,則AB=______.
答案:∵AP=5,PC=3,DP=5由相交弦定理可得:BP=35又∵AB為直徑,∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故為:103.(選做題)某制藥企業(yè)為了對(duì)某種藥用液體進(jìn)行生物測(cè)定,需要優(yōu)選培養(yǎng)溫度,實(shí)驗(yàn)范圍定為29℃~63℃,精確度要求±1℃,用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)選時(shí),能保證找到最佳培養(yǎng)溫度需要最少實(shí)驗(yàn)次數(shù)為(
)。答案:74.若,,,則
(
)
A.
B.
C.
D.答案:A5.已知|a=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,求向量.a+2b與2a+b的夾角.答案:由題意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,設(shè)a+2b與2a+b夾角為θ,則cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,則θ=arccos57146.若21-i=a+bi(i為虛數(shù)單位,a,b∈R),則a+b=______.答案:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2.故為:27.設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,a⊥b,且a,b的模分別為s,t,其中s=a1=1,t=a3,an+1=nan,則c的模為______.答案:∵向量a,b,c滿足a+b+c=0,a⊥b,∴向量a,b,c構(gòu)成一個(gè)直角三角形,如圖∵s=a1=1,t=a3,an+1=nan,∴a21=1,即a2=1,∴a31=2,t=a3=2.∴|c|=1+4=5.故為:5.8.如果執(zhí)行如圖的程序框圖,那么輸出的S=______.答案:根據(jù)題意可知該循環(huán)體運(yùn)行4次第一次:i=2,s=4,第二次:i=3,s=10,第三次:i=4,s=22,第四次:i=5,s=46,因?yàn)閕=5>4,結(jié)束循環(huán),輸出結(jié)果S=46.故為:46.9.設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2,已知點(diǎn)C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0),B(1,0),則下面說(shuō)法正確的是()A.C可能是線段AB的中點(diǎn)B.D可能是線段AB的中點(diǎn)C.C,D可能同時(shí)在線段AB上D.C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上答案:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入1λ+1μ=2得1c+1d=2(1)若C是線段AB的中點(diǎn),則c=12,代入(1)d不存在,故C不可能是線段AB的中,A錯(cuò)誤;同理B錯(cuò)誤;若C,D同時(shí)在線段AB上,則0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此時(shí)C和D點(diǎn)重合,與條件矛盾,故C錯(cuò)誤.故選D10.設(shè)d1與d2都是直線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,則下列關(guān)于d1與d2的敘述正確的是()A.d1=d2B.d1與d2同向C.d1∥d2D.d1與d2有相同的位置向量答案:根據(jù)直線的方向向量定義,把直線上的非零向量以及與之共線的非零向量叫做直線的方向向量.因此,線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量都應(yīng)該是共線的故選C.11.解不等式|2x-1|<|x|+1.答案:根據(jù)題意,對(duì)x分3種情況討論:①當(dāng)x<0時(shí),原不等式可化為-2x+1<-x+1,解得x>0,又x<0,則x不存在,此時(shí),不等式的解集為?.②當(dāng)0≤x<12時(shí),原不等式可化為-2x+1<x+1,解得x>0,又0≤x<12,此時(shí)其解集為{x|0<x<12}.③當(dāng)x≥12
時(shí),原不等式可化為2x-1<x+1,解得12≤x<2,又由x≥12,此時(shí)其解集為{x|12≤x<2},?∪{x|0<x<12
}∪{x|12≤x<2
}={x|0<x<2};綜上,原不等式的解集為{x|0<x<2}.12.已知a=(1,2),則|a|=______.答案:∵a=(1,2),∴|a|=12+22=5.故為5.13.在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)到直線ρcosθ=2的距離為______.答案:直線ρcosθ=2即x=2,極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0),故極點(diǎn)到直線ρcosθ=2的距離為2,故為2.14.下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù),則y關(guān)于x的線性回歸方程
必過(guò)點(diǎn)()
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.(2,2)
B.(1.5,2)
C.(1,2)
D.(1.5,4)答案:D15.一口袋內(nèi)裝有5個(gè)黃球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次取出一個(gè),取出后記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,停止時(shí)取球的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(ξ=12)=______.(填算式)答案:若ξ=12,則取12次停止,第12次取出的是紅球,前11次中有9次是紅球,∴P(ξ=12)=C119(38)9×(58)2×38=C911(38)10(58)2
故為C911(38)10(58)216.已知雙曲線x2-y23=1,過(guò)P(2,1)點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn),并使P為AB的中點(diǎn),則直線AB的斜率為______.答案:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),代入雙曲線方程x2-y23=1相減得直線AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=3×x1+x22y1+y22=3×21=6.故為:617.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()
A.a(chǎn)2
B.a(chǎn)
C.a(chǎn)
D.a(chǎn)答案:C18.以下坐標(biāo)給出的點(diǎn)中,在曲線x=sin2θy=sinθ+cosθ上的點(diǎn)是()A.(12,-2)B.(2,3)C.(-34,12)D.(1,3)答案:把曲線x=sin2θy=sinθ+cosθ消去參數(shù)θ,化為普通方程為y2=1+x(-1≤x≤1),結(jié)合所給的選項(xiàng),只有C中的點(diǎn)在曲線上,故選C.19.計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言很多,但各種程序語(yǔ)言都包含下列基本的算法語(yǔ)句:______,______,______,______,______.答案:計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言很多,但各種程序語(yǔ)言都包含下列基本的算法語(yǔ)句:輸入語(yǔ)句,輸出語(yǔ)句,賦值語(yǔ)句,條件語(yǔ)句,循環(huán)語(yǔ)句.故為:輸入語(yǔ)句,輸出語(yǔ)句,賦值語(yǔ)句,條件語(yǔ)句,循環(huán)語(yǔ)句.20.雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率等于2,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),則此雙曲線的漸近線方程是______.答案:∵離心率等于2,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),∴ca=2,
c=2且焦點(diǎn)在x軸上,∴a=1∵c2=a2+b2∴b2=3∴b=3.所以雙曲線的漸進(jìn)方程為y=±3x.故為y=±3x21.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,若AB=a,BC=b,AC=c.則|a+b+2c|的值是______.答案:由題意可得|a|=|b|=1,|c|=2,a+
b=c,∴|a+b+2c|=|3c|=32,故為32.22.一個(gè)盒子中裝有4張卡片,上面分別寫著四個(gè)函數(shù):f1(x)=x3,f2(x)=x4,f3(x)=2|x|,f4(x)=x+1x,現(xiàn)從盒子中任取2張卡片,將卡片上的函數(shù)相乘得到一個(gè)新函數(shù),所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是______.答案:要使所得函數(shù)為奇函數(shù),取出的兩個(gè)函數(shù)必須是一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù).而所給的4個(gè)函數(shù)中,有2個(gè)奇函數(shù)、2個(gè)偶函數(shù).所有的取法種數(shù)為C24=6,滿足條件的取法有2×2=4種,故所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是46=23,故為23.23.已知偶函數(shù)f(x)的圖象與x軸有五個(gè)公共點(diǎn),那么方程f(x)=0的所有實(shí)根之和為______.答案:∵函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱∴其圖象與x軸有五個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱其中一個(gè)為0.另四個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱.∴方程f(x)=0的所有實(shí)根之和為0故為:0.24.如圖,△PAB所在的平面α和梯形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,則點(diǎn)P在平面α內(nèi)的軌跡是()A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分答案:由AD⊥α,可得AD⊥AP,tan∠ADP=APAD,四邊形ABCD是梯形,則AD∥BC,可得BC⊥α,BC⊥BP,則tan∠BCP=BPBC,又由tan∠ADP+2tan∠BCP=10,且AD=4,BC=8,可得AP+BP=40,又由AB=6,則AP+BP>AB,故P在平面α內(nèi)的軌跡是橢圓的一部分,故選B.25.命題“若a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是
______.答案:∵“a,b都是奇數(shù)”的否命題是“a,b不都是奇數(shù)”,“a+b是偶數(shù)”的否命題是“a+b不是偶數(shù)”,∴命題“若a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù)”.故為:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù).26.過(guò)點(diǎn)A(0,2),且與拋物線C:y2=6x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有()條.A.1B.2C.3D.4答案:∵點(diǎn)A(0,2)在拋物線y2=6x的外部,∴與拋物線C:y2=6x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有三條,有兩條直線與拋物線相切,有一條直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,故選C.27.已知直線l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,則直線l1與l2的夾角是______.答案:因?yàn)橹本€l1的斜率為3,故傾斜角為60°,直線l2的斜率為-3,傾斜角為120°,故兩直線的夾角為60°,即兩直線的夾角為π3,故為
π3.28.若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為3,數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的標(biāo)準(zhǔn)差為23,則實(shí)數(shù)a的值為______.答案:數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差是數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差的a2倍;則數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為3a2,標(biāo)準(zhǔn)差為3a2=23解得a=±2故為:±229.給出下列四個(gè)命題,其中正確的一個(gè)是()
A.在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)R2=0.80,說(shuō)明預(yù)報(bào)變量對(duì)解釋變量的貢獻(xiàn)率是80%
B.在獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),兩個(gè)變量的2×2列聯(lián)表中對(duì)角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大,說(shuō)明這兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系成立的可能性就越大
C.相關(guān)指數(shù)R2用來(lái)刻畫回歸效果,R2越小,則殘差平方和越大,模型的擬合效果越差
D.隨機(jī)誤差e是衡量預(yù)報(bào)精確度的一個(gè)量,它滿足E(e)=0答案:D30.已知F1(-8,3),F(xiàn)2(2,3),動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1-PF2=10,則點(diǎn)P的軌跡是______.答案:由于兩點(diǎn)間的距離|F1F2|=10,所以滿足條件|PF1|-|PF2|=10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)是一條射線.故為一條射線.31.已知曲線x=3cosθy=4sinθ(θ為參數(shù),0≤θ≤π)上一點(diǎn)P,原點(diǎn)為0,直線P0的傾斜角為π4,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是______.答案:根據(jù)題意,曲線x=3cosθy=4sinθ(θ為參數(shù),0≤θ≤π)消去參數(shù)化成普通方程,得x29+y216=1(y≥0)∵直線P0的傾斜角為π4,∴P點(diǎn)在直線y=x上,將其代入橢圓方程得x29+x216=1,解之得x=y=125(舍負(fù)),因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(125,125)故為:(125,125)32.已知a,b為正數(shù),求證:≥.答案:證明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,兩式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲證≥,即證≥,只要證
≥,只要證
≥,即證
≥,只要證a3+b3≥ab(a+b),只要證a2+b2-ab≥ab,即證(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名師指引】當(dāng)要證明的不等式形式上比較復(fù)雜時(shí),常通過(guò)分析法尋求證題思路.“分析法”與“綜合法”是數(shù)學(xué)推理中常用的思維方法,特別是這兩種方法的綜合運(yùn)用能力,對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有重要的作用.這兩種數(shù)學(xué)方法是高考考查的重要數(shù)學(xué)思維方法.33.圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線x=2的距離的最大值是
______.答案:根據(jù)題意,圓上點(diǎn)到直線距離最大值為:半徑+圓心到直線的距離.而根據(jù)圓x2+y2=1圓心為(0,0),半徑為1∴dmax=1+2=3故為:334.某自動(dòng)化儀表公司組織結(jié)構(gòu)如圖所示,其中采購(gòu)部的直接領(lǐng)導(dǎo)是()
A.副總經(jīng)理(甲)
B.副總經(jīng)理(乙)
C.總經(jīng)理
D.董事會(huì)
答案:B35.(x3+1xx)10的展開式中的第四項(xiàng)是______.答案:由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可知(x3+1xx)10的展開式中的第四項(xiàng)是:C310(x3)7(1xx)3=120x16?x.故為:120x16?x.36.下列關(guān)于算法的說(shuō)法不正確的是()A.算法必須在有限步操作之后停止.B.求解某一類問(wèn)題的算法是唯一的.C.算法的每一步必須是明確的.D.算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果.答案:因?yàn)樗惴ň哂杏懈F性、確定性和可輸出性.由算法的特性可知,A是指的有窮性;C是確定性;D是可輸出性.而解決某一類問(wèn)題的算法不一定唯一,例如求排序問(wèn)題算法就不唯一,所以,給出的說(shuō)法不正確的是B.故選B.37.命題“當(dāng)AB=AC時(shí),△ABC是等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中,真命題有______個(gè).答案:原命題為真命題.逆命題“當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),AB=AC”為假命題.否命題“當(dāng)AB≠AC時(shí),△ABC不是等腰三角形”為假命題.逆否命題“當(dāng)△ABC不是等腰三角形時(shí),AB≠AC”為真命題.故為:2.38.一直線傾斜角的正切值為34,且過(guò)點(diǎn)P(1,2),則直線方程為______.答案:因?yàn)橹本€傾斜角的正切值為34,即k=3,又直線過(guò)點(diǎn)P(1,2),所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-2=34(x-1),整理得,3x-4y+5=0.故為3x-4y+5=0.39.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x24-y212=1上一點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是______答案:MFd=e=2,d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線x=1的距離,則d=2,∴MF=4.故為440.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(-3,3),且傾斜角為56π
(1)寫出直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)此直線與曲線C:x=2cosθy=4sinθ(θ為參數(shù))交A、B兩點(diǎn),求|PA|?|PB|答案:(1)由于過(guò)點(diǎn)(a,b)傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為
x=a+t?cosαy=b+t?sinα(t是參數(shù)),∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,3),傾斜角α=5π6,故直線的參數(shù)方程是x=-3-32ty=3+12t(t是參數(shù)).…(5分)(2)因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上,所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t1,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(-3-32t1,3+12t1),B(2-32t1,3+12t1).把直線L的參數(shù)方程代入橢圓的方程4x2+y2=16整理得到t2+(123+3)t+11613=0①,…(8分)因?yàn)閠1和t2是方程①的解,從而t1t2=11613,由t的幾何意義可知|PA||PB|=|t1||t2|=11613.…(10分)即|PA|?|PB|=11613.41.雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1,∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),∴2a2-3b2=1
①,又∵e=2=a2+b2a
②,由①②聯(lián)立方程組并解得
a2=1,b2=3,雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y23=1,故為:x2-y23=1.42.命題“正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身”的逆命題是______.答案:將命題“正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身”改寫為“若一個(gè)數(shù)是正數(shù),則其絕對(duì)值等于它本身”,所以逆命題是“若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身,則這個(gè)數(shù)是正數(shù)”,即“絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)”.故為:“絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)”.43.已知一物體在共點(diǎn)力F1=(lg2,lg2),F(xiàn)2=(lg5,lg2)的作用下產(chǎn)生位移S=(2lg5,1),則這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的總功W為()A.1B.2C.lg2D.lg5答案:∵F1+F2=(lg2,lg2)+(lg5,lg2)=(1,2lg2)又∵在共點(diǎn)力的作用下產(chǎn)生位移S=(2lg5,1)∴這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的總功W為(1,2lg2)?(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2故選B44.(選做題)那霉素發(fā)酵液生物測(cè)定,一般都規(guī)定培養(yǎng)溫度為(37±1)°C,培養(yǎng)時(shí)間在16小時(shí)以上,某制藥廠為了縮短時(shí)間,決定優(yōu)選培養(yǎng)溫度,試驗(yàn)范圍固定在29~50°C,精確度要求±1°C,用分?jǐn)?shù)法安排實(shí)驗(yàn),令第一試點(diǎn)在t1處,第二試點(diǎn)在t2處,則t1+t2=(
).答案:7945.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,則a的取值范圍是______.答案:當(dāng)a>0時(shí),方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)=2ax2-x-1在(0,1)內(nèi)恰有一解,必有f(0)?f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)f(x)=2ax2-x-1在(0,1)內(nèi)恰無(wú)解.故為:a>146.已知函數(shù)y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,則它的圖象是(
)
A.
B.
C.
D.
答案:D47.若函數(shù)f(2x+1)=x2-2x,則f(3)=______.答案:解法一:(換元法求解析式)令t=2x+1,則x=t-12則f(t)=(t-12)2-2t-12=14t2-32t+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法二:(湊配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x=14(2x+1)2-32(2x+1)+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法三:(湊配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x令2x+1=3則x=1此時(shí)x2-2x=-1∴f(3)=-1故為:-148.(理)在極坐標(biāo)系中,半徑為1,且圓心在(1,0)的圓的方程為()
A.ρ=sinθ
B.ρ=cosθ
C.ρ=2sinθ
D.ρ=2cosθ答案:D49.在殘差分析中,殘差圖的縱坐標(biāo)為______.答案:有殘差圖的定義知道,作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差,橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào),或身高數(shù)據(jù),或體重的估計(jì)值,這樣做出的圖形稱為殘差圖.故為:殘差.50.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為答案:∵直線l1和l2的方向向量分別為第3卷一.綜合題(共50題)1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()
A.(,,)
B.(,,)
C.(,,)
D.(,,)答案:C2.如圖1,一個(gè)“半圓錐”的主視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,左視圖是直角三角形,俯視圖是半圓及其圓心,這個(gè)幾何體的體積為()A.33πB.36πC.23πD.3π答案:由已知中“半圓錐”的主視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,左視圖是直角三角形,俯視圖是半圓及其圓心,我們可以判斷出底面的半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則半圓錐的高為3故V=13×12×π×3=36π故選B3.從甲、乙兩人手工制作的圓形產(chǎn)品中,各自隨機(jī)抽取6件,測(cè)得其直徑如下(單位:cm):
甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20
乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90
據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)兩人的技術(shù)穩(wěn)定性,結(jié)論是()
A.甲優(yōu)于乙
B.乙優(yōu)于甲
C.兩人沒(méi)區(qū)別
D.無(wú)法判斷答案:A4.設(shè)直線l與平面α相交,且l的方向向量為a,α的法向量為n,若<a,n>=,則l與α所成的角為()
A.
B.
C.
D.答案:C5.某人從家乘車到單位,途中有3個(gè)交通崗?fù)ぃ僭O(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,且概率都是0.4,則此人上班途中遇紅燈的次數(shù)的期望為()
A.0.4
B.1.2
C.0.43
D.0.6答案:B6.如圖所示,圓的內(nèi)接△ABC的∠C的平分線CD延長(zhǎng)后交圓于點(diǎn)E,連接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,則線段BE=()
A.
B.
C.
D.4
答案:B7.參數(shù)方程(0<θ<2π)表示()
A.雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)(1,)
B.拋物線的一部分,這部分過(guò)(1,)
C.雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)(-1,)
D.拋物線的一部分,這部分過(guò)(-1,)答案:B8.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬為______米.答案:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,將A(2,-2)代入x2=my,得m=-2∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=6,故水面寬為26m.故為:26.9.兩弦相交,一弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,求另一弦長(zhǎng)______.答案:設(shè)另一弦長(zhǎng)xcm;由于另一弦被分為3:8的兩段,故兩段的長(zhǎng)分別為311xcm,811xcm,有相交弦定理可得:311x?811x=12?18解得x=33故為:33cm10.已知過(guò)點(diǎn)A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0平行,則m的值為()
A.0
B.-8
C.2
D.10答案:B11.已知函數(shù)f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大,一個(gè)零點(diǎn)比1小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍______.答案:∵函數(shù)f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大,一個(gè)零點(diǎn)比1小∴f(1)<0∴1+a2-1+a-2<0∴a2+a-2<0∴-2<a<1∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,1)故為:(-2,1)12.已知f(x)=3mx2-2(m+n)x+n(m≠0)滿足f(0)?f(1)>0,設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩根,則|x1-x2|的取值范圍為()
A.[,)
B.[,)
C.[,)
D.[,)答案:A13.復(fù)數(shù)Z=arccosx-π+(-2x)i(x∈R,i是虛數(shù)單位),在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)只可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:∵a=arccosx-π,arccosx∈[0,π],∴a<0,∵b=-2x<0,∴復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的實(shí)部和虛部都小于零,∴復(fù)數(shù)在第三象限,故選C.14.圓柱的底面積為S,側(cè)面展開圖為正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積為()A.πSB.2πSC.3πSD.4πS答案:設(shè)圓柱的底面半徑是R,母線長(zhǎng)是l,∵圓柱的底面積為S,側(cè)面展開圖為正方形,∴πR2=S,且l=2πR,∴圓柱的側(cè)面積為2πRl=4πS.故選D.15.已知0≤θ<2π,復(fù)數(shù)icosθ+isinθ>0,則θ的值是()A.π2B.3π2C.(0,π)內(nèi)的任意值D.(0,π2)∪(3π2,2π)內(nèi)的任意值答案:復(fù)數(shù)icosθ+isinθ>0,可得icosθ+sinθ>0,因?yàn)?≤θ<2π,所以θ=π2.故選A.16.如圖,已知PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,PO交圓O于B、C兩點(diǎn),PA=3,PB=1,則∠C=______.答案:∵PA切圓O于A點(diǎn),PBC是圓O的割線∴PA2=PB?PC,可得(3)2=1×PC,得PC=3∵點(diǎn)O在BC上,即BC是圓O的直徑,∴∠ABC=90°,由弦切角定理,得∠PAB=∠C,∠PAC=90°+∠C∴△PAC中,根據(jù)正弦定理,得PAsinC=PCsin∠PAC即3sinC=3sin(90°+C),整理得tanC=33∵∠C是銳角,∴∠C=30°.故為:30°17.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng),則△ABC一定不是()
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.等腰三角形答案:D18.求證:答案:證明見(jiàn)解析解析:證明:此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧,放縮拆項(xiàng)時(shí),不一定從第一項(xiàng)開始,須根據(jù)具體題型分別對(duì)待,即不能放的太寬,也不能縮的太窄,真正做到恰倒好處。19.圓錐曲線x=4secθ+1y=3tanθ的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.答案:由x=4secθ+1y=3tanθ可得secθ=x-14tanθ=y3,由三角函數(shù)的運(yùn)算可得tan2θ+1=sec2θ,代入可得(x-14)2-(y3)2=1,即(x-1)216-y29=1,可看作雙曲線x216-y29=1向右平移1個(gè)單位得到,而雙曲線x216-y29=1的焦點(diǎn)為(-5,0),(5,0)故所求雙曲線的焦點(diǎn)為(-4,0),(6,0)故為:(-4,0),(6,0)20.直線y=k(x-2)+3必過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,3)答案:B21.(幾何證明選講選選做題)如圖,AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn),∠ABC的平分線與⊙O相交于.D已知BC=1,AB=3,則AD=______;過(guò)B、D分別作⊙O的切線,則這兩條切線的夾角θ=______.答案:∵AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn)∴∠ABC=90°∵∠ABC的平分線與⊙O相交于D,BC=1,AB=3∴∠C=60°,∠BAC=30°,∠ABD=∠CBD=45°由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°△ABD中,由正弦定理可得ABsin60°=ADsin45°即AD=3sin60°×sin45°=2∵∠BAD=30°+45°=75°∴∠BOD=2∠BAD=150°設(shè)所作的兩切線交于點(diǎn)P,連接OB,OD,則可得OB⊥PB,OD⊥PD即∠OBP=∠ODP=90°∴點(diǎn)ODPB共圓∴∠P+∠BOD=180°∴∠P=30°故為:2,30°22.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()
A.(,0)
B.(0,)
C.(0,1)
D.(1,0)答案:C23.“神六”上天并順利返回,讓越來(lái)越多的青少年對(duì)航天技術(shù)發(fā)生了興趣.某學(xué)??萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn),設(shè)計(jì)方案
如圖:航天器運(yùn)行(按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為x2100+y225=1,變軌(航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為
對(duì)稱軸、M(0,647)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為D(8,0),觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)、B(6,0)同時(shí)跟蹤航天器.試問(wèn):當(dāng)航天器在x軸上方時(shí),觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為______時(shí)航天器發(fā)出變軌指令.答案:設(shè)曲線方程為y=ax2+647,由題意可知,0=a?64+647.∴a=-17,∴曲線方程為y=-17x2+647.設(shè)變軌點(diǎn)為C(x,y),根據(jù)題意可知,拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得4y2-7y-36=0,y=4或y=-94(不合題意,舍去).∴y=4.∴x=6或x=-6(不合題意,舍去).∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4),|AC|=25,|BC|=4.故為:25、4.24.在△ABC中,AB=2,AC=1,D為BC的中點(diǎn),則AD?BC=______.答案:AD?BC=AB+AC2?(AC-AB)=AC2-AB22=1-42=-32,故為:-32.25.如圖,從圓O外一點(diǎn)P引兩條直線分別交圓O于點(diǎn)A,B,C,D,且PA=AB,PC=5,CD=9,則AB的長(zhǎng)等于______.答案:∵PAB和PBC是圓O的兩條割線∴PA?PB=PC?PD又∵PA=AB,PC=5,CD=9,∴2AB2=5×(5+9)∴AB=35故為:3526.設(shè)、、是三角形的邊長(zhǎng),求證:
≥答案:證明見(jiàn)解析解析:證明:由不等式的對(duì)稱性,不防設(shè)≥≥,則≥左式-右式≥≥≥027.已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3),求過(guò)兩點(diǎn)Q1(a1,b1)、Q2(a2,b2)(a1≠a2)的直線方程.答案:∵P(2,3)在已知直線上,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即b1-b2a1-a2=-23.∴所求直線方程為y-b1=-23(x-a1).∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即2x+3y+1=0.28.已知a、b、c是△ABC的三邊,且關(guān)于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根,判斷△ABC的形狀.答案:解:∵方程有等根,∴Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=4-4lg=0,∴l(xiāng)g=1,∴=10,∴c2-b2=a2,即a2+b2=c2,∴△ABC為直角三角形.29.在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(-1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤π2).
(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求向量OB;
(2)若向量AC與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsinθ取最大值4時(shí),求OA?OC.答案:(1)∵點(diǎn)A(8,0),B(n,t),∴AB=(n-8,t),∵AB⊥a,∴AB?a=(n-8,t)?(-1,2)=0,得n=2t+8.則AB=(2t,t),又|AB|=5|OA|,|OA|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,當(dāng)t=8時(shí),n=24;當(dāng)t=-8時(shí),n=-8.∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)∵向量AC與向量a共線,∴t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k.∵k>4,∴0<4k<1,故當(dāng)sinθ=4k時(shí),tsinθ取最大值32k,有32k=4,得k=8.這時(shí),sinθ=12,k=8,tsinθ=4,得t=8,則OC=(4,8).∴OA?OC=(8,0)?(4,8)=32.30.下列命題中正確的是()
A.若,則
B.若,則
.若,則
D.若,則答案:C31.已知四邊形ABCD中,AB=12DC,且|AD|=|BC|,則四邊形ABCD的形狀是______.答案:∵AB=12DC,∴AB∥DC,且|AB|=12|DC|,即線段AB平行于線段CD,且線段AB長(zhǎng)度是線段CD長(zhǎng)度的一半∴四邊形ABCD為以AB為上底、CD為下底的梯形,又∵|AD|=|BC|,∴梯形ABCD的兩腰相等,因此四邊形ABCD是等腰梯形.故為:等腰梯形32.設(shè)點(diǎn)P(+,1)(t>0),則||(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是()
A.
B.
C.5
D.3答案:A33.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共線,向量c=2e1-9e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,使向量d=λa+μb與c共線?答案:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,若d與c共線,則存在實(shí)數(shù)k≠0,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,由2λ+2μ=2k-3λ+3μ=-9k得λ=-2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d與c共線.34.(幾何證明選講選做題)如圖4,A,B是圓O上的兩點(diǎn),且OA⊥OB,OA=2,C為OA的中點(diǎn),連接BC并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,則CD=______.答案:如圖所示:作出直徑AE,∵OA=2,C為OA的中點(diǎn),∴OC=CA=1,CE=3.∵OB⊥OA,∴BC=22+12=5.由相交弦定理得BC?CD=EC?CA,∴CD=EC?CABC=3×15=355.故為355.35.1
甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品
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