第五章內(nèi)力計(jì)算

疊加原理在小變形和線形條件下，桿件所有內(nèi)力分量作用的效果，可以視為各個(gè)內(nèi)力分量單獨(dú)作用效果的疊加。

yxzF1

F2FRMMzMyMxFsyFszFNFs

山東大學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)圖：壓桿拉桿山東大學(xué)軸力FN(axialforce)——分布內(nèi)力系的合力（1）截開（2）代替FNFN（3）平衡拉為正(+)，壓為負(fù)(-)山東大學(xué)外力不能沿作用線移動(dòng)。對(duì)變形體而言，力是定位矢量。注意截面不能切在外力作用點(diǎn)處，因?yàn)閷?shí)際的力只可能作用于一定微小面積內(nèi)。軸力圖(Axialforcediagram):用平行于桿軸線的坐標(biāo)

表示橫截面的位置，繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，將正的軸力畫在上側(cè)，負(fù)的畫在下側(cè)。確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。山東大學(xué)20KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN一直桿受力如圖示,試求1-1和2-2截面上的軸力。山東大學(xué)4KN5KN2KNF2F4KN9KN3KN2KN山東大學(xué)山東大學(xué)1、用截面法求軸力時(shí)，在切開的截面上建議假設(shè)正的軸力，解得的軸力正負(fù)號(hào)，就是該截面上內(nèi)力的實(shí)際符號(hào)。3、集中外力作用的截面上，軸力圖有突變，突變大小等于集中力大小;突變方向看該集中力對(duì)后段桿的作用是正（拉伸）或負(fù)（壓縮），正者向上突變，負(fù)者向下突變?；?、在畫軸力圖時(shí)，填充為下畫線或無填充，不要畫剖面線形式；并注上符號(hào)注意山東大學(xué)解：取左側(cè)x段為對(duì)象，內(nèi)力FN(x)為：qq

LxO圖示桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，受分布力q=kx作用。Lq(x)FNxO–FN(x)xq(x)山東大學(xué)軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸

（以圓截面等直桿為主）。扭水龍頭用鑰匙扭轉(zhuǎn)開門酒瓶軟木塞的開瓶器小轎車的方向盤工作自行車的腳蹬工作機(jī)器軸的轉(zhuǎn)動(dòng)改錐上螺絲釘山東大學(xué)一傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)/min，軸傳遞功率由主動(dòng)輪輸入，由從動(dòng)輪輸出。若功率為P千瓦（KW)。從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪nMe2Me1Me3若傳遞功率單位為馬力（PS)時(shí),由于1PS=735.5N·m/s山東大學(xué)T稱為截面n-n上的扭矩(torsion)。Mex??nnMeMe?xTMe?xT山東大學(xué)右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：山東大學(xué)用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，由結(jié)果符號(hào)確定最終正負(fù)號(hào)。正的扭矩畫在x軸上方，負(fù)的扭矩畫在x軸下方。注意

扭矩圖：沿桿件軸線各橫截面扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。山東大學(xué)例試?yán)L制圖示圓軸的扭矩圖山東大學(xué)

一傳動(dòng)軸，其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪輸入的功率為有P1=500kW。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。試做扭矩圖。ABCDP1P2P3P4n山東大學(xué)解:計(jì)算外力偶矩最大扭矩在CA段內(nèi)。若調(diào)換主動(dòng)輪A與從動(dòng)輪D的位置呢？+4.789.566.37xT(KN.m)山東大學(xué)山東大學(xué)以彎曲變形為主要變形的桿件。梁山東大學(xué)縱向?qū)ΨQ面對(duì)稱軸軸線變形后的軸線具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線對(duì)稱彎曲（或平面彎曲），可用梁的軸線代替梁。山東大學(xué)山東大學(xué)盡管外力作用在形心上，截面彎曲同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)非對(duì)稱彎曲：梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或具有縱向?qū)ΨQ面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)山東大學(xué)簡(jiǎn)支梁Simplebeam外伸梁Beamwithanoverhang

懸臂梁CantileverbeamFAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA集中載荷分布載荷集中力偶靜定梁梁的力學(xué)模型山東大學(xué)火車輪軸簡(jiǎn)化山東大學(xué)FNFSM

FS剪力Shear-force平行于橫截面的內(nèi)力系合力

M

彎矩bending-moment

垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩FByFNFSMFAy山東大學(xué)剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定：彎矩：下凸為正，反之為負(fù)剪力：

“左上右下”為正，反之為負(fù)山東大學(xué)若外力對(duì)截面形心取矩為順時(shí)針力矩，則該力在截面上產(chǎn)生正的剪力，反之為負(fù)的剪力（順為正，逆為負(fù)）。向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩建議：求截面FS和M時(shí)，均按規(guī)定正向假設(shè)，這樣求出的剪力為正號(hào)即表明該截面上的剪力為正的剪力，如為負(fù)號(hào)則表明為負(fù)的剪力。對(duì)于彎矩正負(fù)號(hào)也作同樣判斷。山東大學(xué)例如圖所示的懸臂梁，求截面C及距A端為x處截面的內(nèi)力。解：1.求支反力山東大學(xué)2.求截面C的內(nèi)力注：對(duì)懸臂梁，可取截面到自由端部分為研究對(duì)象，可省略求支反力3.求距A為x處截面的內(nèi)力MCFSCMxFSx山東大學(xué)將剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況用圖形表示出來，稱為剪力圖和彎矩圖剪力、彎矩方程法

第一，求支座反力。第二，根據(jù)截荷情況分段列出FS(x）和M(x)方程。分段點(diǎn)為集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處。

第三，求控制截面內(nèi)力，作FS、M圖。一般每段的兩個(gè)端點(diǎn)截面為控制截面。在有均布載荷的段內(nèi)，F(xiàn)S=0的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其彎矩值。并注明的數(shù)值。山東大學(xué)q懸臂梁受均布載荷作用。解：xFSxMxl4qx山東大學(xué)BAlFAYFBY圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力作用。解：FAy＝Fb/lFBy＝Fa/lx2FSxMxx1ACCBCFab山東大學(xué)集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小彎矩圖上無突變，但斜率發(fā)生突變，折角點(diǎn)在某一段上若無載荷作用，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。山東大學(xué)BAlFAYFBY圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力偶作用。解：FAy＝M/lFBy＝-M/lx2x1ACCBCMab在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為而剪力圖無改變。山東大學(xué)BAlFAYqFBY簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用解：FAy＝FBy＝ql/2yxCxFSxMx在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。且彎矩M最大值發(fā)生于FS=0處。山東大學(xué)注意x取值范圍等號(hào)的取法：1.若載荷為集中力(剪力圖中有突變)，剪力方程中x的取值沒有等號(hào)；2.若載荷為集中力偶(彎矩圖中有突變)，彎矩方程中x的取值沒有等號(hào)；3.對(duì)于某一截面，在無限接近的范圍內(nèi)，左右相等才有“＝”,即剪力圖和彎矩圖為連續(xù)時(shí)才有等號(hào)。(0≤x≤a),(a≤x≤l)(0<x<l)山東大學(xué)集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小;彎矩圖上無突變，但斜率發(fā)生突變，彎矩圖上為折角點(diǎn)。在某一段上若無載荷作用，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。且彎矩M最大值發(fā)生于FS=0處。在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小，而剪力圖無改變?？偨Y(jié)山東大學(xué)規(guī)定：分布載荷以向上為正。山東大學(xué)上式再對(duì)x一次微分，得彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率等于梁在該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率變化率等于梁在該點(diǎn)處的分布載荷集度。剪力圖上某點(diǎn)處的斜率等于梁在該點(diǎn)處荷載集度的大小。山東大學(xué)梁段上無荷載作用，即q(x)＝0時(shí)，剪力FS(x)=C(常數(shù)），剪力圖為一條水平直線；xFS(x)oxoM(x)彎矩M(x)＝Cx

＋D,即彎矩為x的一次函數(shù)，彎矩圖為一斜直線，xFS(x)oxoM(x)山東大學(xué)剪力FS(x)為x的一次函數(shù),剪力圖為斜直線，而彎矩M(x)為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。若q(x)=常數(shù)，xFS(x)oxFS(x)oxoM(x)xoM(x)山東大學(xué)若某截面的剪力，根據(jù)，該截面的彎矩為極值。在集中力F作用處，剪力圖有突變,突變值等于集中力F的大小，彎矩圖為折角點(diǎn)；在集中力偶M作用處，剪力圖不變，彎矩圖有突變，突變值等于力偶矩M。FSmax出現(xiàn)的地方：①集中力F作用處；②支座處；Mmax出現(xiàn)的地方：①剪力FS=0的截面；②集中力F作用處；③集中力偶M作用處。山東大學(xué)

以上兩式表明，在x=x2和x=x1兩截面上的剪力之差，等于兩截面間載荷圖的面積；兩截面上的彎矩之差，等于兩截面間剪力圖的面積。分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系山東大學(xué)利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：1．求支座反力；2．分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；3．求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；4．確定和。山東大學(xué)一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截面的可能位置q<0向下的均布荷載無荷載集中力FC集中力偶mC上凸的二次拋物線在FS=0的截面一般斜直線或在C處有突變F在C處有尖角或在剪力突變的截面在C處無變化C在C處有突變m在緊靠C的某一側(cè)截面向右下傾斜的直線水平直線山東大學(xué)解：1.求支反力2.畫剪力圖在AC段，q=0，該段剪力圖(-)在AB段，q=C<0，該段剪力圖(\)在A點(diǎn)，因有反力FA，剪力圖有突變，突變值為=FA。3.畫彎矩圖在CA段，q=0，F(xiàn)S＜0，彎矩圖(\)；在AB段，q=C<0,彎矩圖(⌒)；在FS=0的截面處，M圖取極值；在A點(diǎn)，因有力偶m，彎矩圖有突變，突變值為=m

。山東大學(xué)試作下列具有中間鉸的梁的剪力圖和彎矩圖。

做做看對(duì)稱性與反對(duì)稱性的應(yīng)用：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱載荷作用下，Q圖反對(duì)稱，M圖對(duì)稱；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷作用下，Q圖對(duì)稱，M圖反對(duì)稱。山東大學(xué)立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁平面剛架（planeframemembers)：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。剛節(jié)點(diǎn)處各桿軸線之間的夾角保持不變。內(nèi)力:剪力、彎矩、軸力山東大學(xué)剛架內(nèi)力圖的畫法(1)無需建立坐標(biāo)系；(2)控制面、平衡方程；(3)彎矩的數(shù)值標(biāo)在受拉邊,不標(biāo)正負(fù)號(hào);(4)軸力、剪力畫在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號(hào)；(5)注意節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系。山東大學(xué)節(jié)點(diǎn)處的平衡關(guān)系FNFNFsFsMMFNFsFNFsMM山東大學(xué)對(duì)CA段距右端為x1的截面對(duì)BA段距B端為x2的截面山東大學(xué)彎矩圖：畫在各桿的受壓一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。剪力圖及軸力圖：畫在剛架軸線任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），注明正負(fù)號(hào)。山東大學(xué)FNFQqa2/2qa2/2山東大學(xué)平面曲桿(Planecurvedbars)：軸線為一平面曲線的桿件。