質(zhì)點運動學(xué)速度與加速度

運動學(xué)：動力學(xué)：靜力學(xué)：研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時也研究力的一般性質(zhì)和力系的簡化方法等。（平衡方程的應(yīng)用和受力分析）研究物體運動的幾何性質(zhì)，而不研究引起物體運動的原因。（位移，速度，加速度，軌跡等的描述和計算）研究受力物體的運動變化與作用力之間的關(guān)系。（運動微分方程的建立和求解）§1.1引言第一章質(zhì)點運動學(xué)經(jīng)典力學(xué)適用范圍：弱引力場中宏觀物體的低速運動。

力學(xué)的研究對象時間：空間：時間用以表述事物之間的順序

空間用以表述事件相互之間的位形

第一章質(zhì)點運動學(xué)在牛頓力學(xué)中，時間間隔和空間間隔（長度）被認(rèn)為是絕對量，是獨立于所研究對象（物體）和運動而存在的客觀實在。時間的流逝與空間位置無關(guān)，空間為歐幾里德幾何空間。時間、空間和牛頓力學(xué)的絕對量時間的測量：第一章質(zhì)點運動學(xué)任何具有重復(fù)性的周期過程或現(xiàn)象，都可以作為測量時間的一種鐘（例如，太陽的升沒表示天；四季的循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農(nóng)歷的月。其他的循環(huán)過程，如雙星的旋轉(zhuǎn)、人體的脈搏、吊燈的擺動、分子的振動等等，也都可以用作測時的工具）

時間的測量：第一章質(zhì)點運動學(xué)1967年10月在第十三屆國際度量衡會議上規(guī)定：位于海平面上的銫原子的基態(tài)的兩個超精細(xì)能級在零磁場中躍遷輻射的周期T與1秒的關(guān)系為

1秒=9,192,631,770T這樣的時間標(biāo)準(zhǔn)稱為原子時

用銫鐘作為計時標(biāo)準(zhǔn)，誤差若按一個周期計算，測量精度要比秒表作時計提高倍，即誤差下降到秒表的之一時間是測量得最準(zhǔn)確的一個基本量

空間的測量：第一章質(zhì)點運動學(xué)長度是空間的一個基本性質(zhì)

對長度的測量，在日常的范圍中，是用各種各樣的尺，如米尺、千分尺、螺旋測微計等等?？臻g的測量：第一章質(zhì)點運動學(xué)米：規(guī)定為通過巴黎的自北極至赤道的子午線長度 的1/10,000,000

1875年起，決定改用米原器（截面呈“X”形的鉑銥合金尺）作為長度標(biāo)準(zhǔn)。由于這樣規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)米不易復(fù)制，精度又不高

1960年在第十一屆國際計量大會上規(guī)定：1米等于氪86原子的兩個特定能級之間躍遷時所對應(yīng)的輻射（橙色譜線）在真空中的波長λ的1,650,763.73倍。這樣規(guī)定的米叫原子米

1983年10月在第十七屆國際計量大會上規(guī)定：米是光在真空中在1/299,792,458秒的時間間隔內(nèi)所傳播的路程長度光速：c=299,792,458米／秒

第一章質(zhì)點運動學(xué)目前物理學(xué)中涉及的最小的時間是10-43秒，稱為普朗克時間。普朗克時間被認(rèn)為是最小的時間，比普朗克時間還要小的范圍內(nèi)，時間的概念可能就不再適用了。最短的時間第一章質(zhì)點運動學(xué)目前，物理學(xué)中涉及的普朗克長度約為10-35米，被認(rèn)為是最小的長度，意思是說，在比普朗克長度更小的范圍內(nèi)，長度的概念可能就不再適用了。最小的長度牛頓力學(xué)適用范圍：微米尺度—天體尺度質(zhì)點：參考物：參考坐標(biāo)系：固定在參考物上的坐標(biāo)架（簡稱參考系）突出了“物體具有質(zhì)量”、“物體占有位置”

為了研究運動，固定坐標(biāo)系的物體

§1.2質(zhì)點和參考系

第一章質(zhì)點運動學(xué)參考系=參考物+坐標(biāo)架+鐘

質(zhì)點和參考系質(zhì)點近似的相對性對于某個物體，如果其大小和自轉(zhuǎn)對于所研究的具體問題可以忽略，則該物體可以近似為質(zhì)點。第一章質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點和參考系

質(zhì)點的位置矢量r（簡稱位矢）的大小為OP的長度，而方向從O指向P。用這個矢量就完全確定了質(zhì)點P的位置其中i，j，k分別分別表示空間的三個坐標(biāo)方向（軸）上的單位矢量，稱為坐標(biāo)基矢。參考系的選擇是任意的，對于同一個質(zhì)點的位置，用不同參考系來描寫時，則具有不同的位置矢量。就這一點，我們可以說，位置是具有相對性的物理量。第一章質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點在運動中所經(jīng)過的各點在空間連成一條曲線，這條曲線我們稱之為軌跡。一般曲線方程可以表示成：軌跡可以利用曲線方程來描寫。譬如，曲線方程：就描寫了在oxy平面上半徑為R的圓周運動的軌跡。軌跡和運動學(xué)方程第一章質(zhì)點運動學(xué)軌跡和運動方程我們知道，可以利用矢量方法來描寫質(zhì)點M的位置。質(zhì)點的位置關(guān)于時間的函數(shù)稱為運動方程，知道了這個方程等于知道了此質(zhì)點運動的一切情況。質(zhì)點的運動方程可以表示成：當(dāng)然，也可以用坐標(biāo)系中三個坐標(biāo)分量來描述運動并有關(guān)系式從運動方程中消去時間t即得到軌跡的方程瞬時速度（簡稱速度）定義為：1.直線運動

§1.3速度與加速度

第一章質(zhì)點運動學(xué)通常稱平均速度的絕對值為平均速率。類似地，瞬時速度的絕對值被稱為速率。質(zhì)點在t1到t2時間間隔內(nèi)的平均速度

位移、路程與速度這個平均速度的定義表明，平均速度是矢量。

2.三維曲線運動

第一章質(zhì)點運動學(xué)位移、路程與速度質(zhì)點在t1=t到t2=t+△t時間間隔內(nèi)的平均速度

是在時間間隔△t內(nèi)質(zhì)點位置矢量的改變量，稱為位移矢量（簡稱位移）2.三維曲線運動

第一章質(zhì)點運動學(xué)位移、路程與速度在△t→0的極限情況下，△r的方向趨于軌跡曲線在點1的切線方向，且位移與路程兩者的大小近似相等。這樣，我們就得到一個結(jié)論：瞬時速度的方向，就是軌跡曲線在相應(yīng)點的切線方向；瞬時速度的大小，就是△t→0時平均速率的大小。由此可以定義平均速率：2.三維曲線運動

第一章質(zhì)點運動學(xué)位移、路程與速度質(zhì)點從

t1=t到t2=t+△t時間間隔內(nèi)所走過的路程路程函數(shù)s(t)：質(zhì)點從t1=0到t2=t時刻所走過的軌跡長度（標(biāo)量）瞬時速度（簡稱速度）定義為：2.三維曲線運動

第一章質(zhì)點運動學(xué)在國際單位制中，速度的單位是米/秒，常用的單位還有厘米/秒、千米/小時等

位移、路程與速度速度的數(shù)值大?。ń^對值）稱為速率，由上式知：瞬時加速度（簡稱加速度）定義為：1.直線運動

第一章質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點在t1=t到t2=t+△t時間間隔內(nèi)的平均加速度

加速度瞬時加速度（簡稱加速度）定義為：2.曲線運動

第一章質(zhì)點運動學(xué)加速度質(zhì)點在t1=t到t2=t+△t時間間隔內(nèi)的平均加速度

在國際單位制中，加速度的單位是米/秒2，常用的單位還有厘米/秒2

等。質(zhì)點做變速運動中各個時刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬時性第一章質(zhì)點運動學(xué)速度、加速度是矢量，它具有矢量性§1.3速度與加速度

選取不同的參考系，質(zhì)點的速度和加速度是不同的，它具有相對性小結(jié)：人體能承受的最大加速度為10g左右。未受專業(yè)訓(xùn)練的一般人只能承受2-3g左右?！?.4直角坐標(biāo)系中運動的描述

第一章質(zhì)點運動學(xué)運動方程：平均速度：右圖表示的是質(zhì)點做直線運動時的位置、速度和加速度關(guān)于時間的圖形。由圖上可見，當(dāng)位置最大時，速度為零（此時曲線的斜率為零），同樣當(dāng)速度最大時，其加速度為零。瞬時速度：直線運動第一章質(zhì)點運動學(xué)直線運動平均加速度：瞬時加速度：瞬時速率：由此可見，如知道運動方程x=x(t)，則速度、加速度等皆可求得。第一章質(zhì)點運動學(xué)直線運動若再知道t=0時刻質(zhì)點的速度和位置：利用：如果已知質(zhì)點運動的加速度：可以解得：

運動學(xué)的反問題

可以完全描述運動。第一章質(zhì)點運動學(xué)1.運動方程2.速度分量式：速率：其中：曲線運動第一章質(zhì)點運動學(xué)3.加速度

曲線運動分量式：第一章質(zhì)點運動學(xué)運動的重要性質(zhì)：運動的獨立性

運動的獨立性的實驗演示曲線運動由速度、加速度的分量表達(dá)式可以看到，描寫一個質(zhì)點的復(fù)雜的曲線運動時，其某方向的坐標(biāo)、速度和加速度與其它方向的坐標(biāo)、速度和加速度無關(guān)，即三個方向相互無關(guān)。這種性質(zhì)稱為運動的獨立性。（空間獨立性根源）第一章質(zhì)點運動學(xué)如果已知：路程：

運動學(xué)的反問題

曲線運動可以完全描述運動。分量式：速度：位矢：§1.5自然坐標(biāo)系中運動的描述

第一章質(zhì)點運動學(xué)有時直角坐標(biāo)系不是最好的坐標(biāo)系，這是因為：若我們研究的運動是受約束的運動，比如火車的行駛（它不能離開鐵軌），或穿在彎曲鋼絲上的小環(huán)的運動等。這類運動往往軌跡的形狀是給定的，沿軌跡的曲線坐標(biāo)系有可能是更好的坐標(biāo)系。

即使我們研究運動的獨立性有效的運動，使用直角坐標(biāo)系使得數(shù)學(xué)計算簡單了，但我們對其中的一些物理細(xì)節(jié)卻并不很清楚。比如，我們知道速度的方向是沿著軌跡上質(zhì)點所在位置的切線方向，但加速度的方向如何？加速度的方向?qū)λ俣扔钟泻斡绊懀坑谑?，我們需要引入一種新的坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系?！?.5自然坐標(biāo)系中運動的描述

第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度我們現(xiàn)在考慮加速度的方向。對于沿直線的運動，只有一個方向，故速度與加速度的方向都與軌跡的方向平行（對于減速運動，加速度的方向與運動方向相反，我們?nèi)砸暭铀俣扰c速度方向平行，有時也稱其為反平行），如圖(a)；對于勻速圓周運動，加速度與速度方向垂直，如圖(b)；而對于一般的曲線運動，加速度的方向比較復(fù)雜，它往往與速度的方向即不平行又不垂直，如圖(c)。

由于一維的直線運動非常簡單，我們下面的討論認(rèn)為質(zhì)點的運動不是直線運動。

第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度速度矢量：其中是沿著軌道切向，指向運動方向的單位矢量。v(t)沒有法向分量。加速度：第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度該項沿軌跡的切向，也即是速度的方向，我們稱這一項為切向加速度。

第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度如圖知，求瞬時加速度至少需要在軌跡上取三個點。在求加速度的過程中，每次只取三個點，而不在一條直線上的三個點可以唯一確定一個平面（我們已假定了質(zhì)點的運動不是直線運動），在取極限的過程中，這三個點所確定的平面也會隨之變化，最后會趨于一個極限的平面。我們認(rèn)為這個極限平面與P點附近的軌跡的關(guān)系最為密切，故稱該極限平面為密切平面（簡稱密切面）。不僅如此，不在一條直線上的三個點還可以唯一確定一個圓，于是，在我們的密切面上還有一個極限圓，我們認(rèn)為這個極限圓與點附近的軌跡的彎曲情況最為密切，故稱該極限圓為密切圓，又稱曲率圓，這個圓的半經(jīng)稱為曲率半徑。

設(shè)我們?nèi)∪齻€點P、Q、Q1來求加速度。第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度其中：切向加速度，表示速度大小的變化法向加速度，表示速度方向的變化于是：曲率半徑第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度加速度的大小（絕對值）：加速度：如果運動方程已知：可以求得：可得軌跡上任意一點的曲率半徑為：第一章質(zhì)點運動學(xué)切向加速度和法向加速度如果以弧長s為坐標(biāo)，則：可得：質(zhì)點的運動在形式上與直線運動相仿，所不同的是，質(zhì)點走的實際上是曲線。第一章質(zhì)點運動學(xué)自然坐標(biāo)系這樣構(gòu)成的正交坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)系（有的書上稱為內(nèi)稟坐標(biāo)系、本性坐標(biāo)系、路徑坐標(biāo)系等）當(dāng)質(zhì)點作空間運動時，它的速度向量位于軌跡上的切線方向，而加速度向量位于該點的密切平面上。第一章質(zhì)點運動學(xué)圓周運動2.軌道在一個平面上則稱為勻速圓周運動。稱這樣的運動為圓周運動。若同時有常數(shù)第一章質(zhì)點運動學(xué)圓周運動圓周運動的另一種描述法：

定義：角速度矢量，大小為，方向按右手系指向平行于轉(zhuǎn)軸方向。有了上述定義，則當(dāng)坐標(biāo)原點選在轉(zhuǎn)軸上時，如圖，有：圓周運動角量與線量的關(guān)系