高中數(shù)學人教A版1第二章圓錐曲線與方程雙曲線 課時提升作業(yè)十六

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)十六雙曲線方程及性質(zhì)的應用一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2023·全國卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點,若MF1→A.-33,3C.-223,【解析】選A.因為F1(-3,0),F2(3,0),x022所以MF1→·MF2→=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y即3y02-1<0,解得-33<y02.(2023·重慶高二檢測)已知雙曲線x2-y2=2,過定點P(2,0)作直線l與雙曲線有且只有一個交點,則這樣的直線l的條數(shù)為()B.2【解析】選B.因為點P(2,0)在雙曲線含焦點的區(qū)域內(nèi),故只有當直線l與漸近線平行時才會與雙曲線只有一個交點,故這樣的直線只有兩條.【補償訓練】過雙曲線x2-y2A.一條B.兩條C.三條 D.四條【解析】選C.過右焦點且垂直于x軸的弦長為16,因為|AB|=16,所以當l與雙曲線的兩交點都在右支上時只有一條.又因為實軸長為2,16>2,所以當l與雙曲線的兩交點在左、右兩支上時應該有兩條,共三條.3.(2023·泉州高二檢測)若曲線C上存在點M,使M到平面內(nèi)兩點A(-5,0),B(5,0)距離之差為8,則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是()+y=5 +y2=9C.x225+y2【解析】選B.因為M到平面內(nèi)兩點A(-5,0),B(5,0)距離之差為8,所以M的軌跡是以A(-5,0),B(5,0)為焦點的雙曲線的右支,方程為x216-y29=1(x≥4),A:直線x+y=5過點(5,0)滿足題意;B:x2+y2=9的圓心為(0,0),半徑為3,與M的軌跡沒有交點,不滿足題意;C:x225+y29=1的右頂點(5,0),滿足題意;D:方程代入4.(2023·青島高二檢測)過雙曲線x2a2-y2bA.2 B.3 C.5 D.10【解析】選C.右頂點為A(a,0),則直線方程為x+y-a=0,可求得直線與兩漸近線的交點坐標Ba2a+b,aba+b,CaAB→=又2AB→=BC→,所以【補償訓練】已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b+2 ±2C.2 D.2±1【解析】選A.因為△ABF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,b2所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=1±2.又e>1,所以e=1+2.5.(2023·沈陽高二檢測)已知雙曲線E的中心在原點,F(3,0)是E的焦點,過F的直線l與E相交于A,B兩點,且AB中點為N(-12,-15),則E的方程為()x23y26=1 x26y23=1 【解析】選B.由已知條件易得直線l的斜率k=-15-0-12-3=1,設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減并結合x1+x2=-24,y【拓展延伸】解決與雙曲線弦的中點有關問題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關系法:聯(lián)立直線方程和雙曲線方程構成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決.(2)點差法:利用端點在曲線上,坐標滿足方程,將端點坐標分別代入雙曲線方程,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系,可求斜率k=y1二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2023·濟南高二檢測)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)和橢圓【解析】由題意知,橢圓的焦點坐標是(±7,0),離心率是74.故在雙曲線中c=7,e=274=ca,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求雙曲線的方程是答案:x24-7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F且斜率為3的直線交雙曲線C于A,B兩點.若【解析】設A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),由y得(b2-3a2)y2+23b2cy+3b4=0,因為b2-3a2≠0,所以y1+y2=23b2c3a2由AF→=4FB→得y所以-3y2=23b2c3所以y2=2b代入-4y22=316c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=3625所以e=65答案:68.已知直線l:x-y+m=0與雙曲線x2-y22=1交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點在圓x2+y2=5上,則m的值是【解析】由x消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=設A(x1,y1),B(x2,y2).則x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以線段AB的中點坐標為(m,2m),又因為點(m,2m)在圓x2+y2=5上,所以5m2答案:±1【補償訓練】雙曲線x29-y216=1的兩個焦點為F1,F2,點P在雙曲線上,若PF1⊥PF【解析】設|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.由雙曲線的定義知,m-n=2a=6,又PF1⊥PF2.所以△PF1F2即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.設點P到x軸的距離為d,S△PF1F2=12d|F1F2即12d·2c=12mn.所以d=mn2c即點P到x軸的距離為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.雙曲線的中心為原點O,焦點在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經(jīng)過右焦點F且垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點.已知|OA→|,|AB→|,|OB(1)求雙曲線的離心率.(2)設AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.【解析】(1)設OA=m-d,AB=m,OB=m+d,雙曲線方程為x2a2由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=14m,tan∠AOF=btan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=由倍角公式得2·ba解得ba=12,則離心率e=(2)直線AB的方程為y=-ab(x-c),與雙曲線方程x2a2-y化簡有154b2x2x1+x2=325b15,x1·x2設交點A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則|AB|=1+ab2|x=1+將數(shù)值代入,得4=532解得b=3,故所求的雙曲線方程為x236-10.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A,B兩點.(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點,求實數(shù)a的值.(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A,B兩點關于直線y=12【解析】(1)由y=ax+1,(3-a2)x2-2ax-2=0.①依題意3即-6<a<6且a≠±3②設A(x1,y1),B(x2,y2),則x因為以AB為直徑的圓過原點,所以OA⊥OB.所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④知(a2+1)·-23-a解得a=±1且滿足②.所以實數(shù)a的值為±1.(2)假設存在實數(shù)a,使A,B關于y=12則直線y=ax+1與y=12直線l的方程為y=-2x+1.將a=-2代入③得x1+x2=4.所以AB中點橫坐標為2,縱坐標為y=-2×2+1=-3.但AB中點(2,-3)不在直線y=12即不存在實數(shù)a,使A,B關于直線y=12一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2023·鄭州高二檢測)直線y=3x與雙曲線C:x2a2-y2bA.3+2 B.3+1C.2+1 2【解析】選B.由題知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN為直角三角形,且∠MFN=90°,取左焦點為F0,連結NF0,MF0,由雙曲線的對稱性知,四邊形NFMF0為平行四邊形.又因為∠MFN=90°,所以四邊形NFMF0為矩形,所以|MN|=|F0F|=2c又因為直線MN的傾斜角為60°,即∠NOF=60°,所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=3c,由雙曲線定義知|MF|-|MF0|=3c-c=2a,所以e=ca=3【補償訓練】過雙曲線M:x2-y2b2=1(b>0)的左頂點A作斜率為1的直線lA.52 B.103 C.5 【解析】選D.由題意可知A(-1,0),故直線l的方程為y=x+1.兩條漸近線方程為y=±bx,由已知聯(lián)立y=x+1,y=-bx,得B-11+b,b1+b,同理可得C1b-1,所以e=ca=102.(2023·黃岡高二檢測)已知平面上兩點M(-5,0)和N(5,0),若直線上存在點P使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“單曲型直線”,下列直線中是“單曲型直線”的是()①y=x+1; ②y=2; ③y=43x; A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【解析】選D.因為|PM|-|PN|=6,所以點P在以M,N為焦點的雙曲線的右支上,即x29-對于①,聯(lián)立x29-y216=1,y=x+1,消y得7x2-18x-153=0,因為Δ=(-18)2對于③,聯(lián)立x29-對于④,聯(lián)立x29-y2二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2023·福州高二檢測)設雙曲線x29-y2【解題指南】由雙曲線的方程可得a,b的值,進而可得c的值,得到A,F兩點的坐標.因此可得BF的方程為y=±43【解析】根據(jù)題意,得a2=9,b2=16,所以c=a2因為雙曲線x29-y2所以直線BF的方程為y=±43①若直線BF的方程為y=43與漸近線y=-43x交于點B5此時S△AFB=12|AF|·|yB|=12×2×103②若直線BF的方程為y=-43(x-5),與漸近線y=43x交于點B此時S△AFB=12|AF|·|yB|=12×2×103因此,△AFB的面積為103答案:104.(2023·浙江高考)設雙曲線x2-y23=1的左、右焦點分別為F1,F2.若點P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是【解析】由已知a=1,b=3,c=2,則e=ca=2,設P(x,y)是雙曲線上任意一點,由對稱性不妨設P在右支上,則1<x<2,|PF1|=2x+1,|PF2|=2x-1∠F1PF2為銳角,則|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42解得x>72所以72所以|PF1|+|PF2|=4x∈(27,8).答案:(27,8)三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2023·南昌高二檢測)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).如圖,B是右頂點,F是右焦點,點A在x軸正半軸上,且滿足|OA(1)求證:PA→·OP→=(2)若l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點E,D,求雙曲線離心率e的取值范圍.【解析】(1)雙曲線的漸近線為y=±ba所以直線l的斜率為-ab所以直線l:y=-ab由y=-ab因為|OA→|,|OB所以xA·c=a2,所以xA=a2Aa2c,0,PA→=0FP→所以PA→·OP→=-a2b2則PA→·OP→=(2)由y=-ab2-a4b2xx1x2=-a因為點E,D分別在左右兩支上,所以-a4c2b2+a2b2b2-a6.(2023·哈爾濱高二檢測)已知雙曲線x2a2-y2b(1)求雙曲線的方程及漸近線方程.(2)若直線y=kx+5(k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C,D,且兩點都在以A為圓心的同一個圓上,求k的值.【解析】(1)直線AB的方程為xa+y-b=1,即bx-ay-ab=0.又原點O到直線AB的距離|-ab|a2由ab=3所求雙曲線方程為x23-y漸近線方程為y=±33(2)由(1)可知A(0,-1),設C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:x所以3+3y12+(y1+1)2=3+3y22+(y整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,因為k≠0,所以y