2017-2018版高中數(shù)學第一章立體幾何初步疑難規(guī)律方法學案2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE44學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第一章立體幾何初步1揭秘圓柱、圓錐、圓臺和球的特征我們把由一條平面曲線繞著它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體。這條定直線叫作旋轉(zhuǎn)體的軸，常見的旋轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、圓臺和球等.1。圓柱有以下三個主要特征（1)圓柱的軸垂直于底面.(2）圓柱的所有母線都相互平行且相等，而且都與圓柱的軸平行.（3）圓柱的母線垂直于底面.2.三類幾何體的區(qū)別如下表所示底面平行于底面的截面軸截面圓柱有兩個、平行且全等與兩底面全等矩形圓錐只有一個與底面相似等腰三角形圓臺有兩個、平行且相似與兩底面相似等腰梯形從運動變化的角度來講,三類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系如圖所示。3.球與球面半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫作球面，球面所圍成的幾何體叫作球體，簡稱球。球面也可看成是空間中到定點的距離等于定長的所有點的集合.球面僅僅指球的表面，而球不僅包括球的表面，同時還包括球面所包圍的空間,所以球是由半圓面沿其直徑旋轉(zhuǎn)而成的封閉的、實心的幾何體。球的截面都是圓面.4。圓臺應(yīng)具備以下性質(zhì)(1)圓臺的底面是兩個半徑不相等的圓，兩圓所在的平面互相平行且和軸垂直.（2）平行于底面的截面是圓.（3）母線都相等，各母線延長后相交于一點。例下列說法正確的是()①圓臺可以由任意一個梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成；②用任意一個與底面平行的平面截圓臺,截面是圓；③在圓臺上、下底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線;④圓柱的任意兩條母線平行,圓錐的任意兩條母線相交，圓臺的任意兩條母線延長后相交.A.①②B.②③C.①③D。②④解析①錯，圓臺是直角梯形繞其直角邊或等腰梯形繞其底邊的中線旋轉(zhuǎn)形成的;②正確；由母線的定義知③錯；④正確。所以應(yīng)選D.答案D2學習空間幾何體要“三會”一、會辨別例1下列說法:①一個幾何體有五個面，則該幾何體可能是球、棱錐、棱臺、棱柱;②若一個幾何體有兩個面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺；③直角三角形繞其任意一條邊旋轉(zhuǎn)一周都可以圍成圓錐.其中說法正確的個數(shù)為________.分析可根據(jù)柱體、錐體、臺體和球體的概念進行判斷.解析一個幾何體有五個面，可能是四棱錐、三棱臺，也可能是三棱柱，但不可能是球,所以①錯；由于棱臺的側(cè)棱是原棱錐側(cè)棱的一部分，所以棱臺的各側(cè)棱的延長線相交于一點,而②中的幾何體其側(cè)棱延長線并不一定會交于一點，所以②錯；③中如繞直角邊旋轉(zhuǎn)可以形成圓錐，但繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是由兩個圓錐組成的組合體,所以③錯。故填0.答案0評注要準確辨別各種幾何體，可從軸、側(cè)面、底面、母線、平行于底面的截面等方面入手，當然掌握定義是大前提.二、會折展例2紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北。現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“Δ”的面的方位是________.分析將平面展開圖按要求折疊成正方體，根據(jù)方位判斷即可.解析將平面展開圖折疊成正方體，如圖所示，標“Δ"的面的方位應(yīng)為北.故填北。答案北評注將空間幾何體展開成平面圖形,或?qū)⒄归_圖折疊成空間幾何體，在后面的計算或證明中經(jīng)常用到，應(yīng)引起重視.解決這類問題的關(guān)鍵是充分發(fā)揮空間想象能力或親自動手制作模型進行實踐.三、會割補例3如圖所示是一個三棱臺ABC－A1B1C1。(1）試用一個平面把這個三棱臺分成一個三棱柱和一個多面體，并用字母表示；(2）試用兩個平面把這個三棱臺分成三部分，使每一部分都是一個三棱錐。分析（1)三棱柱要求兩個底面為平行且全等的三角形,其余三個面為四邊形,且相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行；（2)三棱錐要求底面為三角形，且其余各面為有一個公共頂點的三角形.解（1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，連接DE，則三棱柱為A1B1C1－DBE，多面體為ADECC1A1（如圖所示）。(2)連接A1B，A1C，C1B,就能把三棱臺分成三部分,形成的三個三棱錐分別是三棱錐A1－ABC、三棱錐B－A1B1C1、三棱錐A1－BCC1(如圖所示).評注正確理解各類幾何體的概念是將幾何體進行割補的前提，在后面的空間幾何體的體積或面積計算中經(jīng)常要通過線、面，將不規(guī)則的幾何體通過割補的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，從而可以利用公式求解.3三視圖易錯點剖析一、棱錐的視圖易出錯我們在畫正三棱錐、正四棱錐時要注意從不同角度得到的三視圖.實際上，在上述幾何體的三視圖中，左視圖最容易出錯，在畫這些常見錐體的三視圖時，可做出幾何體的高線,有了高線的襯托，自然就可以得到正確的三視圖。如圖，對于正三棱錐P－ABC來說，它的主視圖中，從前面向后面看,點B到了點D的位置，點P到了點P′的位置，故主視圖為等腰三角形P′AC(包含高線P′D），從左側(cè)向右側(cè)看，點A到了點D的位置，故左視圖為△PBD，從上面向下面看，俯視圖中，點P到了點O的位置，故俯視圖為等邊三角形ABC(外加三條線段OA、OB、OC）.如圖,對于正四棱錐P－ABCD來說，它的主視圖和左視圖分別為等腰三角形PEF和等腰三角形PGH,俯視圖為正方形ABCD（包含兩條對角線AC和BD).對于此三視圖,左視圖和主視圖易出錯，但有了高線PO的襯托，便可降低出錯率。二、畫三視圖時，沒有把不可見的輪廓線用虛線表示而出錯作幾何體的三視圖的過程中，可見的邊界輪廓線用實線表示，不可見的邊界輪廓線用虛線表示.這一點不能忽視，否則易出錯。例1畫出如圖所示零件的三視圖.錯解如圖零件可看作是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合，其三視圖如圖所示.剖析錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應(yīng)畫出其交線.正解三、不能由三視圖還原正確的直觀圖而出錯當已知幾何體的三視圖，而需要我們?nèi)ミ€原成直觀圖時，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點的投影，重要的垂直關(guān)系等，綜合三個視圖，想象出直觀圖,然后畫出直觀圖，再通過已知的三視圖驗證直觀圖的正確性.例2如圖，通過三視圖還原物體的直觀圖。解通過三視圖可以畫出直觀圖,如圖所示：注：其中PC為垂直于底面ABCD的直線.變式訓練由下面的三視圖還原物體的直觀圖。解通過三視圖可以看出直觀圖如圖所示：注:其中CC1為垂直于底面ABCD的直線。4直觀圖與原圖形的互化知多少在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來考查斜二測畫法中角度和長度的變化，也實現(xiàn)了原圖形與直觀圖的互化.關(guān)于兩者的互化，關(guān)鍵是要抓住它們之間的轉(zhuǎn)化規(guī)則-—“斜"和“二測”。“斜”也即是直角坐標系到斜45°坐標系之間的相互轉(zhuǎn)化，“二測”也即是兩者在轉(zhuǎn)化時，要做到“水平長不變，垂直倍半化".現(xiàn)通過例題講述一下兩者之間的具體轉(zhuǎn)化策略。一、原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化例1已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(）A。eq\f（\r(3）,4）a2B.eq\f(\r（3）,8）a2C.eq\f（\r(6），8)a2D。eq\f（\r（6)，16)a2分析先根據(jù)題意，在原圖形中建立平面直角坐標系(以AB所在直線為x軸，以AB邊上的高所在直線為y軸），然后完成由原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)直觀圖△A′B′C′的邊長及夾角求解.解析根據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標系,再按照斜二測畫法畫出其直觀圖，如圖②所示。易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f（1,2）OC＝eq\f(\r(3),4）a.作C′D′⊥A′B′于點D′,則C′D′＝eq\f（\r（2)，2）O′C′＝eq\f（\r(6)，8)a.S△A′B′C′＝eq\f(1，2）A′B′·C′D′＝eq\f(1,2）a×eq\f（\r(6），8)a＝eq\f（\r（6），16）a2.答案D評注通過斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與實物圖的面積之比為eq\f（\r(2）,4)∶1.在求解中注意面積中的水平方向與垂直方向的選擇與定位.二、直觀圖到原圖形的轉(zhuǎn)化例2用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形，得到一個邊長為1的正方體，則原來圖形的形狀是（)解析由直觀圖知，原圖形在y軸上的對角線長應(yīng)為2eq\r(2）。答案A評注當由直觀圖向原圖形轉(zhuǎn)化時，關(guān)鍵是在直觀圖中建立斜45°坐標系，有了斜45°坐標系，便可按“斜二測畫法”的畫圖規(guī)則逆推回去，而在正方形中建立45°坐標系是很容易的(正方形的對角線與任一邊所成的角均為45°)，從而實現(xiàn)了由直觀圖向原幾何圖形的過渡。例3如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形水平放置的斜二測直觀圖，在斜二測直觀圖中，ABCD是一直角梯形,AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2,則這個平面圖形的實際面積是________。分析由∠BCx＝45°，先計算BC的長度。解析由斜二測直觀圖畫法規(guī)則知該平面圖形是梯形，且AB與CD的長度不變，仍為6和4，高為4eq\r（2)，故平面圖形的實際面積為eq\f(1,2）×（6＋4）×4eq\r（2)＝20eq\r（2).答案20eq\r（2)5“三共"問題的證法精析一、證明點共線例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于Q。求證：B、Q、D1共線。證明∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB；而Q∈平面ABC1D1。∴Q在兩平面的交線BD1上,∴B、Q、D1共線.評注證明點共線的問題，一般可轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，這樣可根據(jù)公理3證明這些點同在兩平面的交線上.二、證明線共點例2如圖,△ABC與△A1B1C1三條邊對應(yīng)平行，且兩個三角形不全等，求證:三對對應(yīng)頂點的連線相交于一點.分析要證三線共點，可證其中兩條直線有交點,且該交點在第三條直線上.證明由A1B1∥AB，知A1B1與AB可確定平面α。同理C1B1與CB,A1C1與AC可分別確定平面β和γ。又△ABC與△A1B1C1不全等,則A1B1≠AB.若AA1,BB1的交點為P，則P∈AA1,且P∈BB1。又β∩γ＝CC1，BB1β，則P∈β；AA1γ，則P∈γ。所以點P在β∩γ的交線上，即P∈CC1,這樣點P在AA1，BB1，CC1上,即三對對應(yīng)頂點的連線相交于一點。評注解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點,再證該點也在其他直線上.三、證明線共面例3求證:兩兩相交但不過同一點的四條直線共面.分析四條直線不共點，但有可能三線共點,或沒有三線共點,所以應(yīng)分兩種情況加以證明.證明分兩種情況證明：①有三條直線過同一點，如圖，因為A?l4，所以過A，l4可確定平面α.因為B，C，D∈l4，所以B,C,D∈α.所以ABα，ACα，ADα。因此四條直線l1，l2，l3,l4共面.②任意三條直線都不過同一點,如圖。因為l1∩l2＝A,所以過l1，l2可以確定平面α.又因為D,E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α。由E∈α，B∈α，可得BEα，即l3α。同理可證,l4α.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面.評注證明線共面問題，一般有兩種方法：一是先由兩條直線確定一個平面,再證明第三條直線在這個平面內(nèi)；二是由其中兩條直線確定一個平面α，另兩條直線確定一個平面β，再證α，β重合,從而三線共面.6證明平行問題的三個突破點一、由中點聯(lián)想三角形的中位線，尋找平行關(guān)系例1如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CD1的中點,求證:AD1∥平面BDE。分析要在平面BDE內(nèi)尋找與AD1平行的直線，由條件E是CD1的中點,易想到利用三角形的中位線來尋找。由于底面ABCD是平行四邊形,其對角線的交點就是AC的中點，這樣就找到了中位線，從而問題就解決了.證明連接AC，與BD交于點O.因為底面ABCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點.連接OE，由于E是CD1的中點，所以O(shè)E是△AD1C的中位線.所以O(shè)E∥AD1。又OE平面BDE,AD1?平面BDE，所以AD1∥平面BDE。評注運用直線與平面平行的判定定理證明線面平行時,不能忽視限制條件：一條直線在平面內(nèi),一條直線在平面外，如本題中OE平面BDE，AD1?平面BDE,否則證明不完善.二、由平行四邊形尋找平行關(guān)系例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN,求證：MN∥平面ABB1A1.分析要在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，可根據(jù)平行關(guān)系作ME∥BC,NF∥AD來構(gòu)造平行四邊形，從而找到與MN平行的直線.證明作ME∥BC交BB1于點E，作NF∥AD交AB于點F,連接EF.因為AD∥BC，所以NF∥ME。因為CM＝DN，BD＝B1C，所以B1M＝BN.因為eq\f（ME，BC)＝eq\f（B1M，B1C)，eq\f(NF,AD）＝eq\f(BN，BD），所以ME＝NF.所以四邊形MEFN為平行四邊形。所以MN∥EF。又MN平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1。評注構(gòu)造平行四邊形的關(guān)鍵在于抓住條件特征，合理引入平行線.一定要注意平行四邊形的一條邊在要證平面內(nèi)，其對邊為待證直線，如本題中直線EF與MN.三、由對應(yīng)線段成比例尋找平行關(guān)系例3如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是正方形，M，N分別是PA,BD上的點，且eq\f(PM,MA)＝eq\f（BN,ND），求證：MN∥平面PBC。分析條件中給出一個比例關(guān)系，由此想到運用比例線段在平面PBC內(nèi)尋找一條直線與MN平行.證明連接AN并延長,交BC于點E，連接PE.在正方形ABCD內(nèi)，BC∥AD,所以eq\f(BN，ND)＝eq\f（NE,AN）。因為eq\f(PM，MA）＝eq\f（BN，ND)，所以eq\f(PM，MA）＝eq\f(NE，AN）。所以MN∥PE。又PE平面PBC，MN平面PBC，所以MN∥平面PBC.7巧用輔助線（面)證明平行關(guān)系在證明線與線、線與面、面與面的平行關(guān)系時,從“看到結(jié)論想判定定理，看到條件想性質(zhì)定理”來分析題意和尋求證明思路，往往要根據(jù)定理的條件，通過構(gòu)造輔助線或輔助面來解決問題.一、作輔助線來解題例1如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別是棱BC，C1D1的中點，求證：EF∥平面BB1D1D.證明如圖，取D1B1的中點O，連接OF，OB.因為OF平行且等于eq\f（1,2)B1C1,BE平行且等于eq\f（1,2）B1C1，所以O(shè)F平行且等于BE，即四邊形OFEB為平行四邊形.所以EF∥BO。又EF平面BB1D1D，BO平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.評注將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵是選擇或添加適當?shù)闹本€.而本題通過巧作平行線，利用“有困難,找中點”來證明線面平行是最有效的方法之一。二、作輔助面來解題例2如圖，已知直線a∥平面α，直線a∥平面β，α∩β＝b,求證:a∥b。分析要證明線線平行，我們可以通過線面平行，或者面面平行來解決。條件里沒有提到面面平行,所以,我們利用線面平行來突破.證明過a作平面γ,δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.因為γ∩α＝c,直線a∥平面α，aγ,所以a∥c。同理可證a∥d。所以c∥d。由dβ，cβ,得c∥β.因為cα,α∩β＝b，所以c∥b。又a∥c，所以a∥b.評注本題要使用線面平行的性質(zhì)定理，需要找出或作出過已知直線且與已知平面相交的平面，以便使用性質(zhì)定理，因此常作輔助面。三、同時作輔助線與輔助面來解題例3如圖，已知平面α∥平面β,AB,CD是夾在這兩個平面之間的線段，且AE＝EB，CG＝GD，AB與CD不平行,求證：EG∥平面α,EG∥平面β。分析有些綜合性的題目需要同時作出輔助線與輔助面，通過面面之間的關(guān)系來解題.題目條件中出現(xiàn)了兩個中點，一般可直接取某線段的中點，也可通過連線所得交點間接地取中點，本題是直接找中點.證明過點A作AH∥CD交平面β于點H，設(shè)F是AH的中點，連接EF,FG和BH，HD，BD.因為E，F(xiàn)分別是AB,AH的中點，所以EF∥BH，又BHβ，EFβ，所以EF∥β.又F，G分別是AH，CD的中點，且AH∥CD，所以FG∥HD。又HDβ,FGβ，所以FG∥β。因為EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面β，又α∥β,所以平面EFG∥α。因為EG平面EFG，所以EG∥α,EG∥β。評注本題是通過先作輔助線AH，再作輔助面EFG，借助平面幾何里三角形中位線的結(jié)論來解決問題的。8在轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學的重要內(nèi)容。在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì)，運用三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.一、證明線面垂直證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直。例1如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點,AN⊥PM，垂足為點N.求證：AN⊥平面PBM.證明因為PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BM。因為M是圓周上一點,所以BM⊥AM。又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM，所以BM⊥AN.又因為AN⊥PM,PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.評注本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學的圓的特征，在求解時要注意線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。二、證明面面垂直證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過求二面角的平面角為直角而得到,這種方法在證明面面垂直時應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直。例2如圖，△ABC為等邊三角形，EC⊥平面ABC,BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中點。(1)求證：DE＝DA；(2）求證：平面BDM⊥平面ECA.證明(1)如圖,取EC的中點F,連接DF，易知DF∥BC。因為EC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以EC⊥BC,所以DF⊥EC。在Rt△EFD和Rt△DBA中，因為EF＝eq\f（1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB,所以Rt△EFD≌Rt△DBA。所以DE＝DA。（2)如圖，取CA的中點N,連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1，2)EC。又EC∥BD，且BD＝eq\f（1，2）EC,所以MN∥BD，且MN＝BD。所以四邊形BDMN是平行四邊形。所以點N在平面BDM內(nèi).因為EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN。又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因為BN平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA。評注在證明面面垂直時通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題。三、證明線線垂直證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質(zhì),即如果一條直線垂直于一個平面，那么它和這個平面內(nèi)的任意一條直線垂直。例3如圖，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分別為A，B,求證：CD⊥AB。證明因為EA⊥α，CDα，所以CD⊥EA.又因為EB⊥β，CDβ，所以EB⊥CD。又因為EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因為AB平面ABE,所以CD⊥AB.評注證明空間中的垂直關(guān)系的問題時，經(jīng)常要用到化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過程之中。其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：線線垂直eq\o（，\s\up7(判定定理），\s\do5(性質(zhì)定理)）線面垂直eq\o(,\s\up7（判定定理）,\s\do5(性質(zhì)定理））面面垂直9空間中垂直關(guān)系的探索型問題隨著新課程的普及，創(chuàng)新型問題越來越受到高考命題者的青睞，并且滲透到各個章節(jié)之中，本文就直線與空間中垂直關(guān)系的開放探索型問題列舉兩例，供同學們學習。例1如圖，設(shè)△ABC內(nèi)接于⊙O,PA垂直于⊙O所在的平面.（1)請指出圖中互相垂直的平面；（要求:列出所有的情形，但不要求證明）(2)若要使互相垂直的平面對數(shù)在原有的基礎(chǔ)上增加一對，那么在△ABC中需添加一個什么條件？(要求：添加你認為正確的一個條件即可，不必考慮所有可能的情形，但必須證明你添加的條件的正確性，答案不唯一）（3)設(shè)D是PC的中點，AC＝AB＝a（a是常數(shù)),試探究在PA上是否存在一點M，使MD＋MB最??？若存在，試確定點M的位置；若不存在，請說明理由.解（1）圖中互相垂直的平面有：平面PAC⊥平面ABC,平面PAB⊥平面ABC.（2)要使互相垂直的平面對數(shù)在原有的基礎(chǔ)上增加一對，在△ABC中需添加:AB⊥BC（或添加∠ABC＝90°，或AC是⊙O的直徑，或AC過圓心O等.）證明如下:因為PA⊥平面ABC，BC平面ABC,所以BC⊥PA.因為AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB。(其他條件的證明略)(3）將平面PAB繞PA沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與平面PAC在同一平面上，如圖。因為PA⊥AC,PA⊥AB，所以C,A，B三點在同一條直線上.連接DB交PA于點M，則點M就是所求的點。過點D作DE∥BC交PA于點E.因為D是PC的中點，所以E為PA的中點.因為eq\f(AM,ME）＝eq\f（AB，DE）,且AC＝AB，所以eq\f(AM,ME）＝2。所以AM＝eq\f（2，3)AE＝eq\f（1,3）AP,即當點M為AP方向上的第一個三等分點時，MD＋MB最小。例2如圖所示,已知長方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點，(1)求證:EF∥平面ABCD；(2)設(shè)M為線段C1C的中點，當eq\f(D1D,AD)的比值為多少時，DF⊥平面D1MB?并說明理由.(1)證明∵E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點，∴EF∥AB。又∵EF平面ABCD,AB平面ABCD，∴EF∥平面ABCD。（2）解當eq\f（D1D，AD）＝eq\r（2)時，DF⊥平面D1MB?！逜BCD是正方形,∴AC⊥BD?！逥1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥AC?！逥1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF?！逨，M分別是BD1，CC1的中點，∴FM∥AC?！郉F⊥FM?！逥1D＝eq\r(2)AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1為正方形?！逨為BD1的中點，∴DF⊥BD1?！逨M∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB.10幾何法求空間角空間角的計算是對空間線與線、線與面、面與面位置關(guān)系的一種定量研究和精確的刻畫.利用幾何法求解空間角的過程可以將邏輯推理與運算融為一體，能達到綜合考查同學們的空間想象能力、邏輯推理能力、運算能力、分析問題及解決問題的能力。下面就利用幾何法求空間角的策略進行分析。一、求異面直線所成的角求異面直線所成的角主要是根據(jù)定義利用平移法作出所成角，平移的主要途徑有:(1）利用三角形和梯形的中位線；(2)利用平行線分線段成比例的性質(zhì)；（3）利用平行四邊形（矩形、正方形）的性質(zhì)；(4)利用線面平行和面面平行的性質(zhì)等.例1已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱都垂直于底面，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于(）A.30°B.45°C。60°D。90°分析考慮直線AC1在平面AA1C1C上平行移動，當點C1移至A1時,點A自然移至CA的延長線上，因此只需取AD＝AC即可順利作出所求解。解析如圖，延長CA到D，使得AD＝AC.由AC∥A1C1，且AC＝A1C1，得AD∥A1C1且AD＝A1C1.所以四邊形ADA1C1為平行四邊形。所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角。設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，則A1D＝A1B＝BD＝eq\r（2),即△A1DB為等邊三角形.所以∠DA1B＝60°.故選C。答案C二、求二面角求二面角是通過求其平面角的大小實現(xiàn)的，而平面角的作法中必須強調(diào)“垂直"，其常見途徑：(1)利用共底的兩個等腰三角形;(2）利用共公共邊的兩個全等三角形；（3）利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)；(4)對于“無棱"二面角一般須先確定棱，然后再利用上述方法作出平面角。例2在三棱錐S－ABC中，已知△ABC是邊長為a的等邊三角形，且SA⊥底面ABC,AS＝eq\f（1，2)a，求平面ABC與平面SBC夾角的大小.解如圖所示，因為AB＝AC＝a，∠BAS＝∠CAS＝90°，所以SB＝SC.取BC的中點為D，連接AD，SD，則由等腰三角形的性質(zhì)，可得SD⊥BC，AD⊥BC。于是由二面角的平面角的定義可知，∠ADS為平面ABC與平面SBC夾角的平面角.因為AS＝eq\f(1，2)a,AD＝eq\f（\r(3）,2）BC＝eq\f（\r（3)，2)a，所以在Rt△ASD中，tan∠ADS＝eq\f（\f（1,2）a，\f（\r(3),2）a)＝eq\f(\r(3）,3)。所以∠ADS＝30°，即所求平面ABC與平面SBC夾角的大小為30°.評注應(yīng)用二面角的定義時，常常要先在二面角的棱上取一個適當?shù)狞c(常取中點），然后再過這一點在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線,找出二面角的平面角，然后通過解三角形求得二面角的大小。11柱、錐、臺的表面積求法精析由于柱、錐、臺的表面積是各個面的面積之和，因此計算的關(guān)鍵在于對幾何體各個面的正確認識以及對表面積公式的正確運用。一、錐體的表面積例1正三棱錐的底面邊長為4cm，它的側(cè)棱與高所成的角為45°,求正三棱錐的表面積。分析本題的關(guān)鍵在于求正三棱錐的斜高.解如圖所示，過S點作SO⊥平面ABC于O點，則O為△ABC的中心,連接AO并延長與BC相交于D點。由正三角形的性質(zhì)得D為BC的中點，連接SD，則SD為正三棱錐的斜高.在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，AO＝eq\f(\r（3)，3）×4＝eq\f（4\r（3），3）（cm），∴SO＝AO＝eq\f(4\r(3),3)(cm).在Rt△SOD中,OD＝eq\f（\r（3）,6）×4＝eq\f（2\r（3),3）(cm），故SD＝eq\r(SO2＋OD2）＝eq\r(\f(16,3）＋\f(4，3))＝eq\r(\f(20，3）)＝eq\f(2\r(15），3)（cm)。令SD＝h′,根據(jù)正棱錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝eq\f(1，2)×3×4×eq\f（2\r(15),3)＝4eq\r（15）（cm2),又△ABC的面積為4eq\r(3)cm2，故正三棱錐的表面積為(4eq\r(15)＋4eq\r（3))cm2.評注有關(guān)棱錐、棱臺的表面積問題，常常涉及到側(cè)棱、高、斜高、邊心距和底面外接圓半徑五個量之間的關(guān)系.解決問題時,往往把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形，即由側(cè)棱、高、底面外接圓半徑所組成的直角三角形或由高、斜高、邊心距所組成的直角三角形，求出所需要的量，從而使問題得以解決.二、柱體的表面積例2如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1,其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝A1A＝2。（1)求該幾何體的表面積;(2)若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，求拼得的棱柱表面積的最小值.解(1)該幾何體有5個面，兩個底面的面積均為eq\f(1，2)×eq\r（2）×eq\r(2)＝1,三個側(cè)面面積和為2×(eq\r（2)＋eq\r(2)＋2)＝4（eq\r（2）＋1），故其表面積S＝6＋4eq\r（2)。（2）設(shè)兩個這樣的直三棱柱重合的面的面積為S1,則組合后的直棱柱的表面積為2S－2S1，故當且僅當重合的面的面積最大時，拼得的棱柱的表面積最小。又側(cè)面AA1C1C的面積最大，此時拼得的棱柱的表面積最小值為2S－2S四邊形AA1C1C＝4＋8eq\r（2）.評注本例中(1）的關(guān)鍵在于準確識別幾何體的各個面的形狀；(2)的關(guān)鍵在于找到影響拼合后的面積變化量，當然也可以分類討論,列舉出各種拼合的辦法，一一計算表面積,再進行比較.三、臺體的表面積例3已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高。分析求棱臺的側(cè)面積要注意利用公式及正棱臺中的特殊直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問題來求解所需的幾何元素.解如圖所示,正三棱臺ABC－A1B1C1中,O，O1分別為兩底面中心，D，D1分別為BC和B1C1中點，則DD1為棱臺的斜高.設(shè)A1B1＝20cm，AB＝30cm,則OD＝5eq\r(3)cm，O1D1＝eq\f（10\r（3），3）cm,由S側(cè)＝S上＋S下,得eq\f(1,2)×（20＋30）×3×DD1＝eq\f(\r(3）,4)(202＋302)，∴DD1＝eq\f（13\r(3),3)cm.∴棱臺的斜高為eq\f(13\r(3）,3）cm。在直角梯形O1ODD1中,O1O＝eq\r（DD\o\al（2,1)－OD－O1D12）＝4eq\r(3)（cm）.∴棱臺的高為4eq\r（3)cm。評注本題的關(guān)鍵是找到正棱臺中的特殊直角梯形。12空間幾何體體積的求法精析空間幾何體的體積公式在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，但在具體求解過程中，僅僅記住公式是遠遠不夠的,還要把握圖形的內(nèi)在因素，掌握一些常見的求解策略，靈活選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行求解.一、直接用公式求解根據(jù)柱體、錐體、臺體、球體的體積公式,明確公式中各幾何量的值，把未知的逐個求出，再代入公式進行求解。例1已知圓錐的表面積為15πcm2，側(cè)面展開圖的圓心角為60°，求該圓錐的體積。分析根據(jù)錐體的體積公式V＝eq\f（1，3)Sh，知應(yīng)分別求出圓錐的底面半徑和高，代入公式計算.解設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\