高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點直線平面之間的位置關(guān)系 5

第14課時直線與平面垂直的判定課時目標(biāo)掌握直線與平面平行的判定定理，會根據(jù)直線與平面垂直的定義及直線與平面垂直的判定定理解決相關(guān)問題．識記強(qiáng)化1．直線與平面垂直的定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．2．直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．簡稱為線面垂直．符號表示：a⊥m，a⊥n，m、n?α，且m∩n＝A?a⊥α.3．直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角．課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?βD．m⊥n，且n∥β答案：B解析：A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，B符合題意；C、D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B.2．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面AA1D1D為正方形，E為棱CD上任意一點，則AD1與B1E的關(guān)系為A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1與B1E共面D．以上都不對答案：A解析：連接A1D，則由正方形的性質(zhì)，知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E?平面A1B1ED，所以AD1⊥B13．下列四個命題中，正確的是()①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面垂直；②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；③若一條直線平行于一個平面，另一條直線垂直于這個平面，則這兩條直線互相垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有唯一一個平面與另一條直線垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④答案：D解析：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行的直線，則這條直線與這個平面不一定垂直，所以①錯誤．若一條直線平行于一個平面，垂直于這條直線的直線也可能平行于這個平面，所以②錯誤．若一條直線平行于一個平面，則平面內(nèi)必有一條直線與之平行，另一條直線垂直于這個平面，則該直線與平面內(nèi)的那條直線垂直，從而這兩條直線互相垂直，所以③正確．顯然若兩條直線垂直，則過其中一條直線與另外一條直線垂直的平面只有一個，所以④正確．4．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個B．至多一個C．有一個或無數(shù)個D．不存在答案：B解析：當(dāng)m⊥n時，有且只有一個；當(dāng)m與n不垂直時，則沒有．5．PO⊥平面ABC，O為垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，則PO的長等于()A．5B．5eq\r(2)C．5eq\r(3)D．20答案：C解析：∵PA＝PB＝PC，∴P在面ABC上的射影O為△ABC的外心．又∵△ABC為直角三角形，∴O為斜邊BA的中點．在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴PO＝eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝5eq\r(3).6.如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案：D解析：選項A正確，因為SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD為正方形，所以AC垂直于BD，而BD與SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，進(jìn)而垂直于SB.選項B正確，因為AB平行于CD，而CD在平面SCD內(nèi)，AB不在平面SCD內(nèi)，所以AB平行于平面SCD.選項C正確，設(shè)AC與BD的交點為O，連接SO，則SA與平面SBD所成的角就是∠ASO，SC與平面SBD所成的角就是∠CSO，易知這兩個角相等．選項D錯誤，AB與SC所成的角等于∠SCD，而DC與SA所成的角是∠SAB，這兩個角不相等．二、填空題(每個5分，共15分)7．已知直線l，a，b，平面α，若要得到結(jié)論l⊥α，則需要在條件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個條件是________．答案：a與b相交解析：由直線與平面垂直的判定定理，知需添加的一個條件是a與b相交．8．過正方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點中的任意3個的平面中，與體對角線AC1垂直的平面有________個答案：2解析：利用直線與平面垂直的判定定理，知AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1，共有2個．9．如圖，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是AD的中點，F(xiàn)是BB1的中點，則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為________答案：eq\f(\r(5),5)解析：連接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直線EF與平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝eq\r(5)，則tan∠FEB＝eq\f(\r(5),5).三、解答題10．(12分)如圖，在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.證明：取CD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G.∵F、G分別為BC，CD的中點，∴FG∥BD，EG∥AC.又E為AD的中點，AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.11．(13分)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB，求CD與平面BDC1所成角的正弦值解：如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，連接AC交BD于點O，連接OC1，A1C1，過點C作CH⊥OC1于點H，連接DH∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1∵CH?平面ACC1A1，∴CH⊥BD又CH⊥OC1，OC1∩BD＝O，∴CH⊥平面BDC1，∴∠CDH即CD與平面BDC1所成的角．又OC1＝eq\r(CC\o\al(2,1)＋OC2)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3,\r(2))，由等面積法，得OC1·CH＝OC·CC1，解得CH＝eq\f(2,3)，∴sin∠CDH＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3).能力提升12．(5分)設(shè)三棱錐P—ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出以下說法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC垂心；②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中點，則PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，則H是△ABC的外心．其中正確說法的序號依次是________．答案：①②③④解析：根據(jù)題意畫出圖形即可．13．(15分)如圖，已知∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的斜線，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝eq\r(2)，求OA與平面α所成的角的大?。猓骸逴A＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB、△AOC為正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC＝eq\r(2)，