2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ）含答案

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分。每小題給出的備選答案中，只有一個(gè)是符號(hào)題意的。1．已知，則A．0 B．1 C． D．22．已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題3．已知向量，滿足：，，且，則A． B． C． D．14．某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：并部分整理下表：畝產(chǎn)量，，，，，，生產(chǎn)數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是A．100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于 B．100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例超過 C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于至之間 D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于至之間5．已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則A． B． C．1 D．27．已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面所成角的正切值為A． B．1 C．2 D．38．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為A． B． C． D．1二、選擇題：本大題共小3題，每小題6分，滿分18分。每小題給出的備選答案中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選的得0分。9．對(duì)于函數(shù)和，下列正確的有A．與有相同零點(diǎn) B．與有相同最大值 C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對(duì)稱軸10．拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動(dòng)點(diǎn)，過作的一條切線，為切點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)11．設(shè)函數(shù)，則A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn) C．存在，，使得為曲線的對(duì)稱軸 D．存在，使得點(diǎn)，（1）為曲線的對(duì)稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．13．已知為第一象限角，為第三象限角，，，則．14．在如圖的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．四、解答題：本題共5小題，滿分77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求周長(zhǎng)．16．（15分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍．17．（15分）如圖，平面四邊形中，，，，，，點(diǎn)，滿足，，將沿對(duì)折至，使得．（1）證明：；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．18．（17分）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽都由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分，若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率；（2）假設(shè)，為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？19．（17分）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，3，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，．

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分。每小題給出的備選答案中，只有一個(gè)是符號(hào)題意的。1．已知，則A．0 B．1 C． D．2【解析】：，則．故選：．2．已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題【解析】：命題：，，時(shí)，不成立，所以命題：是假命題；則是真命題．命題，，時(shí)成立，所以命題是真命題，是假命題；所以和都是真命題．故選：．3．已知向量，滿足：，，且，則A． B． C． D．1【解析】：向量，滿足，，且，可得，，可得，所以．故選：．4．某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：并部分整理下表：畝產(chǎn)量，，，，，，生產(chǎn)數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是A．100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于 B．100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例超過 C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于至之間 D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于至之間【解析】：對(duì)于，根據(jù)頻率分布表知，，所以100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)不小于，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，畝產(chǎn)量不低于的稻田頻數(shù)為，所以畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，畝產(chǎn)量的極差最大值為，最小值為，所以極差介于至之間，選項(xiàng)正確；對(duì)于，估計(jì)平均數(shù)為，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，未填入表中的稻田的畝產(chǎn)量數(shù)為30．對(duì)于選項(xiàng)A，如果未填入表中的數(shù)據(jù)均在1050以上，則所給數(shù)據(jù)的中位數(shù)在區(qū)間[1050,1150)中，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果未填入表中的數(shù)據(jù)均在1150以上，則所給數(shù)據(jù)低于1100的比例為在36%到60%之間，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，所給數(shù)據(jù)極差最大可能為1200?900=300，最小可能為1150?950=200，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，考慮到所給數(shù)據(jù)平均數(shù)大于1000，因此所給數(shù)據(jù)的平均值大于1000，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．5．已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【解析】：設(shè)，，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，故線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．故選：．6．設(shè)函數(shù)，為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則A． B． C．1 D．2【解析】：因?yàn)楹瘮?shù)，，所以由得，，設(shè)，則是偶函數(shù)，時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)在處相切，代入得．故選：．7．已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面所成角的正切值為A． B．1 C．2 D．3【解析】：設(shè)棱臺(tái)的高為，三條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，則由得：到上底面的距離為，到下底面的距離為，所以與平面所成角即為與平面所成角，又，，所以，解得，因?yàn)樯系酌嬷行牡巾旤c(diǎn)的距離為，所以與平面所成角的正切值為．故選：．8．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為A． B． C． D．1【解析】：的定義域?yàn)?，令，得，令，得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，則，當(dāng)時(shí)，，所以，則，故，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．故選：．解法二：在處變號(hào)，在處變號(hào)，因此若，則,從而，故選：．解法三：思路：先求定義域：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；二、選擇題：本大題共小3題，每小題6分，滿分18分。每小題給出的備選答案中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選的得0分。9．對(duì)于函數(shù)和，下列正確的有A．與有相同零點(diǎn) B．與有相同最大值 C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對(duì)稱軸【解析】：對(duì)于，令，解得，，即為零點(diǎn)，令，解得，，即為零點(diǎn)，故，零點(diǎn)不同，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，，兩函數(shù)有相同的最大值，故正確；對(duì)于，顯然兩函數(shù)最小正周期都為，故正確；對(duì)于，由，得，函數(shù)的對(duì)稱軸是，，由，得，函數(shù)的對(duì)稱軸是，，故錯(cuò)誤．故選：．10．拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動(dòng)點(diǎn)，過作的一條切線，為切點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【解析】：對(duì)于，拋物線的準(zhǔn)線為，是的一條切線，選項(xiàng)正確；對(duì)于，的圓心為，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，所以，選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，或，對(duì)應(yīng)的或，當(dāng)時(shí)，，，與并不垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，焦點(diǎn)，，則等價(jià)于在的中垂線上，該直線的方程為，它與拋物線有兩交點(diǎn)，選項(xiàng)正確．故選：．11．設(shè)函數(shù)，則A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn) C．存在，，使得為曲線的對(duì)稱軸 D．存在，使得點(diǎn)，（1）為曲線的對(duì)稱中心【解析】：由，得，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；的極大值，的極小值（a），所以有三個(gè)零點(diǎn)，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，是極小值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，任何三次函數(shù)不存在對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故正確．故選：．對(duì)于.法二考慮到三次函數(shù)的圖像特征如果存在對(duì)稱中心，兩個(gè)極值點(diǎn)一定關(guān)于，（1）對(duì)稱，所以a+0=2，且（a）+1=2（1）解得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則95．【解析】：解法一：等差數(shù)列中，，，解得，，，則．故答案為：95．解法二：13．已知為第一象限角，為第三象限角，，，則．【解析】：因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵瑸榈谌笙藿?，所以，，因?yàn)?，，所以，所以，，所以則．故答案為：．14．在如圖的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有24種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．【解析】：解法一：在如圖的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值是：．故答案為：24；112．解法二：注意到表格中每一列中的兩位數(shù)十位數(shù)字是相同的，所以第一行選個(gè)位是1的數(shù)，第二行選個(gè)位是3的數(shù)，第三行選個(gè)位是3的數(shù)，第四行選個(gè)位是5的數(shù)，考慮這四個(gè)數(shù)分布各列，所以選定．四、解答題：本題共5小題，滿分77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求周長(zhǎng)．【解析】：解法一：（1）因?yàn)?，所以，即，由為三角形?nèi)角，得，即；解法二：【山西省運(yùn)城市張曉曉補(bǔ)解】由，又，消去得到：，解得，又，故（2）因?yàn)?，，由正弦定理可得：，可得，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，所以，，所以的周長(zhǎng)為．綜上，的周長(zhǎng)為．16．（15分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍．【解析】：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，（1），切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為：，整理得：．（2）函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，，令，，在上單調(diào)遞減，（1），等價(jià)于，的取值范圍是．17．（15分）如圖，平面四邊形中，，，，，，點(diǎn)，滿足，，將沿對(duì)折至，使得．（1）證明：；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．【解析】：（1）證明：在中，，，，所以，所以，所以，所以，所以，由折疊的性質(zhì)可知，又，，面，所以面，又面，所以．（2），，，所以，，，所以，所以，又因?yàn)?，，，面，所以面，又面，所以，所以，，所在直線兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，0，，，，，，0，，，，，則，，，，，，所以，，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，所以，設(shè)，則，，所以，2，，設(shè)平面的法向量，，，所以，設(shè)，則，，所以，，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，，，所以．18．（17分）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽都由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分，若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率；（2）假設(shè)，為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【解析】：（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，甲第一階段至少投中一次，乙第二階段至少投中一次，甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率為：．（2）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在人的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為：，若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為：，，，為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，該由甲參加第一階段的比賽．若甲先參加第一階段的比賽，數(shù)學(xué)成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，，記乙參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，同理，，因?yàn)?，所以，為使得甲、乙，所在?duì)的比賽成績(jī)的數(shù)與期望最大，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽．19．（17分）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，3，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，．【解析】：（1）在上，，解得，