考研基礎(chǔ)班經(jīng)典數(shù)學(xué)講義第十一章無窮級(jí)數(shù)

第十一章無窮級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法五、函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法1為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);求和展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開.2一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(一)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念；3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；4.絕對(duì)收斂與條件收斂的概念；常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)存在(不存在)發(fā)散,而收斂,則稱為條件收斂.收斂,則稱為絕對(duì)收斂;3(二)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（4個(gè)）

性質(zhì)1.不變.斂散性級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一不為零的常數(shù),性質(zhì)2.設(shè)兩級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂，其和為在級(jí)數(shù)前面加上（或去掉）有限項(xiàng)不影響性質(zhì)3.級(jí)數(shù)的斂散性,

但影響收斂級(jí)數(shù)的和.性質(zhì)4.收斂加括號(hào)后收斂.收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原來的和.收斂+收斂=收斂，收斂+發(fā)散=發(fā)散，發(fā)散+發(fā)散就不一定發(fā)散發(fā)散去括號(hào)后發(fā)散.4(三)收斂級(jí)數(shù)的必要條件若級(jí)數(shù)收斂注：不能用判斷級(jí)數(shù)收斂.(四)應(yīng)熟記的幾個(gè)重要級(jí)數(shù)：1.幾何級(jí)數(shù)2.調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù).3.P-級(jí)數(shù)5(五)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法：1.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(3)性質(zhì)法.(4)利用重要級(jí)數(shù).(2)發(fā)散.(1)定義法：(5)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)存在(不存在).62.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(2)比值法(1)比較法(3)根值法(常數(shù)k>0)；若大的收斂，則小的也收斂；若小的發(fā)散，則大的也發(fā)散.3.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法(萊布尼茨審斂法)(i)(ii)7必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不確定比較審斂法用其它法判別性質(zhì)法定義法★正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序：注意：比值法主要適應(yīng)于通項(xiàng)中含之積的級(jí)數(shù).根值法主要適應(yīng)于通項(xiàng)中含的級(jí)數(shù).8解:

(1)故原級(jí)數(shù)發(fā)散.另解:

(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.例1.判別級(jí)數(shù)的斂散性:9解(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.故該級(jí)數(shù)收斂.解(3)P323題2(1)10例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性,是絕對(duì)收斂還是條件收斂？解(1)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.解(2)1)先考察的斂散性11又由于原級(jí)數(shù)收斂，是條件收斂.12設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證明收斂.例3.

證明:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不一定成立.例如,收斂,發(fā)散.13證明：[練習(xí)題]141.[03數(shù)三，4分]設(shè)則下列命題正確的是()條件收斂，則絕對(duì)收斂，則條件收斂，則斂散性都不定.絕對(duì)收斂，則(A)若(B)若(C)若(D)若都收斂.都收斂.斂散性都不定.幾個(gè)考研真題：152.[06數(shù)一,數(shù)三,4分]若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)()收斂.收斂.收斂.收斂.(A)(B)(C)(D)

D

性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.16(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).3.[04數(shù)三、4分]設(shè)有下列命題：(2)(3)(4)(1)則以上命題中正確的是()B

收斂加括號(hào)后收斂.17(11年數(shù)學(xué)三)性質(zhì)：收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂；發(fā)散級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍發(fā)散.18(09數(shù)學(xué)一)比較審斂法的極限形式:有相同的斂散性；,都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)196.級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界是級(jí)數(shù)收斂的()條件(A)充分;(B)必要;(C)充要;(D)既不充分也不必要.定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列有界.收斂收斂20定理1(阿貝爾Abel定理)(1)如果級(jí)數(shù)在處收斂，則它在開區(qū)間內(nèi)的一切x處絕對(duì)收斂.(2)如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它在開區(qū)間內(nèi)的一切x處發(fā)散.如果冪級(jí)數(shù)的所有系數(shù)定理2.

是它的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)且滿足：二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法幾何說明:絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散21★求收斂半徑的方法總結(jié):1.冪級(jí)數(shù)中奇偶項(xiàng)齊全時(shí)用公式求R.2.不滿足定理2條件的級(jí)數(shù)(缺項(xiàng))這時(shí)不能用以上公式求R.應(yīng)該根據(jù)收斂半徑的定義用直接法求R.如：3.若級(jí)數(shù)為則應(yīng)用代換法，令先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.★求收斂域的方法:22例1.解：該級(jí)數(shù)發(fā)散.故所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榇藭r(shí)該級(jí)數(shù)發(fā)散.23解:

因級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;故收斂域?yàn)椋阂话沩?xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;例2.24例2.另解：則級(jí)數(shù)為25練習(xí)幾個(gè)選擇題(08數(shù)學(xué)一)261.求部分和式的極限;求和3.逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對(duì)和式積分或求導(dǎo)難2.初等變換法:分解、變量代換后套用公式;（在收斂區(qū)間內(nèi)）.冪級(jí)數(shù)已知和函數(shù)的新級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法27請(qǐng)熟記：常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式28[2010數(shù)一]解：29例2.求冪級(jí)數(shù)解法1:

易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0例2.求冪級(jí)數(shù)解法2:

易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和法1:利用級(jí)數(shù)和的定義求法2:阿貝爾法(構(gòu)造冪級(jí)數(shù),用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求)1)欲求的和構(gòu)造冪級(jí)數(shù)求出它的和函數(shù)S(x)所求為S(1)2)欲求的和構(gòu)造冪級(jí)數(shù)求出它的和函數(shù)S(x)所求為S(x)=S(b)32解：33說明：構(gòu)造的冪級(jí)數(shù)是不唯一的.如還可構(gòu)造冪級(jí)數(shù)：原則是所構(gòu)造的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)容易求出.34四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級(jí)數(shù)展開式的函數(shù)展開1.直接展開法第一步第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0.求第二步寫出泰勒級(jí)數(shù)則并求出其收斂半徑R;352.間接展開法.根據(jù)唯一性,利用已知的函數(shù)展開式,通過變量(冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)),代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法函數(shù)已知展開式的新函數(shù)轉(zhuǎn)化將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).經(jīng)驗(yàn)：1)有理函數(shù)轉(zhuǎn)化2)指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化3)對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化4)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化5)反三角函數(shù)：先求導(dǎo)化為有理函數(shù)，再積分36例1.設(shè),將f(x)展開成x的冪級(jí)數(shù),的和.(01考研)解:于是并求級(jí)數(shù)3738解：(2010數(shù)2)39解：403.收斂定理：周期為2的函數(shù)f(x)，若滿足狄利克雷充分條件

x為f(x)的間斷點(diǎn)，五、函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法41★(1)S(x)與f(x)的定義域?yàn)?2)S(x)與f(x)的周期性相同且周期相等.

x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)(3)S(x)與f(x)的奇偶性相同.對(duì)定義域?yàn)镽的周期為2的函數(shù)f(x)的和函數(shù)S(x)與f(x)的關(guān)系：42設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.周期為2l的函數(shù)f(x)傅里葉級(jí)數(shù)展開法4.正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)(1)奇函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù).(2)偶函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù).43作法:1)對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級(jí)數(shù).5.對(duì)于非周期函數(shù)方法：

作奇周期延拓,展開為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級(jí)數(shù)2)對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級(jí)數(shù).44xyO-1解:(92考研)45

例2.設(shè)則(99考研)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)的周期為246(09數(shù)學(xué)三)(08數(shù)學(xué)一)練習(xí)題3.設(shè)提示:(03