湖南省岳陽縣一中2023屆高考數學五模試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種2．已知，則（）A． B． C． D．23．已知復數(1+i)(a+i)為純虛數(i為虛數單位)，則實數a=（）A．-1 B．1 C．0 D．24．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．5．已知函數，若對任意，都有成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結論是()A．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”7．已知數列滿足，且成等比數列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知為虛數單位，實數滿足，則()A．1 B． C． D．9．已知將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若和的圖象都關于對稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．10．設，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．11．函數的定義域為（）A． B． C． D．12．設集合，，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角所對的邊分別是，若，，則__________.14．已知F為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），則△PMF周長的最小值是_____.15．設命題：，，則：__________．16．已知內角的對邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量.18．（12分）在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.19．（12分）設，，其中．（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值．20．（12分）已知動圓Q經過定點，且與定直線相切（其中a為常數，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.22．（10分）已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎題.2、B【解析】

結合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.3、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據復數類型求參數，意在考查學生的計算能力.4、B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復合命題的真假性，即可得出結論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當,或時，則不成立.則，，均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關鍵，屬于基礎題.5、D【解析】

先將所求問題轉化為對任意恒成立，即得圖象恒在函數圖象的上方，再利用數形結合即可解決.【詳解】由得，由題意函數得圖象恒在函數圖象的上方，作出函數的圖象如圖所示過原點作函數的切線，設切點為，則，解得，所以切線斜率為，所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查導數在不等式恒成立中的應用，考查了學生轉化與化歸思想以及數形結合的思想，是一道中檔題.6、B【解析】

通過與表中的數據6.635的比較，可以得出正確的選項.【詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.7、D【解析】

利用等比中項性質可得等差數列的首項，進而求得，再利用二次函數的性質，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據題意，可知為等差數列，公差，由成等比數列，可得，∴，解得.∴.根據單調性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數列通項公式、等比中項性質、等差數列前項和的最值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.8、D【解析】，則故選D.9、B【解析】

因為將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，可得，結合已知，即可求得答案.【詳解】將函數（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，又和的圖象都關于對稱，由，得，，即，又，.故選：B.【點睛】本題主要考查了三角函數圖象平移和根據圖象對稱求參數，解題關鍵是掌握三角函數圖象平移的解法和正弦函數圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數量積及平面幾何知識，又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進行轉化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.11、C【解析】

函數的定義域應滿足故選C.12、A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數的基本關系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內角和定理，屬于中檔題.14、5【解析】

△PMF的周長最小，即求最小，過做拋物線準線的垂線，垂足為，轉化為求最小，數形結合即可求解.【詳解】如圖，F(xiàn)為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），拋物線C：x2＝8y的焦點為F（0，2），準線方程為y＝﹣2.過作準線的垂線，垂足為，則有，當且僅當三點共線時，等號成立，所以△PMF的周長最小值為55.故答案為：5.【點睛】本題考查拋物線定義的應用，考查數形結合與數學轉化思想方法，屬于中檔題.15、，【解析】

存在符號改任意符號，結論變相反.【詳解】命題是特稱命題，則為全稱命題，故將“”改為“”，將“”改為“”，故：，.故答案為：，.【點睛】本題考查全(特)稱命題.對全(特)稱命題進行否定的方法：(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；(2)否定結論：對于一般命題的否定只需直接否定結論即可．16、【解析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內角，從而有，于是可得三角形邊長，可得面積．【詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，∴，，．故答案為：．【點睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、另一個特征值為，對應的一個特征向量【解析】

根據特征多項式的一個零點為3，可得，再回代到方程即可解出另一個特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.【詳解】矩陣的特征多項式為：，是方程的一個根，，解得，即方程即，，可得另一個特征值為：，設對應的一個特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個特征值為，對應的一個特征向量【點睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎題.18、（1）證明見解析（2）45°【解析】

（1）設的中點為，連接，設的中點為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導出，從而平面，則，即，進而平面，推導四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.（2）以B為原點，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】（1）∵是的中點，∴.設的中點為，連接.設的中點為，連接，.易證：，，∴即為二面角的平面角.∴，而為的中點.易知，∴為等邊三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分別為的中點.∴四邊形為平行四邊形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標系，設.則，，，，顯然平面的法向量，設平面的法向量為，，，∴，∴.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通?？刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進行求解.19、（1）1（2）1【解析】分析：（1）當時可得，可得.（2）先得到關系式，累乘可得，從而可得，即為定值．詳解：（1）當時，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒為定值1．點睛：本題考查組合數的有關運算，解題時要注意所給出的的定義，并結合組合數公式求解．由于運算量較大，解題時要注意運算的準確性，避免出現(xiàn)錯誤．20、（1），拋物線；（2）存在，.【解析】

（1）設，易得，化簡即得；（2）利用導數幾何意義可得，要使，只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程，利用根與系數的關系即可解決.【詳解】（1）設，由題意，得，化簡得，所以動圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線.（2）不妨設.因為，所以，從而直線PA的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設直線m的方程為，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，設，，則，..故存在直線m，使得，此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，涉及拋物線中的存在性問題，考查學生的計算能力，是一道中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數方程（為參數），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當最大時，直線l經過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【點睛】本題考查參數方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關系，考查化歸和轉化思想，屬于中檔題.22、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，，證明平面平面，得到點在底面上的投影必落在直線上，記為點在底面上的投影，連接，，得出即是直線與平面所成角，再由題中數據求解，即可得出結果.【詳解】（1）連接，因為等腰梯形中（如圖1），，，所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；又為線段的中點，為中點，易得：四邊形也