【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章第十節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課件 文 蘇教

第十節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考第十節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用雙基研習(xí)?面對(duì)高考1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)梳理雙基研習(xí)·面對(duì)高考思考感悟1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)>0，這種說(shuō)法是否正確？提示：不正確，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，此處f′(x)＝0，并不是指x在[a，b]內(nèi)處處有f′(x)＝0，可能只在某些具體的點(diǎn)處f′(x)＝0，即f′(x)不恒等于0.2．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的概念：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)_______，右側(cè)_______，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的______f′(x)＜0f′(x)＞0極小值點(diǎn)極小值．函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)_______，右側(cè)_________，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的__________，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的__________極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為_________，極大值和極小值統(tǒng)稱為_______(2)求函數(shù)極值的步驟：①求導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取_______，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取________f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點(diǎn)極大值．極值點(diǎn)極值．極大值極小值．思考感悟2．方程f′(x)＝0的根就是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)是否正確？提示：不正確，方程f′(x)＝0的根未必都是極值點(diǎn)．3．函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在[a，b]上求最大值與最小值的步驟：(1)__________________________

；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是_______，最小的一個(gè)是________求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值最大值最小值．4．生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題應(yīng)注意：(1)在求實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí)，一定要注意考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際問題的值應(yīng)舍去．(2)在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0的情形，那么不與端點(diǎn)值比較，也可知道這就是最大(小)值．(3)在解決實(shí)際優(yōu)化問題時(shí)，不僅要注意將問題中涉及的自變量的函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間．1．函數(shù)f(x)＝x－lnx的單調(diào)區(qū)間是________答案：(0,1)2．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分別是________．答案：5，－15課前熱身3．f(x)＝x3－3x2＋3x的極值點(diǎn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù)是________．答案：04．函數(shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，，則a的取值范圍是是________．答案：(－∞考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突跛考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)判斷斷函數(shù)單調(diào)性性的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間間．例1【思路分析】(1)求f′(x)及f′(2)，(2)求f′(x)，轉(zhuǎn)化為研研究二次函函數(shù)的問題題，對(duì)a分類討論．．【名師點(diǎn)評(píng)】常見的分類類討論原因因有函數(shù)的的類型不確確定及求的的根大小不不確定等，，與求導(dǎo)后后所得的函函數(shù)類型有有關(guān)，討論論的關(guān)鍵是是要理清線線索，做到到不重不漏漏．變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲線y＝f(x)的斜率最小小的切線與與直線12x＋y＝6平行，求：：(1)a的值；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間間．例2【名師師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)變式式訓(xùn)訓(xùn)練練2已知知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若若f(x)在區(qū)區(qū)間間(0,1]上恒恒為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，，則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)a的取取值值范范圍圍為為________．∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在區(qū)區(qū)間間(0,1]上恒恒成成立立，，即即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函函數(shù)數(shù)y＝－－2x2－2x在區(qū)區(qū)間間(0,1]的值值域域?yàn)闉閇－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案案：：a≥0或a≤－4考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)極極(最)值的的步步驟驟(1)確定定函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域；；(2)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)f′(x)；(3)解方方程程f′(x)＝0，求求出出函函數(shù)數(shù)定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的所所有有根根；；(4)列表表檢檢驗(yàn)驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根根x0左右兩側(cè)側(cè)值的符符號(hào)，如如果左正正右負(fù)，，那么f(x)在x0處取極大大值，如如果左負(fù)負(fù)右正，，那么f(x)在x0處取極小小值．例3【思路分析析】先求出函函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)數(shù)f′(x)，再令導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝0，并求出出其根，，然后對(duì)對(duì)a分a>0、a<0兩種情況況，列表表討論f′(x)與f(x)的變化情情況，最最后由f′(x)與f(x)的變化情情況確定定出函數(shù)數(shù)的極值值．【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】本題是三三次函數(shù)數(shù)的極值值點(diǎn)問題題，三次次函數(shù)求求導(dǎo)后，，導(dǎo)函數(shù)數(shù)為二次次函數(shù)，，因而討討論時(shí)可可結(jié)合二二次函數(shù)數(shù)的知識(shí)識(shí)，尤其其是二次次函數(shù)的的圖象來(lái)來(lái)研究．．變式訓(xùn)練練3(2010年高考重重慶卷)已知函數(shù)數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)數(shù)．(1)求f(x)的表達(dá)式式；(2)討論g(x)的單調(diào)性性，并求求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大大值與最最小值．．考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用(1)分析實(shí)實(shí)際問問題中中各變變量之之間的的關(guān)系系，建建立實(shí)實(shí)際問問題的的數(shù)學(xué)學(xué)模型型，寫寫出相相應(yīng)的的函數(shù)數(shù)關(guān)系系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求導(dǎo)數(shù)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判斷使f′(x)(2011年泰州高三三聯(lián)考)甲、乙兩水水池某時(shí)段段的蓄水量量隨時(shí)間變變化而變化化，甲水池池蓄水量(百噸)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系是：：f(t)＝2＋sint，t∈[0,12]，乙水池蓄蓄水量(百噸)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系是：：g(t)＝5－|t－6|，t∈[0,12]．問：何時(shí)時(shí)甲、乙兩兩水池蓄水水量之和達(dá)達(dá)到最大值值？最大值值為多少？？(參考數(shù)據(jù)：：sin6≈≈－0.279)．例4【思路分析】建立甲、乙乙兩水池蓄蓄水量之和和與關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系系，利用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)求解模模型．【解】設(shè)甲、乙兩兩水池蓄水水量之和為為H(t)＝f(t)＋g(t)，當(dāng)t∈[0,6]時(shí)，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(6－t)＝sint＋t＋1，H′(t)＝cost＋1≥0，所以H(t)在t∈[0,6]上單調(diào)遞增增，所以[H(t)]max＝H(6)＝7＋sin6≈≈6.721；當(dāng)t∈(6,12]時(shí)，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(t－6)＝sint－t＋13，H′(t)＝cost－1≤0，所以H(t)在t∈(6,12]上單調(diào)遞減減，所以H(t)＜6.721；故當(dāng)t＝6h時(shí)，甲、乙乙兩水池蓄蓄水量之和和H(t)達(dá)到最大值值，最大值值約為6.721百噸．【名師點(diǎn)評(píng)】實(shí)際應(yīng)用問問題中的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)模型，，主要是利利用導(dǎo)數(shù)求求最值，一一旦在題中中建立了函函數(shù)關(guān)系，，就轉(zhuǎn)化成成了函數(shù)求求導(dǎo)問題，，因而準(zhǔn)確確建立函數(shù)數(shù)關(guān)系是解解題的關(guān)鍵鍵．變式訓(xùn)練4如圖，某地地有三家工工廠，分別別位于矩形形ABCD的兩個(gè)頂頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，AB＝20km，BC＝10km.為了處理理三家工工廠的污污水，現(xiàn)現(xiàn)要在該該矩形區(qū)區(qū)域上(含邊界)，且與A、B等距離的的一點(diǎn)O處，建造造一個(gè)污污水處理理廠，并并鋪設(shè)三三條排污污管道AO、BO、PO.設(shè)排污管管道的總總長(zhǎng)度為為ykm.(1)按下列要求建建立函數(shù)關(guān)系系：(ⅰ)設(shè)∠BAO＝θ(rad),將y表示為(ⅱ)設(shè)PO＝x(km)，將y表示成x的函數(shù)．(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長(zhǎng)度最短．方法技巧1．利用導(dǎo)數(shù)研研究函數(shù)的單單調(diào)性比用函函數(shù)單調(diào)性的的定義要方便便，但應(yīng)注意意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件．．在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)應(yīng)是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區(qū)間間內(nèi)都不恒等等于0，這就是說(shuō)，，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增增減性并不排排斥在區(qū)間內(nèi)內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有有f′(x0)＝0，甚至可以在在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)點(diǎn)處f′(x0)＝0，只要這樣的的點(diǎn)不能充方法感悟因此，在已知知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值值范圍時(shí)，應(yīng)應(yīng)令f′(x2．證明不等式f(x)>g(x)，通常轉(zhuǎn)化為證明F(x)＝f(x)－g(x)>0，也就是證明F(x)min>0，因此可利用導(dǎo)數(shù)求F(x)min.3．函數(shù)的最大大值、最小值值是比較整個(gè)個(gè)定義區(qū)間的的函數(shù)值得出出來(lái)的，函數(shù)數(shù)的極值是比比較極值點(diǎn)附附近的函數(shù)值值得出來(lái)的．．函數(shù)的極值值可以有多有有少，但最值值只有一個(gè)；；極值只能在在區(qū)間內(nèi)取得得，最值則可可以在端點(diǎn)處處取得；有極極值的未必有有最值，有最最值的未必有有極值；極值值可能成為最最值，最值只只要不在端點(diǎn)點(diǎn)必定是極值值．失誤防范1．利用導(dǎo)數(shù)求求解函數(shù)的單單調(diào)區(qū)間時(shí)，，忽視定義域域常造成單調(diào)調(diào)區(qū)間錯(cuò)誤．．2．在已知函數(shù)數(shù)的單調(diào)性求求某些字母的的取值范圍時(shí)時(shí)，常轉(zhuǎn)化為為f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的問題題，此處易忘忘掉對(duì)“＝”的考慮，即問問題考慮不嚴(yán)嚴(yán)謹(jǐn)．3．有關(guān)函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象，在判判斷時(shí)，f′(x)的符號(hào)反映f(x)的單調(diào)性，易易錯(cuò)認(rèn)為f′(x)的圖象的單調(diào)調(diào)趨向就是f(x)的單單調(diào)調(diào)趨趨向向．．本部部分分是是歷歷年年高高考考的的一一個(gè)個(gè)熱熱點(diǎn)點(diǎn)，，主主要要考考查查利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)判考向瞭望·把脈高考考情分析另外外，，利利例規(guī)范解答【名師師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)】導(dǎo)數(shù)數(shù)的的有有關(guān)關(guān)問問題題的的解解法法基基本本上上是是固固定定不不變變的的