第7講 時間序列分析

第7講時間序列分析與灰色系統(tǒng)華中農(nóng)業(yè)大學教材說明

以下內(nèi)容均在《數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）》（汪曉銀，周保平主編，科學出版社）第2章。

7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理7.2平穩(wěn)時間序列分析7.3非平穩(wěn)時間序列分析7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測概率分布的意義隨機變量族的統(tǒng)計特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)決定時間序列概率分布族的定義幾個重要數(shù)字特征：均值、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理特征統(tǒng)計量均值方差自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)時間序列的定義

寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。

滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理常數(shù)均值和方差自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時間的平移長度，而與時間的起止點無關(guān)延遲k自協(xié)方差函數(shù)延遲k自相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)時間序列的意義時間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性可列多個隨機變量，而每個變量只有一個樣本觀察值平穩(wěn)性的重大意義極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對特征統(tǒng)計量的估計精度7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性的檢驗（圖檢驗方法）時序圖檢驗

根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。自相關(guān)圖檢驗平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減向零。7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例1檢驗1964年——1999年中國紗年產(chǎn)量序列的平穩(wěn)性例2檢驗1962年1月——1975年12月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列的平穩(wěn)性例3檢驗1949年——1998年北京市每年最高氣溫序列的平穩(wěn)性平穩(wěn)性檢驗7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理dataa;inputsha@@;year=_n_;dif=dif(sha);cards;97130156.5135.2137.7180.5205.2190188.6196.7180.3210.8196223238.2263.5292.6317335.4327321.9353.5397.8436.8465.7476.7462.6460.8501.8501.5489.5542.3512.2559.8542567;procgplot;plotsha*year=1dif*year=2;symbol1v=circlei=joinc=black;symbol2v=stari=joinc=red;procarimadata=a;identifyvar=shanlag=22;run;7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例1平穩(wěn)性檢驗7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例2自相關(guān)圖7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例3時序圖7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例3自相關(guān)圖7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理純隨機性檢驗純隨機序列的定義純隨機性的性質(zhì)純隨機性檢驗7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理純隨機序列的定義純隨機序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質(zhì)7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理標準正態(tài)白噪聲序列時序圖7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理白噪聲序列的性質(zhì)

純隨機性

各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒有記憶”的序列方差齊性根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確的、有效的線性無偏估計7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理純隨機性檢驗檢驗原理假設(shè)條件檢驗統(tǒng)計量判別原則7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理Barlett定理如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期數(shù)為的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間相互獨立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間有相關(guān)性7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理檢驗統(tǒng)計量Q統(tǒng)計量LB統(tǒng)計量7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理判別原則拒絕原假設(shè)當檢驗統(tǒng)計量大于分位點，或該統(tǒng)計量的P值小于時，則可以以的置信水平拒絕原假設(shè)，認為該序列為非白噪聲序列接受原假設(shè)當檢驗統(tǒng)計量小于分位點，或該統(tǒng)計量的P值大于時，則認為在的置信水平下無法拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為純隨機序列的假定7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理樣本自相關(guān)圖例4

隨機生成的100個服從標準正態(tài)的白噪聲序列純隨機性檢驗7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理檢驗結(jié)果延遲統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平，所以該序列不能拒絕純隨機的原假設(shè)。7.1時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理方法性工具差分運算延遲算子線性差分方程一階差分階差分步差分7.2平穩(wěn)時間序列分析延遲算子延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻記B為延遲算子，有7.2平穩(wěn)時間序列分析延遲算子的性質(zhì)7.2平穩(wěn)時間序列分析AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型7.2平穩(wěn)時間序列分析AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令7.2平穩(wěn)時間序列分析自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為自回歸系數(shù)多項式7.2平穩(wěn)時間序列分析均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出7.2平穩(wěn)時間序列分析AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈負指數(shù)衰減7.2平穩(wěn)時間序列分析例5

考察如下AR模型的自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零7.2平穩(wěn)時間序列分析自相關(guān)系數(shù)正負相間的衰減7.2平穩(wěn)時間序列分析自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性7.2平穩(wěn)時間序列分析自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減7.2平穩(wěn)時間序列分析偏自相關(guān)系數(shù)定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量。用數(shù)學語言描述就是7.2平穩(wěn)時間序列分析偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾7.2平穩(wěn)時間序列分析例5續(xù)考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型7.2平穩(wěn)時間序列分析移動平均系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為階移動平均系數(shù)多項式7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時間序列分析例6

考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時間序列分析MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時間序列分析ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型7.2平穩(wěn)時間序列分析系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為階自回歸系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式7.2平穩(wěn)時間序列分析ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)7.2平穩(wěn)時間序列分析ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時間序列分析例7

考察ARMA模型的相關(guān)性

擬合模型ARMA(1,1):并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。

7.2平穩(wěn)時間序列分析自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析ARMA模型相關(guān)性特征模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾7.2平穩(wěn)時間序列分析平穩(wěn)序列建模建模步驟模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測7.2平穩(wěn)時間序列分析建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關(guān)系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測YN7.2平穩(wěn)時間序列分析計算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)7.2平穩(wěn)時間序列分析模型定階的困難因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會衰減至零值附近作小值波動當或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？7.2平穩(wěn)時間序列分析樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布BarlettQuenouille7.2平穩(wěn)時間序列分析模型定階經(jīng)驗方法95％的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95％的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。7.2平穩(wěn)時間序列分析例8

選擇合適的模型ARMA擬合1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。7.2平穩(wěn)時間序列分析序列偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析擬合模型識別自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標準差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾所以可以考慮擬合模型為AR(1)7.2平穩(wěn)時間序列分析例9

美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列7.2平穩(wěn)時間序列分析序列自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析序列偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析擬合模型識別自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1)7.2平穩(wěn)時間序列分析例101880-1985年全球氣表平均溫度改變值差分序列7.2平穩(wěn)時間序列分析序列自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析序列偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時間序列分析擬合模型識別自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列7.2平穩(wěn)時間序列分析參數(shù)估計待估參數(shù)個未知參數(shù)常用估計方法矩估計極大似然估計最小二乘估計7.2平穩(wěn)時間序列分析例8續(xù)確定1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑7.2平穩(wěn)時間序列分析例9續(xù)確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑7.2平穩(wěn)時間序列分析例10續(xù)確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑7.2平穩(wěn)時間序列分析模型檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡7.2平穩(wěn)時間序列分析模型的顯著性檢驗?zāi)康臋z驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑z驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效.7.2平穩(wěn)時間序列分析假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列7.2平穩(wěn)時間序列分析檢驗統(tǒng)計量LB統(tǒng)計量7.2平穩(wěn)時間序列分析例8續(xù)檢驗1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.83617.2平穩(wěn)時間序列分析參數(shù)顯著性檢驗?zāi)康臋z驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡假設(shè)條件檢驗統(tǒng)計量7.2平穩(wěn)時間序列分析例8續(xù)檢驗1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著參數(shù)檢驗結(jié)果檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值46.12<0.0001顯著6.72<0.0001顯著7.2平穩(wěn)時間序列分析模型優(yōu)化問題提出當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的選擇相對最優(yōu)模型7.2平穩(wěn)時間序列分析AIC準則最小信息量準則（AnInformationCriterion）指導(dǎo)思想似然函數(shù)值越大越好未知參數(shù)的個數(shù)越少越好AIC統(tǒng)計量7.2平穩(wěn)時間序列分析SBC準則AIC準則的缺陷在樣本容量趨于無窮大時，由AIC準則選擇的模型不收斂于真實模型，它通常比真實模型所含的未知參數(shù)個數(shù)要多SBC統(tǒng)計量7.2平穩(wěn)時間序列分析例11

連續(xù)讀取70個某次化學反應(yīng)的過程數(shù)據(jù)，構(gòu)成一時間序列。對該序列進行兩個模型擬合，并用AIC準則和SBC準則評判例兩個擬合模型的相對優(yōu)劣。結(jié)果AR(1)優(yōu)于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556542.2011AR(1)535.7896540.28667.2平穩(wěn)時間序列分析序列預(yù)測線性預(yù)測函數(shù)預(yù)測方差最小原則7.2平穩(wěn)時間序列分析例8續(xù)北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預(yù)測圖7.2平穩(wěn)時間序列分析差分運算差分運算的實質(zhì)差分方式的選擇過差分7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分運算的實質(zhì)差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運算的實質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好地提取周期信息7.3非平穩(wěn)時間序列分析例121964年—1999年中國紗年產(chǎn)量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進行一階差分運算考察差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析例13

嘗試提取1950年—1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分后序列時序圖一階差分二階差分7.3非平穩(wěn)時間序列分析例14

差分運算提取1962年1月—1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分后序列時序圖一階差分1階－12步差分7.3非平穩(wěn)時間序列分析過差分足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費假設(shè)序列如下

考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩(wěn)性與方差7.3非平穩(wěn)時間序列分析比較一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過差分）平穩(wěn)方差大7.3非平穩(wěn)時間序列分析ARIMA模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型建模ARIMA模型預(yù)測疏系數(shù)模型季節(jié)模型7.3非平穩(wěn)時間序列分析ARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場合差分平穩(wěn)序列擬合模型結(jié)構(gòu)7.3非平穩(wěn)時間序列分析ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel7.3非平穩(wěn)時間序列分析ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型7.3非平穩(wěn)時間序列分析例15

對1952年—1988年中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列建模7.3非平穩(wěn)時間序列分析一階差分序列時序圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析一階差分序列自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析一階差分后序列白噪聲檢驗延遲階數(shù)

統(tǒng)計量P值613.330.01781218.330.10601824.660.13447.3非平穩(wěn)時間序列分析擬合ARMA模型偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著7.3非平穩(wěn)時間序列分析ARIMA模型預(yù)測原則最小均方誤差預(yù)測原理Green函數(shù)遞推公式7.3非平穩(wěn)時間序列分析例15續(xù)對中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測7.3非平穩(wěn)時間序列分析疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個獨立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù)或部分移動平滑系數(shù)為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。7.3非平穩(wěn)時間序列分析疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為

為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零移動平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為7.3非平穩(wěn)時間序列分析例16

對1917年－1975年美國23歲婦女每萬人生育率序列建模7.3非平穩(wěn)時間序列分析一階差分7.3非平穩(wěn)時間序列分析自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析建模定階ARIMA((1,4),1,0)參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著7.3非平穩(wěn)時間序列分析季節(jié)模型簡單季節(jié)模型乘積季節(jié)模型7.3非平穩(wěn)時間序列分析簡單季節(jié)模型簡單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間是加法關(guān)系簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下7.3非平穩(wěn)時間序列分析例17

擬合1962—1991年德國工人季度失業(yè)率序列7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分平穩(wěn)對原序列作一階差分消除趨勢，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時序圖如下7.3非平穩(wěn)時間序列分析白噪聲檢驗延遲階數(shù)

統(tǒng)計量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.00017.3非平穩(wěn)時間序列分析差分后序列自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分后序列偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析模型擬合定階ARIMA((1,4),(1,4),0)參數(shù)估計7.3非平穩(wěn)時間序列分析模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù)

統(tǒng)計量P值待估參數(shù)

統(tǒng)計量P值62.090.71913.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.00017.3非平穩(wěn)時間序列分析擬合效果圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析乘積季節(jié)模型使用場合序列的季節(jié)效應(yīng)、長期趨勢效應(yīng)和隨機波動之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下

7.3非平穩(wěn)時間序列分析例18

擬合1948——1981年美國女性月度失業(yè)率序列7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分平穩(wěn)一階、12步差分7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分后序列自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析差分后序列偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析簡單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)

值P值

值P值

值P值614.580.00579.50.023313.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著7.3非平穩(wěn)時間序列分析乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12參數(shù)估計7.3非平穩(wěn)時間序列分析模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù)

統(tǒng)計量P值待估參數(shù)

統(tǒng)計量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001結(jié)果模型顯著參數(shù)均顯著7.3非平穩(wěn)時間序列分析乘積季節(jié)模型擬合效果圖7.3非平穩(wěn)時間序列分析程序說明dif1_4=dif4(dif(x));time=intnx('quarter','1jan1962'd,_n_-1);formattimeyear4.;procarima;identifyvar=x(1,4);estimatep=(14)noint;forecastlead=5id=timeout=out;7.3非平穩(wěn)時間序列分析程序說明nlag=18minicp=(0:5)q=(0:5)plotfactory*year=2forecast*year=3l95*year=4u95*year=4/overlay;identifyvar=x(1,12);estimatep=1q=(1)(12)noint;forecastlead=0id=timeout=out;7.3非平穩(wěn)時間序列分析

以下內(nèi)容在《數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）》（汪曉銀，周保平主編）第9章第3節(jié)灰色系統(tǒng)內(nèi)容說明灰色系統(tǒng)概述生成數(shù)GM(1,1)模型案例分析計算程序7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測

灰色系統(tǒng)是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本”,“貧信息”的不確定性系統(tǒng),它通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)去了解、認識現(xiàn)實世界，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述.

灰色系統(tǒng)模型的特點：對試驗觀測數(shù)據(jù)及其分布沒有特殊的要求和限制，是一種十分簡便的新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測

灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過20年的發(fā)展，已基本建立起一門新興的結(jié)構(gòu)體系，其研究內(nèi)容主要包括：灰色系統(tǒng)建模理論、灰色系統(tǒng)控制理論、灰色關(guān)聯(lián)分析方法、灰色預(yù)測方法、灰色規(guī)劃方法、灰色決策方法等。我們主要介紹灰色GM(1,1)模型預(yù)測。即灰色生成、GM(1,1)模型建模機理、GM(1,1)模型的精度檢驗7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(1)累加生成數(shù)

1-AGO指一次累加生成。記原始序列為一次累加生成序列為其中，7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(2)累減生成數(shù)(IAGO)是累加生成的逆運算。記原始序列為一次累減生成序列其中規(guī)定7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測1.令為GM(1,1)建模序列，為的1-AGO序列，7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測令為的緊鄰均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5則GM(1,1)的灰微分方程模型為7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測記則灰微分方程的最小二乘估計參數(shù)列滿足其中7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測稱為灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。綜上所述，有白化方程的解也稱時間響應(yīng)函數(shù)為7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測2.GM(1,1)灰色微分方程的時間響應(yīng)序列為3.于是有7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測4.還原值上式即為預(yù)測方程。GM(1,1)模型的檢驗分為三個方面：殘差檢驗；關(guān)聯(lián)度檢驗；后驗差檢驗。7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測后驗差檢驗判別參照表C模型精度<0.35優(yōu)<0.5合格<0.65勉強合格>0.65不合格其中殘差序列均方差原序列均方差7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測7.