第11章 材料力學(xué)

第11章壓桿的穩(wěn)定性問題§1

壓桿穩(wěn)定性的基本概念§2兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式§3不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響§4臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

§5壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

§6提高壓桿承載能力的主要途徑1

壓桿穩(wěn)定的基本概念返回第11章壓桿穩(wěn)定2Δ

壓桿從直線平衡構(gòu)形到彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過程，稱為“屈曲”。由于屈曲，壓桿產(chǎn)生側(cè)向位移，稱為屈曲位移。FPFPFP

壓桿穩(wěn)定的基本概念

壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

第11章壓桿穩(wěn)定3FPΔOFPFP>FPcrFPcrF′PFP<FPcrΔFP

分叉點(diǎn)(臨界點(diǎn))FPFPFPFP平衡路徑

壓桿穩(wěn)定的基本概念第11章壓桿穩(wěn)定4分叉點(diǎn)FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑

平衡路徑的分叉點(diǎn)：平衡路徑開始出現(xiàn)分叉的那一點(diǎn)。

分叉載荷（臨界載荷）：分叉點(diǎn)對應(yīng)的載荷，用FPcr表示。

壓桿穩(wěn)定的基本概念第11章壓桿穩(wěn)定5平衡構(gòu)形——壓桿的兩種平衡構(gòu)形

(equilibriumconfiguration)FP<FPcr:

直線平衡構(gòu)形FPFP>FPcr:彎曲平衡構(gòu)形(在擾動作用下)FP

壓桿穩(wěn)定的基本概念

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則

第11章壓桿穩(wěn)定6FP

FP<FPcr:在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

壓桿穩(wěn)定的基本概念第11章壓桿穩(wěn)定7FP

FP>FPcr:在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

壓桿穩(wěn)定的基本概念第11章壓桿穩(wěn)定8壓桿穩(wěn)定的基本概念

當(dāng)壓縮載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，在任意微小的外界擾動下，壓桿都要由直線的平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這一過程稱為屈曲（buckling）或失穩(wěn)（loststability）。對于細(xì)長壓桿，由于屈曲過程中出現(xiàn)平衡路徑的分叉，所以又稱為分叉屈曲（bifurcationbuckling）。

穩(wěn)定的平衡構(gòu)形與不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形之間的分界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)（criticalpoint）。對于細(xì)長壓桿，因?yàn)閺呐R界點(diǎn)開始，平衡路徑出現(xiàn)分叉，故又稱為分叉點(diǎn)。臨界點(diǎn)所對應(yīng)的載荷稱為臨界載荷（criticalload）或分叉載荷（bifurcationload），用FP表示。

第11章壓桿穩(wěn)定9兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式返回第11章壓桿穩(wěn)定10

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

從平衡路徑可以看出，當(dāng)w00時(shí)FPFPcr。這表明，當(dāng)FP無限接近分叉載荷FPcr時(shí)，在直線平衡構(gòu)形附近無窮小的鄰域內(nèi)，存在微彎的平衡構(gòu)形。根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程，以及端部約束條件，即可確定臨界載荷。

分叉點(diǎn)FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑第11章壓桿穩(wěn)定11

假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿穩(wěn)定12M(x)=FPw(x)

假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿穩(wěn)定13微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿穩(wěn)定14微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0根據(jù)線性代數(shù)知識，上述方程中A、B的系數(shù)不全為零的條件是方程組系數(shù)行列式等于零：

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿穩(wěn)定15由此得到臨界載荷最小臨界載荷

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿穩(wěn)定16不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響返回第11章壓桿穩(wěn)定17

不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學(xué)平衡方法得到的平衡微分方程和邊界條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達(dá)式亦因此而異，但基本分析方法和分析過程卻是相同的。對于細(xì)長桿，這些公式可以寫成通用形式：這一表達(dá)式稱為歐拉公式。其中l(wèi)為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度(effectivelength)；為反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長度系數(shù)（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波長度與兩端鉸支壓桿初始屈曲時(shí)的正弦半波長度的比值確定。

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿穩(wěn)定18一端自由，一端固定

＝2.0兩端固定＝0.5一端鉸支，一端固定

＝0.7兩端鉸支

＝1.0

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿穩(wěn)定19

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時(shí)才是成立的。

不同剛性支承對壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿穩(wěn)定20

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

返回第11章壓桿穩(wěn)定21

前面已經(jīng)提到歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在分叉載荷即臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時(shí)，其橫截面上的正應(yīng)力小于或等于材料的比例極限，即

其中σcr稱為臨界應(yīng)力(criticalstress)；

σp為材料的比例極限。

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

臨界應(yīng)力與長細(xì)比的概念

第11章壓桿穩(wěn)定22

長細(xì)比是綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對壓桿分叉載荷影響的量，用表示，由下式確定：

其中，I為壓桿橫截面的慣性半徑，由下式確定：

從上述二式可以看出，長細(xì)比反映了壓桿長度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對壓桿承載能力的綜合影響。

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿穩(wěn)定23用長細(xì)比表示的細(xì)長桿臨界應(yīng)力公式

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿穩(wěn)定24

細(xì)長桿——長細(xì)比大于或等于某個(gè)極限值p時(shí)，壓桿將發(fā)生彈性屈曲。這時(shí)，壓桿在直線平衡構(gòu)形下橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限，這類壓桿稱為細(xì)長桿。

粗短桿——長細(xì)比小于極限值s時(shí)，壓桿不會發(fā)生屈曲，但將會發(fā)生屈服。這類壓桿稱為粗短桿。

長中桿——長細(xì)比小于p，但大于或等于另一個(gè)極限值s時(shí)，壓桿也會發(fā)生屈曲。這時(shí)，壓桿在直線平衡構(gòu)形下橫截面上的正應(yīng)力已經(jīng)超過材料的比例極限，截面上某些部分已進(jìn)入塑性狀態(tài)。這種屈曲稱為非彈性屈曲。這類壓桿稱為中長桿。

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

三類不同壓桿的不同失效形式

第11章壓桿穩(wěn)定25

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖對于細(xì)長桿，臨界應(yīng)力為

三類壓桿的臨界應(yīng)力公式

第11章壓桿穩(wěn)定26

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

對于中長桿，由于發(fā)生了塑性變形，理論計(jì)算比較復(fù)雜，工程中大多采用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力，最常用的是直線公式：

三類壓桿的臨界應(yīng)力公式

其中a和b為與材料有關(guān)的常數(shù)，單位為MPa。

第11章壓桿穩(wěn)定27

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

對于粗短桿，因?yàn)椴话l(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服(韌性材料)，故其臨界應(yīng)力即為材料的屈服應(yīng)力:

三類壓桿的臨界應(yīng)力公式

第11章壓桿穩(wěn)定28

臨界應(yīng)力總圖與P、s值的確定

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

根據(jù)三種壓桿的臨界應(yīng)力表達(dá)式，在坐標(biāo)系中可以作出關(guān)系曲線，稱為臨界應(yīng)力總圖(figuresofcriticalstresses)

（細(xì)長桿）（中長桿）（粗短桿）第11章壓桿穩(wěn)定29例題1

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；

2.已知：d=160mm，E=206GPa,

求：兩根桿的臨界載荷。

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大？

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

第11章壓桿穩(wěn)定30

1.分析兩根壓桿的臨界載荷

從臨界應(yīng)力總圖可以看出，對于材料相同的壓桿，長細(xì)比越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計(jì)算壓桿的長細(xì)比，長細(xì)比小者，臨界載荷大。

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

第11章壓桿穩(wěn)定312.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷

首先計(jì)算長細(xì)比，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿穩(wěn)定32

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。

對于兩端鉸支的壓桿，就有第11章壓桿穩(wěn)定33

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。

對于兩端固定的壓桿，就有第11章壓桿穩(wěn)定34

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

返回第11章壓桿穩(wěn)定35

安全因數(shù)法與穩(wěn)定性安全條件

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

為了保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在設(shè)計(jì)中必須使桿件所承受的實(shí)際壓縮載荷（又稱為工作載荷）小于桿件的臨界載荷，并且具有一定的安全裕度。

壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)一般采用安全因數(shù)法與穩(wěn)定系數(shù)法。本書只介紹安全因數(shù)法。

采用安全因數(shù)法時(shí)，穩(wěn)定性安全條件一般可表示為

nw

nst第11章壓桿穩(wěn)定36安全因數(shù)法nw

nst工作安全因數(shù)臨界應(yīng)力

工作應(yīng)力

nst規(guī)定安全因數(shù)

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿穩(wěn)定37壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

已知：在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為

d＝20mm，二者材料均為Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)ns＝1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st＝1.8。例題2

校核:此結(jié)構(gòu)是否安全？

第11章壓桿穩(wěn)定38

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題。

1.大梁AB的強(qiáng)度校核

大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的彎矩和軸力分別為

第11章壓桿穩(wěn)定39

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為Wz=102cm3=102103mm3；A＝21.5cm2＝21.5102mm2

第11章壓桿穩(wěn)定40

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力第11章壓桿穩(wěn)定41

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

Q235鋼的許用應(yīng)力

max略大于[]，但（max一[]）100％/[]＝0.7％＜5％，在工程上仍認(rèn)為是安全的。

第11章壓桿穩(wěn)定42壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力

因?yàn)槭菆A截面桿,故慣性半徑

第11章壓桿穩(wěn)定43

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，＝1.0，所以

這表明，壓桿CD為細(xì)長桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。第11章壓桿穩(wěn)定44

壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

于是，壓桿的工作安全因數(shù)

第11章壓桿穩(wěn)定這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。

上述兩項(xiàng)計(jì)算結(jié)果表明，整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。

45

為了提高壓桿承載能力，防止屈曲失效，必須綜合考慮桿長、支承性質(zhì)、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。結(jié)論與討論

提高壓桿承載能力的主要途徑

第11章壓桿穩(wěn)定46盡量減小壓桿長度

對于細(xì)長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小壓桿長度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小壓桿長度、提高壓桿承載能力的目的。

圖示的兩種桁架，其中的①、④桿均為壓桿，但是左圖中①、④桿的長度大于右圖中①、④桿的長度。所以，右圖中桁架的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于左圖中的桁架。

結(jié)論與討論第11章壓桿穩(wěn)定47增強(qiáng)支承的剛性

支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)μ值越低，臨界載荷也就越大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將增加數(shù)倍。結(jié)論與討論第11章壓桿穩(wěn)定48合理選擇截面形狀