高等數(shù)學(xué)教案

高等數(shù)學(xué)教案第1次課—高等數(shù)學(xué)（一）課題函數(shù)周次5 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：1、集合與區(qū)間2、函數(shù)概念3、函數(shù)的幾種特性4、反函數(shù)5、復(fù)合函數(shù)?初等函數(shù)教學(xué)目的和要求：1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。2、理解函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的四則運(yùn)算。3、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：1、函數(shù)的概念2、函數(shù)的特性3、復(fù)合函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：1、函數(shù)的概念2、函數(shù)的特性教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程致?as§1函數(shù)一、集合與區(qū)間集合概念集合（簡(jiǎn)稱集）：集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.用AB,等表示.元素：組成集合的事物稱為集合的元素.a是集合M的元素表示為a?M集合的表示：列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來(lái).例如A?{a,b,c,d,e,f,g}.描述法：若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成，則M可表不為A?{ai,a2,???,an},M?{x|x具有性質(zhì)P}.例如M?{（x,y）|x,y為實(shí)數(shù),x2?y2?1}.幾個(gè)數(shù)集：N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，稱為自然數(shù)集.?_N?{0,1,2,?????, n,?????}.N?{1,2,?????, n,?????}.R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實(shí)數(shù)集.Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集.Z?{?????,?n,?????,?2,?1,0,1,2,?????,n,?????}.Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱為有理數(shù)集.子集：若x?A則必有x?B,則稱A是B的子集，記為A?B（讀作A包含于B）或B?A.如果集合A與集合B互為子集，A?B且B?A則稱集合A與集合B相等，記作A?B.若A?B且A?B,則稱A是B的真子集，記作AB.例如，NZQR.不含任何元素的集合稱為空集，記作？.規(guī)定空集是任何集合的子集.集合的運(yùn)算設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集（簡(jiǎn)稱并），記作A?R即A?B?{x|x?A或x?B}.設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集（簡(jiǎn)稱交），記作A?R即A?B?{x|x?A且x?B}.設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差)，記作AB,即AB?{x|x?A且x?B}.如果我們研究某個(gè)問(wèn)題限定在一個(gè)大的集合 I中進(jìn)行，所研究的其他集合A都是I的子集.此時(shí),我們稱集合I為全集或基本集.稱I\A為A的余集或補(bǔ)集，記作A：集合運(yùn)算的法則：設(shè)A、BC為任意三個(gè)集合，則交換律A?B?B?AA?B?B?A;結(jié)合律(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C);分配律(A?B)?C?(A?C)?(B?C),(A?B)?C?(A?C)?(B?C);對(duì)偶律(A?B)C?AC?比(A?B>C?AC?B.(A?B)C?AC?B"的證明：x?(A?B)C?x?A?B?x?A且x?B?x?AC且x?BC?x?AC?比 所以(A?B)c?AC?由直積(笛卡兒乘積)：設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x,在集合B中任意取一個(gè)元素y,組成一個(gè)有序?qū)?x,y),把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略?，它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記為A?B,即A?B?{(x,y)|x?A且y?，例如，R?R?{(x,y)|x?R且y?R}即為xOy面上全體點(diǎn)的集合，R?R常記作R2.區(qū)間和鄰域有限區(qū)間：設(shè)a<b,稱數(shù)集{x[a<x<b}為開(kāi)區(qū)間，記為(a,b),即( a,b)?{x|a<x<b}.類(lèi)似地有[a, b] ?{ x| a?x?b}稱為閉區(qū)間，[a, b) ?{ x| a?x<b}、(a,b]?{x|a<x?b }稱為半開(kāi)區(qū)間.其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端點(diǎn)，b?a稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.無(wú)限區(qū)間：[ a,??)?{x|a?x},(??, b]?{x|x<b},(??,??)?{xIIx|<??}.區(qū)間在數(shù)軸上的表示：鄰域：以點(diǎn)a為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U(a).設(shè)?是一正數(shù)，則稱開(kāi)區(qū)間(a??,a??)為點(diǎn)a的？鄰域，記作4a,?),即U(a,?)?{x|a??<x<a??}?{ x|| x?a|<?}.其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心，？稱為鄰域的半徑.去心鄰域u(a,?):u(a,?)?{x|0<|x?a|<?}二、函數(shù)概念1.函數(shù)概念定義設(shè)數(shù)集D?R則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為y?f(x),x?D其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df,即Df?D.應(yīng)注意的問(wèn)題：記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別的，前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則，而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.但為了敘述方便，習(xí)慣上常用記號(hào)“f(x),x?D'或"y=f(x),x?D'來(lái)表示定義在D上的函數(shù)，這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.函數(shù)符號(hào)：函數(shù)y?f(x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的記號(hào)f也可改用其它字母，例如“F”， “？”等.此時(shí)函數(shù)就記作y??(x),y?F(x).函數(shù)的兩要素：函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，其值域總在R內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對(duì)應(yīng)法則f.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的，否則就是不同的.函數(shù)的定義域：函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來(lái)確定：一種是對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.求定義域舉例：求函數(shù)y1VxF7的定義域.x要使函數(shù)有意義，必須x?0,且x2??4?0.解不等式得|x|?2.所以函數(shù)的定義域?yàn)镈?{x||x|?2},或D?(??,2]?[2,??]).單值函數(shù)與多值函數(shù)：在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)x?D對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)x?D總有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)y不總是唯一的，我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如，設(shè)變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程x2?y2?r2給出.顯然，對(duì)每個(gè)x?[?r,口，由方程x2?y2?r2,可確定出對(duì)應(yīng)的y值，當(dāng)x?r或x??r時(shí)，對(duì)應(yīng)y?0一個(gè)值；當(dāng)xW(?r,r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值.所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù).

對(duì)于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如，在由方程x2?y2?r2給出的對(duì)應(yīng)法則中，附加“y?0”的條件，即以“x2?y2?r2且y?0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到一個(gè)單值分支yyi(x);附加“y?0”的條件，即以“x2?y2?r2且y?0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可得到另一個(gè)單值分支2 2yy2(x),rx.表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法(公式法)，這在中學(xué)里大家已經(jīng)熟悉.其中，用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{ P(x,y)|y?f(x),x?D}稱為函數(shù)y?f(x),x?D的圖形.圖中的Rf表示函數(shù)y?f(x)的值域.函數(shù)的例子：值域?yàn)镽f值域?yàn)镽f?[0,??).稱為絕對(duì)值函數(shù).其定義域?yàn)镈?(??,??),1x0例.函數(shù)ysgnx0x0.1x0稱為符號(hào)函數(shù).其定義域?yàn)镈?(??,??),值域?yàn)镽f?{?1,0,1).例設(shè)x為任上實(shí)數(shù).不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].函數(shù)y?[x]稱為取整函數(shù).其定義域?yàn)镈?(??,??), 值域?yàn)镽f?Z.[5]0,[2]1,[?]?3,[?1]??1,[?3.5]??4.7分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱在自變量的不同變化范圍中對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).例。函數(shù)y這是一個(gè)分段函數(shù)二其定義域?yàn)镈?[0,1]?(0,??)?[0,??).當(dāng)0?x?1時(shí)，y2五；當(dāng)x>1時(shí)，y?1?x.例如f(1)2,1、2;f(1)212；f(3)?1?3?4.三、函數(shù)的幾種特性⑴函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈數(shù)集X?D如果存在數(shù)K1,使對(duì)任一x?X,一個(gè)上界.圖形特點(diǎn)是y?f(x)的圖形在直線y?K的下方.?K,?K,則稱函數(shù),而稱K為函數(shù)X上的如果存在數(shù)K2,使對(duì)任一x?X有f(x)?K2,則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而稱K為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界.圖形特點(diǎn)是，函數(shù)y?f(x)的圖形在直線y?&的上方.如果存在正數(shù)M使對(duì)任一x?X,有|f(x)|?M則稱函數(shù)f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.圖形特點(diǎn)是，函數(shù)y?f(x)的圖形在直線y???M和y?M的之間.函數(shù)f(x)無(wú)界，就是說(shuō)對(duì)任何M總存在Xi?X,使|f(x)|>M例如(1)f(x)?sinx在(?？，??)上是有界的：|sinx|?1.(2)函數(shù)f(x)1在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)上界的.或者說(shuō)它在(0,1)內(nèi)x有下界，無(wú)上界.這是因?yàn)?，?duì)于任一M>1,總有x1：?0為21,使1f(x1) M,x1所以函數(shù)無(wú)上界.函數(shù)f(x)1在(1,2)內(nèi)是有界的.x(2)函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镈區(qū)間I?D如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)>f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).函數(shù)單調(diào)性舉例：函數(shù)y?x2在區(qū)間(??,0］上是單調(diào)增加的，在區(qū)間［0,??)上是單調(diào)減少的，在(？？,??)上不是單調(diào)的.(3)函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若x?D則?x?D).如果對(duì)于任一x?D,有f(?x)?f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).如果對(duì)于任一x?D,有f(?x)??f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇偶函數(shù)舉例：y?x2,y?cosx都是偶函數(shù).y?x3,y?sinx都是奇函數(shù),y?sinx?cosx是非奇非偶函數(shù).(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈如果存在一個(gè)正數(shù)l,使得對(duì)于任一x?D有(x?l)?D且f(x?l)?f(x)則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)：在函數(shù)的定義域內(nèi)，每個(gè)長(zhǎng)度為l的區(qū)間上，函數(shù)的圖形有相同的形狀.四、反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f:D?f(D)是單射，則它存在逆映射f?1:f(D)?D稱此映射f?1為函數(shù)f的反函數(shù).按此定義，對(duì)每個(gè)y?f(D),有唯一的x?D,使得f(x)?y,于是有f?1(y)?x.這就是說(shuō)，反函數(shù)f?1的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則所確定的.一般地，y?f(x),x?D的反函數(shù)記成y?f?1(x),x?f(D).若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù)，則f:D?f(D)是單射，于是f的反函數(shù)f?1必定存在，而且容易證明f?1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).相對(duì)于反函數(shù)y?f?1(x)來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù)y?f(x)稱為直接函數(shù).把函數(shù)y?f(x)和它的反函數(shù)y?f?1(x)的圖形畫(huà)在同一坐標(biāo)平面上，這兩個(gè)圖形關(guān)于直線y?x是對(duì)稱的.這是因?yàn)槿绻鸓(a,b)是y?f(x)圖形上的點(diǎn)，則有b?f(a).按反函數(shù)的定義，有a?f ?1(b),故Q(b, a)是y?f ?1(x)圖形上的點(diǎn)；反之，若Qb,a)是y?f?1(x)圖形上的點(diǎn)，則P(a,b)是y?f(x)圖形上的點(diǎn).而Ra,b)與Qb,a)是關(guān)于直線y?x對(duì)稱的.五、復(fù)合函數(shù)?初等函數(shù).復(fù)合函數(shù)：復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例，按照通常函數(shù)的記號(hào)，復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述.設(shè)函數(shù)y?f(u)的定義域?yàn)镈i,函數(shù)u?g(x)在D上有定義且g(D?Di,則由下式確定的函數(shù)y?f[g(x)], x?D稱為由函數(shù)u?g(x)和函數(shù)y?f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)镈變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為fg,即(fg)?f[g(x)].與復(fù)合映射一樣，g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)fg的條件是：是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi)，即g(D)?Df.否則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如，y?f(u)?arcsin u,的定義域?yàn)閇?1, 1],ug(x)2J1x2在D[1,金哼,1]上有定義，且g(D)?[?1,1],則g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)yarcsin2,1x2,X?D2但函數(shù)y?arcsinu和函數(shù)u?2?x不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，這是因?yàn)閷?duì)任x?Ru?2?x2均不在y?arcsinu的定義域[?1,1]內(nèi).多個(gè)函數(shù)的復(fù)合：.基本初等函數(shù)：哥函數(shù)：y?x?(??R是常數(shù));指數(shù)函數(shù)：y?ax(a?0且a?1);對(duì)數(shù)函數(shù)：y?logax(a?0且a?1,特別當(dāng)a?e時(shí)，記為y?lnx);三角函數(shù)：y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx,y?secx,y?cscx;反三角函數(shù)：y?arcsinx,y?arccosx,y?arctanx,y?arccotx.課后作業(yè)(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)第18頁(yè)第15題課后小結(jié)(課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。)注：從第二頁(yè)開(kāi)始以課時(shí)或單元為單位編制，每節(jié)課或每個(gè)單元都要有教案。第2次課學(xué)科

課題函數(shù)的極限周次5時(shí)數(shù)2授課班級(jí)1202114主要教學(xué)內(nèi)容：1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限2、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的函數(shù)的極限教學(xué)目的和要求：1、會(huì)計(jì)算自變量趨于有限值時(shí)和自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限教學(xué)重點(diǎn)：1、極限的概念、極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。教學(xué)難點(diǎn)：1、 極限的概念教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程§3函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義？如果當(dāng)x無(wú)限接近于xo?函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于常數(shù)A?則稱當(dāng)x趨于x0lim時(shí)？f(x)以A為極限？記作xxof(x)?A或f(x)?A(當(dāng)x?x0)?定義的簡(jiǎn)單表述？limf(x)Axx0 ????0????0?當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)？|f(x)?A|???.單側(cè)極限？若當(dāng)x?x0?時(shí)？f(x)無(wú)限接1x近于某常數(shù) A?1x則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0時(shí)的左極限？記limf(x)A為xx0 .一或*x0?)=A?若當(dāng)x?x0?時(shí)？f(x)無(wú)限接y?x?近于某常數(shù) A?則常數(shù)A叫做函學(xué)科學(xué)科數(shù)f(x)當(dāng)x?x0時(shí)的右極限？記為limf(x)A或*x0?)=A?xxo3.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義？如果存在常數(shù) A?對(duì)于任意給定的正數(shù)？?？總存在著正數(shù)X?使得當(dāng)x滿足不等式岡＞X時(shí)？對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)?A|<??則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x??時(shí)的極限？記為limf(x)Ax 或f(x)?A(x??)?TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"limf(x)A t.x ????0??X?0?當(dāng)|x|?X時(shí)？有|f(x)?A]???類(lèi)似地可定義limf(x)A十limf(x)A

x'，和x'， ?人limf(x)Alimf(x)Alimf(x)A結(jié)論？x ?x 且x ?課后作業(yè)(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)第36頁(yè)第2、5題課后小結(jié)(課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。)第3次課課題無(wú)窮大與尢窮小周次7 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：無(wú)窮大無(wú)窮小教學(xué)目的和要求：理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮小及無(wú)窮小的比較。教學(xué)難點(diǎn)：無(wú)窮大與無(wú)窮小教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程教 學(xué) 過(guò) 程§4無(wú)窮大與無(wú)窮小?無(wú)窮大與無(wú)窮小.無(wú)窮小定義:如果函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)的極限為零？那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)的無(wú)窮?。刻貏e地？以零為極限的數(shù)列｛xn｝稱為n??時(shí)的無(wú)窮小？例如？1 1lim-0 一因?yàn)閤x?所以函數(shù)x為當(dāng)x??時(shí)的無(wú)窮小？因?yàn)閤mi(x1)0?所以函數(shù)為x?1當(dāng)x?1時(shí)的無(wú)窮??？lim—0 —因?yàn)閚n1 ?所以數(shù)列｛n1｝為當(dāng)n??時(shí)的無(wú)窮??？討論？很小很小的數(shù)是否是無(wú)窮??？ 0是否為無(wú)窮小？提示？無(wú)窮小是這樣的函數(shù)？在x?x0(或x??)的過(guò)程中？極限為零？很小很小的數(shù)只要它不是零？作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過(guò)程中？其極限就是這個(gè)常數(shù)本身？不會(huì)為零？無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系？定理1 在自變量的同一變化過(guò)程x?x0(或x??)中？函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)?A???其中？是無(wú)窮??？limf(x)A證明？設(shè)x% ????0?????0?使當(dāng)0?|x?x0|???時(shí)？有|f(x)?A|???令？?f(x)?A?則？是x?x0時(shí)的無(wú)窮小？且

f(x)?A???這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無(wú)窮?。恐?？反之？設(shè)f(x)?A???其中A是常數(shù)？？是x?x0時(shí)的無(wú)窮小？于是|f(x)?A|?|?|?因？是x?x0時(shí)的無(wú)窮?。?？？？0?????0?使當(dāng)0?|x?x0|????有|?|??或|f(x)?A]???這就證明了A是f(x)當(dāng)？x?x0時(shí)的極限？簡(jiǎn)要證明？令？?f(x)?A?則|f(x)?A|?|?|?如果？？？0?????0? 使當(dāng)0?|x?x0|????有f(x)?A|?????就有|?|???反之如果？？？0?????0? 使當(dāng)0?|x?x0|????有|?|??????就有f(x)?A]???這就證明了如果A是f(x)當(dāng)？x?x0時(shí)的極限？則？是x?x0時(shí)的無(wú)窮??？如果？是x?x0時(shí)的無(wú)窮?。縿tA是f(x)當(dāng)？x?x0時(shí)的極限？類(lèi)似地可證明x??時(shí)的情形？x31 1 lim1 0 lim1x31例如？因?yàn)?x3 2 2x3 ?而x 2x3 ?所以x 2x3 2?定理2有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.無(wú)窮大定義：如果當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)？對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大？就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)的無(wú)窮大？記為...limf(x)(或x )?應(yīng)注意的問(wèn)題？當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)為無(wú)窮大的函數(shù)f(x)?按函數(shù)極限定義來(lái)說(shuō)？極限是不存在的？但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài) ？我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”？并記作limf(x)xxlimf(x)xxo(或嚴(yán)叫))?定理2(無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系廣在自變量的同一變化過(guò)程中？如果f(x)為無(wú)窮大？則f(x)為無(wú)窮?。糠粗?？如果f(x)為無(wú)窮小？且f(x)?0?則f(x)為無(wú)窮大？簡(jiǎn)要證明？. 1limf(x)0 v如果xx0 ?且f(x)?0? 那么對(duì)于 M?????0?當(dāng)0?|x?x01???時(shí)？如果士|f(x)l士|f(x)l有M?由于當(dāng)0?|x?x01???時(shí)？f(x)?0?從而1| 1M|f(x)| ?所以f(x)為x?x0時(shí)的無(wú)窮大？limf(x)如果xx0■ 1|f(x)|M有M1?那么對(duì)于 ？？???0?當(dāng)0?|x?x|???時(shí)？1?即1f(x)|?所以為x?x時(shí)的無(wú)窮??？學(xué)科學(xué)科簡(jiǎn)要證明？如果f(x)?0(x?x0)且f(x)?0?則？？？0?????0?當(dāng)0?|x?x0]???時(shí)？有|f(x)|???即？所以f(x)??(x?x0)?如果f(x)??(x?x0)? WJ?M?0?????0*0?|x?x0]???時(shí)？有|f(x)|?M?即？所以f(x)?0(x?x0)?課后作業(yè)（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）第43頁(yè)第2題課后小結(jié)（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第4次課課題函數(shù)運(yùn)算法則周次7 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：極限運(yùn)算法則教學(xué)目的和要求：掌握極限運(yùn)算法則。教學(xué)重點(diǎn)：極限運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程教 學(xué) 過(guò) 程§5極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則定理1如果limf(x)?A?limg(x)?B? 那么lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B?limf(x)?g(x)?limf(x)?limg(x)?A?B?..f(x)limf(x)Alimg(x)limg(x)B(B?0)?證明(1)?因?yàn)閘imf(x)?A?limg(x)?B? 根據(jù)極限匕無(wú)窮小的關(guān)系？有f(x)?A???g(x)?B???其中？及？為無(wú)窮小？于是f(x)?g(x)?(A???)?(B???)??(A?B)??(????)?即f(x)?g(x) 可表示為常數(shù)(A?B)與無(wú)窮小(????)之和？因此lim[f(x)?g(x)]??limf(x)?limg(x)??A?B?定理2如果？(x)??(x)? 而lim?(x)?a?lim?(x)?b? 那么a?b?推論1如果limf(x)存在？川c為常數(shù)？則lim[cf(x)]?climf(x)?推論2如果limf(x)存在？而n是正整數(shù)？則lim[f(x)]n?[limf(x)]n?.c limx3例3?求x3x29?lim1 1..x3 .. x3 .. 1 x'lim_ lim lim lim(x3)6解？x3x29x3(x3)(x3)x3x3如(x3)6?

例4?求lim_例4?求lim_2x3lim解？x1ix25x4?x25x4125142x3 213lim22x-3—根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得X1x25x4???.求

解？limx3x.求

解？limx3x34x227x35x23?.求

解？先用x3去除分子及分母？然后取極限？lim3x22x1x2x3x25?先用x3去除分子及分母？然后取極限？lim3x22lim3x22x1x2x3x25limx3 2 1x x2 x3 002 1 5 22 — —3xx3rclim7?求x2x3x2rclim7?求x2x3x253x22x1lim解？因?yàn)閤limx2x33x22x12x3x25x250?所以3x22x18?求

8?求

解？應(yīng)用？sinx因?yàn)閤lim皿所以xx..sinxlim—xx當(dāng)x??時(shí)？分子及分母的極限都不存在？故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能1.sinxx?是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積？課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）

第50頁(yè)第2題

課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第5次課—高等數(shù)學(xué)（一）課題極限存在準(zhǔn)則?兩個(gè)重要極限周次8 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：火逼準(zhǔn)則單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則教學(xué)目的和要求：了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。教學(xué)重點(diǎn)：兩個(gè)重要極限教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程§6極限存在準(zhǔn)則?兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則?兩個(gè)重要極限.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則I如果數(shù)列｛xn｝、｛yn｝及｛zn｝滿足下列條件？(1)yn?xn?zn(n?1?2?3????)?limynalimzna2)n?n?limXna那么數(shù)列｛xn｝的極限存在？且n?證明？因?yàn)閘imyna?limzna?以根據(jù)數(shù)列極限的定義？???0??Ni?0?當(dāng)n?Nin n時(shí)？有|yn?a|???又？M?0?當(dāng)n?N2時(shí)？有|zn?a]???現(xiàn)取N?max｛Ni?N｝?則當(dāng)n?N時(shí)?|yn?a|???|zn?a|???同時(shí)成立？即a???yn?a???a???zn?a???同時(shí)成立？又因yn?xn?zn?所以當(dāng)n?N時(shí)？有a???yn?xn?zn?a???即 | xn?a|???limxna這就證明了nn?簡(jiǎn)要證明？由條件(2)????0??N?0?當(dāng)n?N時(shí)，有|yn?a|??及|zn?a|???即有a ???yn?a???a???zn?a???由條件(1)?有a???yn?xn?zn?a???即|xn?a|???這就證明了limxna?n準(zhǔn)則I?如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件?⑴g(x)?f(x)?h(x)?(2)limg(x)?A?limh(x)?A?那么limf(x)存在？且limf(x)?A?第一重要極限：

sinx證明首先注意到？函數(shù)x對(duì)于一切x?0都有定義？參看附圖？圖中的圓為單位圓？BC?OADA?OA?0心?A?AOB?x(0?x?三)？顯然sinx?CB?x?AB?tanx?AD?因S?AOB?嗣形AOB?S?AOD?所以2sinx?2x?2tanx?即 sinx?x?tanx?不等號(hào)各邊都除以sinx?就有1x1

sinxcosx?cosxsinx1..sinx.lim 1x0..sinx.lim 1x0x、 … - limcosx1注意此不等式當(dāng)？2?x?0時(shí)也成立？而X0 ?根據(jù)準(zhǔn)則I??x—x—2)?簡(jiǎn)要證明？參看附圖？設(shè)圓心角?AOB?x（顯然BC?AB?AD?因止匕sinx?x?tanx?cosxsinx1從而x（此不等式當(dāng)x?0時(shí)也成立）?,limcosx1 ,, 、 limsinx1因?yàn)閤0 ?根據(jù)準(zhǔn)則I??x0x?應(yīng)注意的問(wèn)題？sin(x)lim 在極限(x)中？只要?(x)是無(wú)窮??？就有l(wèi)imsin(x)1(x) ?limsin(x)lim-sinu1這是因?yàn)?？令u??(x)?則u?0?于是(x)u0u?limsinx1limsin/x)1x0x? (x) (?(x)?0)?2.單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限？如果數(shù)列｛xn｝滿足條件x1?x2?x3?????xn?xn?1?????就稱數(shù)列｛xn｝是單調(diào)增加的？如果數(shù)列｛xn｝滿足條件x1?x2?x3?????xn?xn?1?????就稱數(shù)列｛xn｝是單調(diào)減少的？單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列？如果數(shù)列｛xn｝滿足條件xn?xn?1?n?N??在第三節(jié)中曾證明？收斂的數(shù)列一定有界？但那時(shí)也曾指出？有界的數(shù)列不一定收斂？現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明？如果數(shù)列不僅有界？并且是單調(diào)的？那么這數(shù)列的極限必定存在？也就是這數(shù)列一定收斂？準(zhǔn)則II的幾何解釋?zhuān)?/p>

單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)?或者無(wú)限向右移動(dòng)？或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A?而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生？1?lim(1_)n根據(jù)準(zhǔn)則II?可以證明極限nn存在？1、n設(shè)xn(n)?現(xiàn)證明數(shù)列｛xn｝是單調(diào)有界的？按牛頓二項(xiàng)公式？有TOC\o"1-5"\h\z1 1 2n11 2n1)(1n1) (1nn1)1

(1

(n1)!'比較1 2n1)(1n1) (1nn1)1

(1

(n1)!'比較xn?xn?1應(yīng)項(xiàng)？并且xn?1xn?xn?1?的展開(kāi)式？可以看出除前兩項(xiàng)外？xn的每一項(xiàng)都小于xn?1的對(duì)還多了最后一項(xiàng)？具值大于0?因此這就是說(shuō)數(shù)列｛xn｝是單調(diào)有界的？這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的？因?yàn)閤n的展開(kāi)式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù) 1代替？得第二重要極限:即替？得第二重要極限:即根據(jù)準(zhǔn)則II?數(shù)列｛xn｝必有極限？這個(gè)極限我們用e來(lái)表示？lim(11)我們還可以證明lim(11)xx我們還可以證明lim(11)xx指數(shù)函數(shù)y?ex以及對(duì)數(shù)函數(shù)1e?e是個(gè)無(wú)理數(shù)？它的值是e?2?????y?lnx中的底e就是這個(gè)常數(shù)？在極限lim[1(x)]與中？只要？(x)是無(wú)窮??？就有1lim[1 (x)](x)e?u這是因?yàn)?？?-xim(1x)u這是因?yàn)?？?-xim(1x)xe?lim[11(x)?則u???于是1im[1 (x)]1(x)1

lim(11)ueuulim(1例3?求x解？令t??x?lim(11)xxx(x)](x)e(?(x)?0)?1、xx)?則x??時(shí)？t???于是1 1llim—1-1lim(11)tt(11)tett tTOC\o"1-5"\h\z1 1 , 1 , ,、lim(11)x lim(1 1 )x( 1)[lim(1 1 )x]1 e1或xxxx xx課后作業(yè)

(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)

第60頁(yè)第1題

課后小結(jié)（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第6次課—高等數(shù)學(xué)（一）課題無(wú)窮小的比較周次8 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：無(wú)窮小的比較教學(xué)目的和要求：掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。教學(xué)重點(diǎn)：用等價(jià)無(wú)窮小求極限教學(xué)難點(diǎn)：用等價(jià)無(wú)窮小求極限教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程無(wú)窮小的比較1.定義:(Dlim—如果是比lim一如果是比lim如果limk如果lim一如果例1.證明：當(dāng)x無(wú)窮小的比較高階的無(wú)窮小，記作低階的無(wú)窮小,0，就說(shuō)是比同階的無(wú)窮小,0,k就說(shuō)0時(shí),()?0無(wú)窮小的比較1.定義:(Dlim—如果是比lim一如果是比lim如果limk如果lim一如果例1.證明：當(dāng)x無(wú)窮小的比較高階的無(wú)窮小，記作低階的無(wú)窮小,0，就說(shuō)是比同階的無(wú)窮小,0,k就說(shuō)0時(shí),()?0，就說(shuō)是關(guān)于的k階的無(wú)窮小,與是等價(jià)的無(wú)窮小，記作n/1~x~—xn定理1與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為例2.因?yàn)楫?dāng)x1cosxx12-x20時(shí),

時(shí)有

(x2)1sinx~xtanx~xarcsinx~x

sinxx(x)tanxx(x)12cosx—x2arcsinxx(x)定理2設(shè)~lim—,且存在，則sinxlim 例4求x0x33x1(1x2r1cosx1tan2xlim例3求x0tan3x課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）

第72頁(yè)第2題課后小結(jié)（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第7次課—高等數(shù)學(xué)（一）課題函數(shù)的連續(xù)性周次9 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的間斷點(diǎn)初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的和要求：理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性。教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程致?as§8函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.變量的增量？設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2?終值與初值的差u2?u1就叫做變量u的增量？記作？u?即？u?u2?u1?設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的？當(dāng)自變量x在這鄰域內(nèi)從x0變到x0??x時(shí)？函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0??x)?因此函數(shù)y的對(duì)應(yīng)增量為?y?f(x0??x)?f(x0)?2.函數(shù)連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義？如果當(dāng)自變量的增量?x?x?x0趨于零時(shí)？對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量？y?f(x0??x)?f(x0) 也趨于零？即limny0limf(x)f(x0)x0 ?或*x0 ?那么就稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)？、,小limnylimjf%x)f(%)]0汪？①x0x0②設(shè)x?x0+?x?則當(dāng)？x?0時(shí)？x?x0?因此limy0lim[f(x)f(%)]0limf(x)f%)x0j?xx) ?xx0 ?函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義2?設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義？如果對(duì)于任意給定義的正數(shù)？？總存在著正數(shù)？？使得對(duì)于適合不等式|x?x0|<?的一切x?對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)?f(x0)|<??那么就稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)？.左右連續(xù)性？limf(x)f(x0)如果xx0 ?則稱y?f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)？limf(x)f(x0)如果xx0 ?則稱y?f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)？左右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系？函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)？函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)？函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性？在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)？叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)？或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)？如果區(qū)間包括端點(diǎn)？那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)？在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)？.連續(xù)函數(shù)舉例？1?如果f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)？則函數(shù)f(x)在區(qū)間(??？??)內(nèi)是連續(xù)的？這是因?yàn)椋縡(x)在(?????)內(nèi)任意一點(diǎn)x0處有定義？且limP(x)P(x0)xx0 ?2?函數(shù)f(x)以在區(qū)間[0???)內(nèi)是連續(xù)的？3?函數(shù)y?sinx在區(qū)間(??？？?)內(nèi)是連續(xù)的？證明？設(shè)x為區(qū)間(??？？?)內(nèi)任意一點(diǎn)？則有TOC\o"1-5"\h\zx x2sin—cos(x—)?y?sin(x??x)?sinx 2 2?.., 一、，..一……一 limy0 一..因?yàn)楫?dāng)？x?0時(shí)？???y是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積？??所以x0 ???這就證明了函數(shù)y?sinx在區(qū)間(??？??)內(nèi)任意一點(diǎn)x都是連續(xù)的.4?函數(shù)y?cosx在區(qū)間(??？??)內(nèi)是連續(xù)的？函數(shù)的間斷點(diǎn).間斷定義？設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義？在此前提下？如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一？在x0沒(méi)有定義？lim雖然在x0有定義？但x~f(x)不存在？TOC\o"1-5"\h\zlim lim雖然在x0有定義且xx0f(x)存在？但xxf(x)?f(x0)?則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0為不連續(xù)？而點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)？x— x—例1?正切函數(shù)y?tanx在2處沒(méi)有定義？所以點(diǎn)2是函數(shù)tanx的問(wèn)斷點(diǎn)？limtanxx x因?yàn)閤2 ?故稱2為函數(shù)tanx的無(wú)窮間斷點(diǎn)？.1 .1ysin sin—例2?函數(shù)x在點(diǎn)x?0沒(méi)有定義？所以點(diǎn)x?0是函數(shù)x的間斷點(diǎn)？sin—當(dāng)x?0時(shí)？函數(shù)值在?1與？1之間變動(dòng)無(wú)限多次？所以點(diǎn)x?0稱為函數(shù)x的振蕩問(wèn)斷點(diǎn)？y/21例3?函數(shù)x1在x?1沒(méi)有定義？所以點(diǎn)x?1是函數(shù)的間斷點(diǎn)？TOC\o"1-5"\h\zlimx1lim(x1)2 ,一、人 * ,因?yàn)閤1x1x1 ?如果補(bǔ)充定義？令x?1時(shí)y?2?則所給函數(shù)在x?1成為連續(xù)？所以x?1稱為該函數(shù)的可去問(wèn)斷點(diǎn)？x x1yf(x)1 x1例4?設(shè)函數(shù) 2 ?,limf(x)limx1f(1)—limf(x)f(1) 一，，、,一因?yàn)閤1x1 ? 2?x1 ?所以x?1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)？如果改變函數(shù)f(x)在x?1處的定義？令f(1)?1?則函數(shù)f(x)在x?1成為連續(xù)？所以x?1也稱為該函數(shù)白^可去間斷點(diǎn)？x1f(x)0例5?設(shè)函數(shù)x1TOC\o"1-5"\h\zlimf(x)lim(x1) 1因?yàn)閤0 —x0\ /limf(x)lim(x1)1x0 x0 Ox叫f(x)如f(x)?所以極限xi"f(X)不存在？x?0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)？因函數(shù)f(x)的圖形在x?0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象？我們稱x?0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)？2.間斷點(diǎn)的分類(lèi)：通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)？如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)？但左極限f(x0?0)及右極限f(x0?0)都存在？那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)？不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)？稱為第二類(lèi)間斷點(diǎn)？在第一類(lèi)間斷點(diǎn)中？左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)？不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)？無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn) ？初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性定理1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)？則函數(shù)f(x)f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? g(x)(當(dāng)g(xo)0時(shí))在點(diǎn)x0也連續(xù)？f(x)?g(x) 連續(xù)性的證明？因?yàn)閒(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)？所以它們?cè)邳c(diǎn)x0有定義？從而f(x)?g(x)在點(diǎn)x0也有定義？再由連續(xù)性和極限運(yùn)算法則？有l(wèi)im［f(x)g(x)］limf(x)limg(x)f(/)g(x))xx0 xx0 xM ?根據(jù)連續(xù)性的定義？f(x)?g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)？例1?sinx和cosx都在區(qū)間(??？??)內(nèi)連續(xù)？故由定理3知tanx和cotx在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的？三角函數(shù)sinx?cosx?secx?cscx?tanx?cotx 在具有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的？二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)？那么它的反函數(shù)x?f?1(y)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy?{y|y?f(x)?x?Ix} 上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)？證明(略)?例2?由于y?sinx在區(qū)間［5,5］上單調(diào)增加且連續(xù) ？所以它的反函數(shù)y?arcsinx 在區(qū)間［?1?1］上也是單調(diào)增加且連續(xù)的？同樣？y?arccosx在區(qū)間［?1?1］上也是單調(diào)減少且連續(xù)？y?arctanx在區(qū)間(?????)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)？y?arccotx在區(qū)間(??？??)內(nèi)單調(diào)減少且連續(xù)？總之？反三角函數(shù)arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的？定理3設(shè)函數(shù)y?f［g(x)］由函數(shù)y?f(u)與函數(shù)u?g(x)復(fù)合而成？U(丫)D limgx)U0U(x0)Dfg?若xx。 ?而函數(shù)y?f(u)在U0連續(xù)？則limf［gx)］limf(u)f(u0)xx° uU0 9

簡(jiǎn)要證明要證？？？0????0?當(dāng)0?|x?x0]??時(shí)？有|f[g(x)]?f(u0)|???因?yàn)閒(u)在u0連續(xù)？所以？？?0????0?當(dāng)|u?u0|??時(shí)？有|f(u)?f(u0)|???又g(x)?u0(x?x0)?所以對(duì)上述??0????0?當(dāng)0?|x?x0]??時(shí)？有|g(x)?u0|???從而|f[g(x)]?f(u0)|???(2) 定理的結(jié)論也可寫(xiě)成xx0函數(shù)符號(hào)f與極限號(hào)可以交換次序(2) 定理的結(jié)論也可寫(xiě)成xx0函數(shù)符號(hào)f與極限號(hào)可以交換次序?xx0 ?求復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的極限時(shí)？limf[u(x)]limf(u)xxouUo表明？在定理3的條件下？如果作代換u?g(x)?那么求limf[g(x)] limf(u) u0limg(x)xx0 就轉(zhuǎn)化為求uu0 ?這里xx0 ?把定理5中的x?x0換成x???可得類(lèi)似的定理？例3?例3?求x、x29?lim解？lim解？x3提示？4?x3\x2x3\x29x3

x29是由V1而與u6?函數(shù)y"ux3x2""9復(fù)合而成的？1u八在點(diǎn)6連續(xù)？?g(x0)定理4設(shè)函數(shù)y?f[g(x)]由函數(shù)y?f(u)與函數(shù)u?g(x)復(fù)合而成？U(x0)?Dfog?若函數(shù)u?g(x)在點(diǎn)xo連續(xù)？函數(shù)y?f(u)在點(diǎn)u0?g(x0)連續(xù)？則復(fù)合函數(shù)y?f[?(x)]在點(diǎn)x0也連續(xù)？lim證明？因?yàn)椋?x)在點(diǎn)x0連續(xù)？所以xx0?(x)??(x0)?u0?lim又y?f(u)在點(diǎn)u?u0連續(xù)？所以xx。f[?(x)]?f(u0)?f[?(x0)]?這就證明了復(fù)合函數(shù)f[?(x)]在點(diǎn)x0連續(xù)？1ysin一例4?討論函數(shù)x的連續(xù)性？cj 1ysin u,解？函數(shù)x是由y?sinU及 x復(fù)合而成的？sinu1xsinu1x當(dāng)？?<u<??寸是連續(xù)的？當(dāng)？?<x<0和0<x<??時(shí)是連續(xù)的？sin1根據(jù)定理4?函數(shù) x在無(wú)限區(qū)間(???0)和(0???)內(nèi)是連續(xù)的？2、初等函數(shù)的連續(xù)性在基本初等函數(shù)中？我們已經(jīng)證明了三角函數(shù)及反三角函數(shù)的它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的？我們指出？指數(shù)函數(shù)ax(a>0?a?1)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都有定義？且在區(qū)間(?????)內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的？它的值域?yàn)?0???)?由定理4?對(duì)數(shù)函數(shù)logax(a>0?a?1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0???)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)？

事函數(shù)y?x?的定義域隨？的值而異？但無(wú)論？為何值？在區(qū)間(0???)內(nèi)N函數(shù)總是有定義的？可以證明？在區(qū)間(0???)內(nèi)幕函數(shù)是連續(xù)的？事實(shí)上？設(shè)x>0?則y?x??alogax?因此？幕函數(shù)x?可看作是由y?au?u??logax復(fù)合而成的？由此？根據(jù)定理6?它在(0???)內(nèi)是連續(xù)的？如果對(duì)于？取各種不同值加以分別討論？可以證明幕函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的？結(jié)論？基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的 ？最后？根據(jù)初等函數(shù)的定義？由基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及本節(jié)有關(guān)定理可得下列重要結(jié)論？一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 ？所謂定義區(qū)間？就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間？初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 ？如果f(x)是初等函數(shù)？且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)？lim則xx0f(x)?f(x0)?例5例5?求lim、1x2x0解？初等函數(shù)f(x)?Q2在點(diǎn)％0是有定義的？lim1x2 11所以x0 ?limlnsinx例6?求x2解？初等函數(shù)f(x)?lnsinx解？初等函數(shù)f(x)?lnsinxx?！邳c(diǎn)2是有定義的？limInsinxlnsin—0所以lim二1例7?求x0x21xlim解？x01x2lim二1例7?求x0x21xlim解？x01x21

xxm0(Jx21)(.1 x2 1)x(1x21)lim—x0，1xx21例8?求limx0lOga(1x)解？kgax1 x)1州0lOga(1初logae1lna?xlima例9?求x0x解？令ax?1?t?貝Ux?loga(1?t)?x?0時(shí)t?0?于是limax1lim t lnax0x?t0loga(1t)?課后作業(yè)(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第8次課—高等數(shù)學(xué)（一）課題導(dǎo)數(shù)概念周次10 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：.導(dǎo)數(shù)的定義.求倒數(shù)舉例.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系教學(xué)目的和要求：.?了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，能描述導(dǎo)數(shù)的概念掌握表達(dá)形式，會(huì)用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；？.?了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和法線方程； ？3.?了角阿導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：.?導(dǎo)數(shù)的概念；？.?導(dǎo)數(shù)的幾何意義；？.?函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：.?導(dǎo)數(shù)的概念；？.?函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程§1導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)概念.引例直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng)？時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為s?s是t的函數(shù)？S=f(t)?求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度？考慮比值sS)f(t)f(to)??tto tto這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t=to內(nèi)的平均速度？如果時(shí)間問(wèn)隔選較短？這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度？但這樣做是不精確的？更確地應(yīng)當(dāng)這樣？令t=to?0?取比值f(t)f(to)的極限？如果這個(gè)極限存在？設(shè)為v?即tto..f(t)f(to)9vlim -?ttotto這時(shí)就把這個(gè)極限值v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度？.切線問(wèn)題設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M?在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N?作割線MN?當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)？如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT?直線MT就稱為曲線C有點(diǎn)M處的切線？設(shè)曲線C就是函數(shù)y?f(x)的圖形？現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn)M(xo,yo)(yo?f(x。))處的切線？只要定出切線的斜率就行了？為此？在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x,y)?于是割線MN的斜率為tanyyof(x)f(xo)?xXo xxo其中？為割線MN勺傾角？當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)？x?xo?如果當(dāng)x?。時(shí)？上式的極限存在？設(shè)為k?即存在？則此極限k是割線斜率的極限？也就是切線的斜率？這里k?tan???其中？是切線MT的傾角？于是？通過(guò)點(diǎn)M(xo,f(xo))且以k為斜率的直線MT?是曲線C在點(diǎn)M處的切線？二、導(dǎo)數(shù)的定義1?函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題看出？非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限？TOC\o"1-5"\h\z..f(x)f(xo)olim '?xxo xM令？△xux-xo?貝1!?△￥=￡(xo+z\x)-f(xo)=f(x)-f(xo)?x?xo相當(dāng)于Ax?o?于是..f(x)f(xo)limxxo xxo

IOlim,或limf(XoX).)?X0xx0 x定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義？當(dāng)自變量x在X0處取得增量△x(點(diǎn)X0+z\x仍在該鄰域內(nèi))時(shí)？相應(yīng)地函數(shù)y取得增量△y=f(xo+zXx)-f(x。)？如果△y與Ax之比當(dāng)Ax?。時(shí)的極限存在？則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處可導(dǎo)？并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)？記為丫限比？即y f(x0 x)f(x0)9f(沏)也可記為ylxx0limf(沏)也可記為ylxx0x0xx0 xdy肅df(x)dxxxc dxxx0函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成f(x)在點(diǎn)x0具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在？導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式？常見(jiàn)的有TOC\o"1-5"\h\zf(x0)limf(x0h)f(xo)?為h0 hf(x)f(%)o\o"CurrentDocument"f(x0)lim -?xx0xx0在實(shí)際中？需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題 ？在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題？導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述 ？如果極限limf^—x)f(x0)不存在？就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)？x0 x如果不可導(dǎo)的原因是由于limf(x0—x)f(x0) ?x0 x也往往說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大？如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)？就稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)？這時(shí)？對(duì)于任一x?I?都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值?這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)？這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)？記作y?f(x)??？或f)?dxdx2.導(dǎo)函數(shù)的定義式？ylimf(xx)f(x)?limf(xh)f(x)?x0 x h0hf?(x0)與f?(x)之間的關(guān)系？函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f?(x)就是導(dǎo)函數(shù)f?(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值?即f(沏)f(x)xx0?導(dǎo)函數(shù)f?(x)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)？而f?(x0)是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f?(x)在x0處的值？左右導(dǎo)數(shù)？所列極BM存在？則定義f(x)在x0的左導(dǎo)數(shù)？f(%)f(x)在f(x)在x0的左導(dǎo)數(shù)？f(%)f(x)在x0的右導(dǎo)數(shù)？f(%)h0 h -limf(x0h)f(x0)?h0 h ,如果極限1明3產(chǎn)！存在？則稱此極限彳S為函數(shù)在X0的左導(dǎo)數(shù)？如果極限/叫必產(chǎn)存在？則稱此極限彳為函數(shù)在X0的右導(dǎo)數(shù)？導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系??f(x0)A?f(x0)f(x0)A?

三、求導(dǎo)數(shù)舉例例1.求函數(shù)f(x)?C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)？解？f(x)limh0f(xh)f(x)..CC

lim h0h0?即？？？？(C)?=0?例2?解？f(x)limh0f(xh)f(x)..CC

lim h0h0?即？？？？(C)?=0?例2?求f(x)的導(dǎo)數(shù)？解？f(x)limh0例3?求f(x)f(xh)f(x)

h1limxhh0h1x h 1lim lim ?h0h(xh)xh0(xh)x1

x2解？ f(x)lim班的導(dǎo)數(shù)？f(xh)f(x)lim——；—————limlim——；—————limh0h(xh.x)h0例4.求函數(shù)f(x)?xn(n為正整數(shù))在x?a處的導(dǎo)數(shù)？解？f?(a)limf(x)f(a)xaxa把以上結(jié)果中的a換成x得(C)??0?(1) !?(,x)x x2例5.求函數(shù)f(x)?sinnn n?1 n?2limx—a lim(x?ax???????xaxaxaf?(x)=nxn?1?即(xn)?=nxn?1?六？(X)x1?x的導(dǎo)數(shù)？n?1)=nan?1?解？f?(x)limh0f(xh)f(x)limh0sin(xh)sinx?????????????解？f?(x)limh0f(xh)f(x)limh0sin(xh)sinx?????????????h、|imQCOs(x2)sinh—2

h2cosx?x)?=-sinx?即(sinx)?=cosx?x)?=-sinx?用類(lèi)似的方法？可求得(cos例6.求函數(shù)f(x)??ax(a>0?a?1)的導(dǎo)數(shù)解？f?(x)limf(xh)f(x)limaxhaxh0h h0hax1 axlna?logae特別地有(ex)'=ex?例7.求函數(shù)f(x)?logax(a>0?a?1)的導(dǎo)數(shù)TOC\o"1-5"\h\z解？f(x)limf(xh)f(x)limloga(xh)logaxh0h h0 h1logae1 ?xxlnaloga(xh)logax .. 1 hx斛？f(x)him0 h— him0hloga(1x)xhim0loga(1 xlogae上?(logax)xl：a???

特殊地(lnx)1?x1 1-(logax) xlna??(lnx)x?.單側(cè)導(dǎo)數(shù)？f(xh)f(x)極限limf(x?f(x)存在的充分必要條件是h0hf(xh)f(x)f(xh)f(x)lim- -limh0 h h0limh0f(xh)f(x)limh0f(xh)f(x)?hf(xh)f(x)?h-￡”)在乂0處的左導(dǎo)數(shù)?f(xo)￡")在乂0處的右導(dǎo)數(shù)？f(x0).導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)在點(diǎn)x°處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) f??(x0)和右導(dǎo)數(shù)f??(x0)都存在且相等？如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)？且右導(dǎo)數(shù)f??(a)和左導(dǎo)數(shù)f??(b)都存在？就說(shuō)f(x)有閉區(qū)間［a,b］上可導(dǎo)？例8.求函數(shù)f(x)??x|在x?0處的導(dǎo)數(shù)？解？f(0)J嗎f(0)解？f(0)J嗎f(0)h叫h h0hf(0h)f(0) limIhl1??h h0h因?yàn)閒??(0)?f??(0)?所以函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)？四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)f?(xo)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(xo,f(xo))處的切線的斜率？即f?(xo)=tan??其中？是切線的傾角?如果y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大？這時(shí)曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置？即曲線y=f(x)在點(diǎn)Mx°,f(x°))處具有垂直于x軸的切線x=x0??由直線的點(diǎn)斜式方程？可知曲線y?f(x)在點(diǎn)Mx°,y°)處的切線方程為y-yo=f?(xo)(x-xo)?過(guò)切點(diǎn)M(x0,y°)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點(diǎn)M處的法線如果f?(x0)?0?法線的斜率為大？從而法線方程為f(%)yNo—1、(xx°)?f(x0)例9?求等邊雙曲線yx在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率？并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程？解？y白？所求切線及法線的斜率分別為x2kl(X2)x1 4?%I4?所求切線方程為y24(x1)?即4x?y?4?0?所求法線方程為y24(x1)?即2x?8y?15?0?例10.求曲線yx聲的通過(guò)點(diǎn)(0??4)的切線方程？解設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo?則切線的斜率為Q1 f(x0)(x2)5x2xx^Jx0'2xxo2于是所求切線的方程可設(shè)為yx0區(qū)3dx(xx0)?根據(jù)題目要求？點(diǎn)(0??4)在切線上？因此4x0■,x02xx0(0x0)?解之得x0?4?于是所求切線的方程為y44|"(x4)?即3x?y?4?0?五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)？即lim—yf(x0)存在？則x0xTOC\o"1-5"\h\zlimy lim_y. xlim—y lim xf(x0) 00?x0 x0xx0x x0這就是說(shuō)？函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的？所以？如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)？則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)？另一方面？一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo) ？例7.函數(shù)f(x)我在區(qū)間(?？,??)內(nèi)連續(xù)？但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)？這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大「 f(0h)f(0)r3h0olim lim ?h0h h0h_x課后作業(yè)(是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。)第91頁(yè)第5題課后小結(jié)

（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第9次課—高等數(shù)學(xué)（一）課題函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則周次10 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：1、函數(shù)的線性組合的求導(dǎo)法則2、函數(shù)積的求導(dǎo)法則3、函數(shù)商的求導(dǎo)法則教學(xué)目的和要求：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程§2函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u?u(x)及v?v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)？那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)X具有導(dǎo)數(shù)？并且[ u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)?[ u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)?TOC\o"1-5"\h\zv(x) v2(x)證明⑴[u(x)v(x)]lim[u(xh)v(xh)][u(x)v(x)]h0 hlimu(xh)u(x)v(xh)v(x)?u?(x)?v?(x)?h0h h法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為( u?v)??u??v??⑵ [u(x)v(x)]limou(xh)v(x?u(x)v(x)? u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?其中l(wèi)imv(x?h)?v(x)是由于v?(x)存在？故v(x)在點(diǎn)x連續(xù)？h0法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為uv)??u?v?uv??u(xh)u(x)u(x) lim v(xh) v(x)limu(x h)v(x)u(x)v(x h)v(x) h0hh0 v(xh)v(x)hu(x)v(x)u(x)v(x)?v2(x) ,法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為( u?v)??u??v??(uv)??u?v?uv??(v)uv-2uv-?定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形 ？例如？設(shè)u?u(x)、v?v(x)、w?w(x)均可導(dǎo)？則有( u?v?w)??u??v??w??( uvw^??[(uv)w]??(uv)?w?(uv)w?????????????????????????????u?v?uv?)w?uvw??u?vw?uv?w?uvw??即(uvWl???u?vW?uv?W?uvW??在法則(2)中？如果v?qc為常數(shù))？則有( Ci)??Cu??例1.y?2x3?5x2?3x?7?求y?解？y??(2x3?5x2?3x?7)??(2x3)??5x2)??3x)??7)??2(x3)??5x2)??3x)? 2_ 2_ ?2?3x?5?2x?3?6x?10x?3?例2?f(x)x34cosxsin—?求f?(x)及f(—)?解？f(x)(x3)(4cosx)(sin>2)3x24sinx?f(T)324?例3.y?ex(sinx?cosx)?解？y???ex)?(sinx?cosx)??2例4.ex(sinx?cosx)?exexcosx?y?tanx?求y??求y??ex(sinx?cosx)?(cosx?sinx)解？y(tanx)(sinx)(sinx)cosxsinx(cosx)cosx??????????cos2xsin2x1cos2x即(tan例5.cos2x cos2x2x)??secx?y?secx?求y??sec2x?解？y1\ (1)cosx1(cosx)(secx)( ) 2' /cosx cos2x(sec x)??secxtan含？secxtanx?x?用類(lèi)似方法？還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式？(cot(cscx)???csc2x?x)???cscxcotx?課后作業(yè)（是指根據(jù)教學(xué)目的及要求布置一定量的思考題和習(xí)題等。）第91頁(yè)第5題課后小結(jié)（課后小結(jié)是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，目的在于改進(jìn)和調(diào)整教案，為下一輪課講授設(shè)計(jì)更加良好的教學(xué)方案。應(yīng)全面審視教學(xué)過(guò)程，特別注意對(duì)意外發(fā)現(xiàn)、點(diǎn)滴收獲、以及因個(gè)別疏漏而及時(shí)補(bǔ)充的方法等方面的內(nèi)容進(jìn)行撰寫(xiě)。）第10次課學(xué)科高等數(shù)學(xué)課題反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則周次11 時(shí)數(shù) 2 授課班級(jí) 1202114主要教學(xué)內(nèi)容：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的和要求：熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解一階微分形式的/、艾性，會(huì)求函數(shù)的微分。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)方法與手段：課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)、講練結(jié)合、黑板多媒體結(jié)合使用實(shí)驗(yàn)儀器及教具：傳統(tǒng)教學(xué)用具與多媒體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程教 學(xué) 過(guò) 程§3反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)x?f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f?(y)?0?那么它的反