2021-2022年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關(guān)系1.1平面4課件新人教版必修2202202262174

人教版必修2第二章

點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面這是我國著名的大學，設計風格新穎．設計師獨特創(chuàng)意的背后卻是縝密的幾何思維，類似許許多多的建筑設計包含了線、面的位置關(guān)系的應用，相交、平行、垂直關(guān)系隨處可見．現(xiàn)實生活中類似這樣的位置關(guān)系是比較常見的，如何準確判斷這些位置關(guān)系？這就是本章將要研究的點、直線、平面之間的位置關(guān)系．點、直線、平面之間的位置關(guān)系是高中數(shù)學立體幾何中的基礎內(nèi)容，在整個幾何學中占有非常重要的地位，起著承前啟后的作用．1．在初中幾何中學習的線可以看作是_______運動形成的軌跡．2．在平面幾何中，通過實驗、觀察得到了點和線的基本性質(zhì)是什么？連結(jié)兩點的線中，線段最短；過兩點有且只有一條直線．點知識鏈接3．在平面幾何中，兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？在平面幾何中，兩直線的位置關(guān)系有：相交和平行兩種．4．幾何中的點、直線都是抽象的概念，在現(xiàn)實世界中可以說是不存在的．畫出的點，我們不考慮它們的大小，畫出的直線也不考慮它們的粗細．基于這種抽象的思考，我們才能總結(jié)出上述點與直線的性質(zhì)．大家學完初中幾何以后，已經(jīng)初步體會到了這些抽象概念的意義和作用．1．平面描述幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體抽象出來的，是無限__________的畫法通常把水平的平面畫成一個____________，并且其銳角畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的_____倍，如圖1所示；如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強立體感，被遮擋部分用_______畫出來，如圖2所示延展平行四邊形2虛線自主預習記法(1)用一個__________α，β，γ等來表示，如上圖1中的平面記為平面α(2)用兩個大寫的__________(表示平面的平行四邊形的對角線的頂點)來表示，如上圖1中平面記為平面AC或平面BD(3)用三個大寫的英文字母(表示平面的平行四邊形的不共線的頂點)來表示，如上圖1中的平面記為平面ABC或平面________等(4)用四個大寫的英文字母(表示平面的平行四邊形______)來表示，如上圖1中的平面可記為平面ABCD希臘字母英文字母BCD頂點[歸納總結(jié)]

習慣上，用平行四邊形表示平面；在一個具體的圖形中也可以用三角形、圓或其他平面圖形表示平面．A是點，l，m是直線，α，β是平面.A∈lA?lA∈αA?αl?α2．點、線、面的位置關(guān)系的表示l?αl∩m＝Al∩α＝Aα∩β＝l[名師點撥]

從集合的角度理解點、線、面之間的關(guān)系(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示．(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示．(3)直線和平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．3．公理1文字語言如果一條直線上的__________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)圖形語言符號語言A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?__________作用判斷點在平面內(nèi)判斷直線在平面內(nèi)用直線檢驗平面兩點l?α[名師點撥]

公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系．“線上兩點在平面內(nèi)”是公理的條件，結(jié)論是“線上所有點都在平面內(nèi)”，從集合的角度看，這個公理就是說，如果一條直線(點集)中有兩個點(元素)屬于一個平面(點集)，那么這條直線就是這個平面的真子集，這個結(jié)論闡述了兩個觀點，一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上的所有點都在平面內(nèi)．4．公理2不在不共線[名師點撥]

(1)公理2的條件是“過不在一條直線上的三點”，結(jié)論是“有且只有一個平面”．(2)公理2中“有且只有一個”的含義要準確理解，這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，強調(diào)的是存在和唯一兩個方面，因此“有且只有一個”必須完整地使用，不能僅用“只有一個”來代替，否則就沒有表達出存在性．確定一個平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩個方面，這個術(shù)語今后也會常常出現(xiàn)．5．公理3文字語言如果兩個不重合的平面有一個__________，那么它們有且只有一條過該點的公共__________圖形語言符號語言P∈α∩β?α∩β＝l且__________作用(1)判定平面相交(2)證明點共線(3)證明線共點公共點直線P∈l[名師點撥]公理3反映了兩個平面的位置關(guān)系，條件可簡記為“兩面共一點”，結(jié)論是“兩面共一線，且線過點，線唯一”．公理3強調(diào)的是兩個不重合的平面，只要它們有一個公共點，其交集就是一條直線．以后若無特別說明，“兩個平面”是指不重合的兩個平面．1．下列命題：(1)書桌面是平面；(2)8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；(3)有一個平面的長是50m，寬是20m；(4)平面是絕對的平、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為(

)A．1 B．2C．3 D．4[答案]

A預習自測[解析]

序號正誤理由(1)×因為平面是無限延展的，故(1)錯(2)×平面是無厚度的，故(2)錯(3)×平面是無限延展的，不可度量，故(3)錯(4)√平面是平滑、無厚度、無限延展的，故(4)正確[答案]

(1)∈∈??(2)AB

(3)∈∈∈??(4)??????3．已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則(

)A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?αC．P?α，Q?α D．Q∈α[答案]

D[解析]

∵Q∈m，m?α，∴Q∈α.∵P?m，∴有可能P∈α，也可能有P?α.4．三點可確定平面的個數(shù)是(

)A．0 B．1C．2 D．1或無數(shù)個[答案]

D[解析]當這三點共線時，可確定無數(shù)個平面；當這三點不共線時，可確定一個平面．5．如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面(

)A．沒有其他公共點 B．僅有這一個公共點C．僅有兩個公共點 D．有無數(shù)個公共點[答案]

D例題1

用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC；(2)平面ABD與平面BCD交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC．

互動探究1.文字、圖形、符號三種語言的轉(zhuǎn)化[探究]

1．解答本題要正確理解立體幾何中表示點、線、面之間位置關(guān)系的符號“∈”“?”“?”“?”“∩”的意義．2．解決立體幾何問題首先應過好三大語言關(guān)，即“文字語言、圖形語言、符號語言”，能實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，由符號語言作出直觀圖時，要注意實虛線的標注．[解析]

(1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．圖形表示：如圖1所示．(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．圖形表示：如圖2所示．規(guī)律總結(jié)：學習幾何問題，三種語言間的互相轉(zhuǎn)換是一種基本技能．要注意符號語言的意義，如點與直線、點與平面間的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面間的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．由圖形語言表示點、線、面的位置關(guān)系時，要注意實線和虛線的區(qū)別．練習1(3)根據(jù)下列條件畫出圖形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三個頂點滿足條件A∈MN，B∈α，B?MN，C∈β，C?MN.[答案]

(1)M∈a，a?α，M∈α(2)∈??AC(3)如圖所示例題2求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．[探究]

1．平面確定的條件？2．兩平面重合的條件？[解析]

已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求證：直線a，b，c和l共面．證明：如圖所示，因為a∥b，由公理2 可知直線a與b確定一個平面，設為α.2.證明多線共面問題因為l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α.又因為A∈l，B∈l，所以由公理1可知l?α.因為b∥c，所以由公理2可知直線b與c確定一個平面β，同理可知l?β.因為平面α和平面β都包含著直線b與l，且l∩b＝B，而由公理2的推理2知：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面，所以平面α與平面β重合，所以直線a，b，c和l共面．規(guī)律總結(jié)：(1)證明點線共面的主要依據(jù)：公理1、公理2及其推論．(2)證明點線共面的常用方法①納入平面法：先由公理2或其推論確定一個平面，再由公理1證明有關(guān)點線在此平面內(nèi)．②輔助平面法：先證明有關(guān)的點線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．過直線l外一點P，引兩條直線PA，PB和直線l分別交于A，B兩點，求證：三條直線PA，PB，l共面．[證明]

如右圖所示，∵PA∩PB＝P，∴過PA，PB確定一個平面α.∴A∈α，B∈α.∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∴PA，PB，l共面．練習2例題3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P、Q、R三點共線．[探究]

1．P、Q、R三點分別在哪幾個平面上？2．在兩個相交平面上的點，有什么特點？3.證明多點共線問題[證明]

方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點共線．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點共線．規(guī)律總結(jié)：證明點線共面的常用方法：(1)歸一法：先由部分元素確定一個平面，再證其余元素也在這個平面內(nèi)，其中第一步要應用公理2，第二步要應用公理1.(2)重合法：應用公理1，先由部分元素分別確定平面，然后應用公理2證明這幾個平面重合．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC，BD交于點M，求證：C1，O，M三點共線．[分析]

要證若干點共線，只需證這些點同在兩個相交平面內(nèi)即可．練習3[證明]

由AA1∥CC1，則AA1與CC1確定一個平面A1C．∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C．又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D．∴O點在平面BC1D與平面A1C的交線上．又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C．又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三點共線．[點評]本題先證明C1M是平面A1C與平面BC1D的交線，通過公理3知O∈C1M，從而證明了C1，O，M共線．例題4已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E，H分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝1∶2，求證：直線EF，BD，HG交于一點．[探究]

先證EF，HG一定相交于一點，再證這一點在直線BD上．4.證明三線共點問題設EF∩GH＝O，則O∈GH，O∈EF.∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD．∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直線EF，BD，HG交于一點．規(guī)律總結(jié)：本題主要考查線線共點的問題．在解決這類問題時，首先證明兩條直線相交于一點，再證這一點在另一條直線上．要證這一點在另一條直線上，可證這一點在以這條直線為交線的兩個平面上．三個平面α、β、γ兩兩相交，交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直線a和b不平行．求證：a、b、c三條直線必過同一點．[分析]

證三條直線共點時，應先找出其中兩條直線的交點P，而第三條直線是兩個平面的交線，P是這兩個平面的公共點，據(jù)公理3得出P在第三條直線上．練習4[證明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，設a∩b＝P，∵P∈a，a?β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一點P，即a、b、c三條直線過同一點．空間中四點，如果任意三點都不共線，那么由這四個點可以確定多少個平面？[錯解]

因為不共線的三點確定一個平面，所以由題設條件中的四點可確定四個平面．[錯因分析]

忽略了四個點在同一個平面上的可能．對于條件所給的點的位置關(guān)系考慮不全面警示誤區(qū)[思路分析]

空間中任意三點都不共線的四點有兩種位置關(guān)系：一種是任意不共線的三點所確定的平面過第四個點，此時，這四個點只能確定一個平面；另一種是任意不共面的三點所確定的平面不過第四個點，此時，這四個點可確定四個平面．[正解]

一個或者是四個．已知A，B，C，D，E五點中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點一定共面嗎？[錯解]因為A，B，C，D共面，所以點A在B，C，D所確定的平面內(nèi)，因為B，C，D，E共面，所以點E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)，所以點A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點一定共面．[錯因分析]錯解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件，實際上B，C，D三點還可能共線．針對訓練[正解]

(1)如果B，C，D三點不共線，則它們確定一個平面α.因為A，B，C，D共面，所以點A在平面α內(nèi)，因為B，C，D，E共面，所以點E在平面α內(nèi)，所以點A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點一定共面．(2)如果B，C，D三點共線于l，若A，E都在l上，則A，B，C，D，E五點一定共面；若A，E中有且只有一個在l上，則A，B，C，D，E五點一定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能不共面．規(guī)律總結(jié)：在立體幾何中，空間點、線、面之間的位置關(guān)系不確定時，要注意分類討論，避免片面地思考問題．對于確定平面問題，在應用公理2及其三個推論時一定要注意它們成立的前提條件．1.如右圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(

)A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ[答案]

A[解析]

MN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對角線，所以不能記作平面MN.當堂檢測2．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(

)A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l?α[答案]

B3．下面是一些命題的敘述語(A，B表示點，a表示直線，α，β表示平面)：(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；(2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；(3)∵A?α，a?α，∴A?a；(4)∵A∈a，a?α，∴A?α.其中命題和敘述方法都正確的個數(shù)是(

)A．0 B．1C．2 D．3[答案]

B[解析]

(3