少學時0107應力狀態(tài)和強度理論

2022年12月28日材料力學第7章應力狀態(tài)和強度理論

目錄

§7-1

應力狀態(tài)概述

§7-2平面應力狀態(tài)分析·主應力§7-3空間應力狀態(tài)的概念

§7-4應力與應變間的關(guān)系§7-5空間應力狀態(tài)下的應變能密度§7-6強度理論及其相當應力§7-7強度理論的應用3§7-1概述

在第二章和第三章中曾講述過桿受拉壓時和圓截面桿受扭時桿件內(nèi)一點處不同方位截面上的應力，并指出：一點處不同方位截面上應力的集合(總體)稱之為一點處的應力狀態(tài)。由于一點處任何方位截面上的應力均可根據(jù)從該點處取出的微小正六面體──單元體的三對相互垂直面上的應力來確定，故受力物體內(nèi)一點處的應力狀態(tài)(stateofstress)可用一個單元體(element)及其上的應力來表示。第七章應力狀態(tài)和強度理論一、一點的應力狀態(tài)4二、研究應力狀態(tài)的目的

1.

了解材料發(fā)生破壞的力學上的原因，例如低碳鋼拉伸時的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應力最大的45?

斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45?

方向拉應力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。

2.

在不可能總是通過實驗測定材料極限應力的復雜應力狀態(tài)下，如圖所示,第七章應力狀態(tài)和強度理論應力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(稱為強度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎(chǔ)。三、應力狀態(tài)的研究方法

任意一對平行平面上的應力相等1、單元體特征2、主單元體各側(cè)面上切應力均為零的單元體單元體的尺寸無限小，312231取單元體每個面上應力均勻分布3、主平面切應力為零的截面4、主應力主平面上的正應力

說明:一點處必定存在這樣的一個單元體,

三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應力分別記為

1,2,3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即123四、單元體的取法FFxxx

五、應力狀態(tài)的分類1、空間應力狀態(tài)三個主應力1

、2、3均不等于零2、平面應力狀態(tài)三個主應力1

、2

、3

中有兩個不等于零3、單向應力狀態(tài)

三個主應力

1

、2

、3

中只有一個不等于零3122312211119§7-2

平面應力狀態(tài)的應力分析·主應力

平面應力狀態(tài)是指，如果受力物體內(nèi)一點處在眾多不同方位的單元體中存在一個特定方位的單元體，它的一對平行平面上沒有應力,即不等于零的應力分量均處于同一坐標面內(nèi)。等直圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的純剪切應力狀態(tài)就屬于平面應力狀態(tài)(參見§3-4的“Ⅱ.斜截面上的應力”)。第七章應力狀態(tài)和強度理論

對于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點處以包含與梁的橫截面重合的面在內(nèi)的三對相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，表明A點處于平面應力狀態(tài)。(a)(c)(b)11

平面應力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應力。第七章應力狀態(tài)和強度理論xyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxefanadabctxtytxx(b)sxsxsysytyyⅠ.斜截面上的應力

圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義，且a角以自x軸逆時針轉(zhuǎn)至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應力sa和切應力ta均為正值，即sa以拉應力為正，ta以使其所作用的體元有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正。

由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dA·cosa，而底面bf的面積為dA·sina。圖d示出了作用于體元ebf諸面上的力。體元的平衡方程為

需要注意的是，圖中所示單元體頂,底面上的切應力ty按規(guī)定為負值，但在根據(jù)圖d中的體元列出上述平衡方程時已考慮了它的實際指向，故方程中的ty僅指其值。也正因為如此，此處切應力互等定理的形式應是tx=ty。

由以上兩個平衡方程并利用切應力互等定理可得到以2a為參變量的求a斜截面上應力sa，ta的公式：Ⅱ

莫爾圓(Mohr’scircle)將斜截面應力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去，得上式在-

直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓。1、圓心的坐標2、圓的半徑此圓習慣上稱為應力圓或稱為莫爾圓。①

建

-

坐標系,選定比例尺o3.應力圓作法（1）步驟xyxxyyyyDxo②

量取OA=xAD

=x得D

點xyxxyxxAOB=y③

量取BD′=y得

D′

點yByD′④連接DD′兩點的直線與軸相交于C

點⑤

以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓C(1)該圓的圓心C點到坐標原點的距離為(2)該圓半徑為DxoxAyByD′C（2）證明3.應力圓的應用（1）求單元體上任一截面上的應力

從應力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2

得到半徑CE.圓周上E

點的坐標就依次為斜截面上的正應力和切應力。DxoxAyByD′C20FE2xyaxxyxefn證明22

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著單元體某一方向面上的正應力和切應力；ADa(sx,tx)d(sy,ty)c幾種對應關(guān)系轉(zhuǎn)向?qū)霃叫D(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對應——半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。23點面對應caA24轉(zhuǎn)向?qū)⒍督菍?αab（2）求主應力①主應力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點為與主平面對應的點，其橫坐標為主應力1，212DxoxAyByD′C20FE2B1A120DxoxAyByD′C12A1B1②主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)0（負值）即到1對應的主平面的外法線0確定后，1對應的主平面方位即確定（3）求最大切應力G1和G

兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力20DxoxAyByD′C12A1B1G1G2因為最大最小切應力等于應力圓的半徑

例3兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試繪出截面c上a,b

兩點處的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。12015152709zab250KN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN.m解:(1)首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC=80kN?mFSmax=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab(2)橫截面C上a點的應力為a點的單元體如圖所示axxxy由x，x

定出D

點由y，y

定出D′

點以DD′為直徑作應力圓OC（3)做應力圓

x=122.5MPa，x

=64.6MPa

y=0，y

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2兩點的橫坐標分別代表a

點的兩個主應力

1和

3A1點對應于單元體上1

所在的主平面

axxxy01312015152709zab(4)橫截面C上b點的應力b點的單元體如圖所示bxxb點的三個主應力為1所在的主平面就是x

平面,

即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′134

下圖所示單元體的應力狀態(tài)是最普遍的情況，稱為一般的空間應力狀態(tài)。圖中x平面有：圖中y平面有：圖中z平面有：

在切應力的下標中，第一個表示所在平面，第二個表示應力的方向?！?-3

空間應力狀態(tài)概述txytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz35

可以證明，對上述應力狀態(tài)一定可找到一個單元體，其三對相互垂直的面都是主平面，其上應力分別為：

空間應力狀態(tài)共有9個分量，然而，根據(jù)切應力互等定理可知，獨立的分量只有6個，即：空間應力狀態(tài)：三個主應力都不等于零；平面應力狀態(tài)：兩個主應力不等于零；單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不等于零。該單元體稱為主單元體。

已知受力物體內(nèi)某一點處三個主應力

1、2、3利用應力圓確定該點的最大正應力和最大切應力。三向應力圓:312231首先研究與主應力平行的斜截面上的應力，由于作用平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應力平行的斜截面上的應力與無關(guān)，這一組斜截面上的應力在—平面上所對應的點，必在由和所確定的應力圓的圓周上。

下面分析空間應力狀態(tài)下的最大正應力和切應力。A12BC3同理，可畫出另外兩個應力圓。將三個應力圓畫在同一平面上，稱為三向應力圓。

OA1O2BC3與三個主應力均不平行的任意斜截面上的應力所對應的點，位于三個應力圓圍成的陰影線區(qū)域內(nèi)。kA1O2BC3

由三向應力圓可見

最大切應力所在的截面與2所在的主平面垂直，并與1和3所在的主平面成450角。40§7-4

應力與應變間的關(guān)系

前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應力狀態(tài)有6個獨立的應力分量：sx,sy,sz,txy,tyz

,tzx；與之相應的有6個獨立的應變分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。第七章應力狀態(tài)和強度理論txytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz41

本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間應力狀態(tài)的應力分量與應變分量之間的關(guān)系，即廣義胡克定律。第七章應力狀態(tài)和強度理論

關(guān)于應力分量的正負以及應變分量的正負規(guī)定參看課本。42

現(xiàn)在來導出一般空間應力狀態(tài)下的廣義胡克定律。因為在線彈性，小變形條件下可以應用疊加原理，故知x方向的線應變與正應力之間的關(guān)系為：第七章應力狀態(tài)和強度理論=++++一、廣義胡克定律43

至于切應變與切應力的關(guān)系，則根據(jù)前面所述可知，切應變只與切應變平面內(nèi)的切應力相關(guān)，因而有第七章應力狀態(tài)和強度理論txytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz44對于下圖所示的平面應力狀態(tài)(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，則胡克定律為第七章應力狀態(tài)和強度理論

各向同性材料的三個彈性常數(shù)E，G，n之間存在如下關(guān)系：45

當空間應力狀態(tài)如下圖所示以主應力表示時，廣義胡克定律為第七章應力狀態(tài)和強度理論式中，e1，e2，e3分別為沿主應力s1，s2，s3方向的線應變。46

對于各向同性材料由于主應力作用下，在任何兩個主應力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應變，因而主應力方向的線應變就是主應變──一點處兩個相互垂直方向間不發(fā)生切應變時該兩個方向的線應變。第七章應力狀態(tài)和強度理論

在平面應力狀態(tài)下，若s3＝0，則以主應力表示的胡克定律為一、強度理論的概念（Conceptsoffailurecriteria)

1、引言(introduction)軸向拉、壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲

切應力強度條件(Strengthconditionforshearstress)

正應力強度條件(Strengthconditionfornormalstress)強度理論概述利用簡單應力狀態(tài)實驗結(jié)果建立復雜應力狀態(tài)強度條件2、研究目的3、研究途徑4、強度理論——關(guān)于材料破壞或失效規(guī)律的假說尋找引起材料破壞或失效的共同規(guī)律確定復雜應力的相當（單向拉伸）應力5.

強度理論的提出

桿件基本變形時，危險點處于單向應力狀態(tài)或純剪切應力狀態(tài)，其強度條件分別為許用應力可由實驗測出。

在復雜應力狀態(tài)下，不可能測出每一種應力狀態(tài)下的極限應力，提出了材料在不同應力狀態(tài)下產(chǎn)生某種形式破壞的共同原因的各種假設，這些假設稱為強度理論。強度理論的核心是認為復雜應力狀態(tài)下的某一因素達到簡單拉伸的試驗破壞時的同一因素，材料也將失效。

一、強度理論的分類1.兩類破壞形式脆性材料：斷裂塑性材料：屈服鑄鐵拉伸曲線2.兩類強度理論關(guān)于斷裂的強度理論關(guān)于屈服的強度理論o低碳鋼拉伸曲線§7-6強度理論二、常用四個強度理論●第一強度理論（最大拉應力理論）

該理論不論材料處于什么應力狀態(tài)，引起材料脆性斷裂破壞的主要原因是最大拉應力，并認為當復雜應力狀態(tài)的最大拉應力達到單向應力狀態(tài)破壞時的最大拉應力時，材料便發(fā)生斷裂破壞。由此，材料的斷裂判據(jù)為強度條件為：●第二強度理論（最大拉應變理論）

該理論認為材料發(fā)生脆性斷裂破壞是由最大拉應變引起的：復雜應力狀態(tài)下，當最大拉應變1達到單向拉伸時發(fā)生脆性斷裂破壞的極限應變時，材料發(fā)生脆性斷裂破壞，即斷裂條件為強度條件為：●第三強度理論（最大剪應力理論）

該理論認為材料發(fā)生塑性屈服破壞是由最大切應力引起的：復雜應力狀態(tài)下，當最大切應力max達到單向拉伸時發(fā)生塑性屈服破壞的最大切應力S時，材料發(fā)生塑性屈服破壞，即屈服條件為強度條件為：●第四強度理論（形狀改變比能理論）

該理論認為材料發(fā)生塑性屈服破壞是由形狀改變比能引起的：復雜應力狀態(tài)下，當形狀改變能密度vd

達到單向拉伸時發(fā)生塑性屈服破壞的形狀改變能密度vd，材料發(fā)生塑性屈服破壞。相關(guān)理論分析可得三向應力狀態(tài)下的形狀改變能密度為單向拉伸至屈服時，

，

代入上式得到單向拉伸至屈服時的形狀改變能密度為強度條件為：按照形狀改變能密度理論，屈服判據(jù)為1.強度理論的統(tǒng)一形式：r

稱為相當應力第一相當應力第二相當應力第三相當應力第四相當應力三、強度理論的應用2.強度理論的選用特殊情況下：三向受拉時，不論是脆性材料還是塑性材料，用第一和第二理論；

三向壓縮時，不論是脆性材料還是塑性材料，用第三和第四理論。一般情況:

脆性材料：

抵抗斷裂的能力小于抵抗滑移的能力適宜用第一與第二強度理論

塑性材料：抵抗斷裂的能力大于抵抗滑移的能力適宜用第三與第四強度理論58純剪切平面應力狀態(tài)下許用