2022-2023學(xué)年湖北省孝感市重點(diǎn)高中教研協(xié)作體高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省孝感市重點(diǎn)高中教研協(xié)作體高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．B【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則，即可求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】，則=.故選：B2．己知，若直線：與直線：平行，則它們之間的距離為（

）A． B． C． D．或A【分析】結(jié)合已知條件，利用直線間平行關(guān)系求出參數(shù)，然后利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，且，所以，即，此時(shí)直線：，：，即，由平行線間的距離公式可知，.故選：A.3．A地的天氣預(yù)報(bào)顯示，A地在今后的三天中，每一天有強(qiáng)濃霧的概率為30%，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率，先利用計(jì)算器產(chǎn)生0-9之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒(méi)有強(qiáng)濃霧，用7，8，9表示有強(qiáng)濃霧，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表三天的天氣情況，產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：102

798

391

925

173

845

812

529

769

683231

307

592

027

516

588

730

113

977

539則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為（

）A． B． C． D．D【分析】由題意知模擬這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天有強(qiáng)濃霧的有可以通過(guò)列舉得到共4組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果．【詳解】在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天有強(qiáng)濃霧的可以通過(guò)列舉得到共5組隨機(jī)數(shù)：798，769、588、977，共4組隨機(jī)數(shù)，所求概率為，故選：D．4．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B．4 C． D．3A【分析】根據(jù)直線一個(gè)方向向量為，取直線的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算，代入點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可．【詳解】直線的一個(gè)方向向量為，取直線一個(gè)單位方向向量為，又為直線外一點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，，，點(diǎn)到直線的距離為故選：A．5．從空中某個(gè)角度俯視北京冬奧會(huì)主體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”頂棚所得的局部示意圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，下列直線系方程（其中為參數(shù)，）能形成這種效果的是（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)圖象可由原點(diǎn)到直線的距離為定值判斷即可.【詳解】原點(diǎn)到直線的距離為不是定值，故A錯(cuò)誤；原點(diǎn)到直線的距離為不是定值，故B錯(cuò)誤；原點(diǎn)到直線的距離為定值，故C正確；原點(diǎn)到直線的距離為不是定值，故D錯(cuò)誤；故選：C.6．設(shè)向量，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9D【分析】由，，的坐標(biāo)，寫(xiě)出，的坐標(biāo)，由A，B，C三點(diǎn)共線，得，共線，得，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，即，得，又因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故選：D.7．如圖，正四棱臺(tái)中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則下列判斷中，正確的是（

）A．B，D，E，G共面 B．平面 C．平面 D．平面D【分析】根據(jù)正棱臺(tái)的概念及正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的側(cè)棱相交于，則三棱錐為正四棱錐，連接，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，由異面直線的定義知，直線與直線是異面直線，故B，D，E，G不共面，A不正確；因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，由正棱錐的性質(zhì)可知，所以，即平面，故B不正確；因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，由正棱臺(tái)的性質(zhì)知，平面，平面，∴，平面，平面，∴平面，顯然平面與平面不平行，故C不正確；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故D正確.故選：D.8．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的短軸長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．3 D．6B【分析】由題意得到方程組①和②，即可解出a、b，求出短軸長(zhǎng)．【詳解】橢圓的面積，即①因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，所以因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則且，所以因?yàn)榈男甭手e為，所以，把代入整理化簡(jiǎn)得：②②聯(lián)立解得：．所以橢圓C的短軸長(zhǎng)為．故選：B二、多選題9．隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件“第一次為偶數(shù)”，“第二次為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（

）A．A與B互斥 B． C．A與C相互獨(dú)立 D．BCD【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判斷B；根據(jù)互斥事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義即可判斷C；根據(jù)事件表示第一次為偶數(shù)或第二次為奇數(shù)，求出此事件的對(duì)立事件的概率即可求出，即可判斷D.【詳解】解：由題意可得，，所以，故B正確；因?yàn)槭录?、可以同時(shí)發(fā)生或都不發(fā)生，故兩事件不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录?、互不影響，所以、為相互?dú)立事件，則，因?yàn)槭录硎镜谝淮螢榕紨?shù)且第二次為偶數(shù)，所以，又，所以與相互獨(dú)立，故C正確；事件表示第一次為偶數(shù)或第二次為奇數(shù)，它的對(duì)立事件為第一次奇數(shù)且第二次都是偶數(shù)，所以，故D正確.故選：BCD.10．圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（

）A．公共弦所在直線方程為B．過(guò)上任意一點(diǎn)P作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為C．公共弦的長(zhǎng)為D．圓與圓C關(guān)于直線ABD【分析】A選項(xiàng)，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；B選項(xiàng)，設(shè)上任意一點(diǎn)P為，設(shè)切點(diǎn)為，則，即可求出切線長(zhǎng)的最小值；C選項(xiàng)，求出一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計(jì)算即可；D選項(xiàng)，求出直線的斜率和中點(diǎn)即可驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)閳A：和圓的交點(diǎn)為A，B，作差得，所以圓與圓的公共弦AB所在的直線方程為，故A正確；設(shè)上任意一點(diǎn)P為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，當(dāng)時(shí)，.所以B正確.圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓與圓的公共弦AB的長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；圓的圓心為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心若圓與圓C關(guān)于直線，則則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，的中點(diǎn)為在直線上，所以圓與圓C關(guān)于直線.故選：ABD.11．已如橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，其中，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若，則B．若的中點(diǎn)為M，則C．的最小值為D．若，則橢圓的離心率的取值范圍是BD【分析】對(duì)于A，C，根據(jù)直恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義即可判斷；對(duì)于B，用點(diǎn)差法即可得到結(jié)果；對(duì)于D，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合橢圓的定義及離心率的定義代入計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，直線恒過(guò)點(diǎn)，即左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知：的周長(zhǎng)為：，∴所以A不正確對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，所以有，兩式作差可得設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為M，所以，因此，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，但是不包括直線，因?yàn)橹挥挟?dāng)時(shí)，才有最小值，所以C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，而，所以，顯然而，所以，故D正確，故選：BD12．正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱上，將過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，設(shè)，，其中，下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，S的面積為B．當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐的體積為定值D．當(dāng)時(shí)，S為矩形，其面積最大值為BCD【分析】根據(jù)正方體截面的特征，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，為的中位線，，∵，∴，∴S為等腰梯形，過(guò)P作于E，如圖，∴，∴，∴，∴，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，∴S為等腰梯形，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐為，當(dāng)時(shí)，以為定點(diǎn)，S為底面的棱錐為，如圖，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，∴，如圖，此時(shí)S為矩形，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)重合時(shí)，S的面積最大，，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知向量，且，則___________．10【分析】應(yīng)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得，再由向量垂直有，應(yīng)用坐標(biāo)表示求參數(shù)x，即得坐標(biāo)，應(yīng)用坐標(biāo)公式求其模長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，，又，所以，可得，則，故.故14．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍.【詳解】解：，即，即，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓在軸上方的部分（含點(diǎn)），畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象如下圖所示，由消去并化簡(jiǎn)得，令，解得，由于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，的取值范圍是，即.故15．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，在某次排球比賽中，甲隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率均為，若前2局結(jié)束后乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先，則最后乙隊(duì)獲勝的概率是___________．【分析】最后乙隊(duì)獲勝，則需要在剩下的三局比賽中贏一局，分情況計(jì)算概率即可.【詳解】最后乙隊(duì)獲勝，則需要在剩下的三局比賽中贏一局即可．若第三局乙隊(duì)獲勝，其概率為；若第三局乙隊(duì)負(fù)，第四局乙隊(duì)獲勝，其概率為；若第三?四局乙隊(duì)負(fù)，第五局乙隊(duì)獲勝，其概率為．所以最后乙隊(duì)獲勝的概率為．故．四、雙空題16．已知正方體的所有頂點(diǎn)均在體積為的球O上，則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)__________，若動(dòng)點(diǎn)P在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足直線與直線所成角的正弦值為，則的最小值為_(kāi)__________．

2

【分析】先利用正方體體對(duì)角線與外接球半徑的關(guān)系求得正方體的棱長(zhǎng)，再由題設(shè)條件推得，即點(diǎn)的軌跡是一段弧，從而求得，進(jìn)而可得的最小值.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，則由得，所以，故，因?yàn)?，所以與所成角的正弦值也是，即，又因?yàn)槊?，面，所以，故，即，解得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓與四邊形內(nèi)的一段弧，如圖所示，設(shè)正方形的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，所以，?故；..五、解答題17．如圖，在空間四邊形中，己知E是線段的中點(diǎn)，G在上，且．(1)試用表示向量；(2)若，求的值．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）由（1）可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得．【詳解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知．18．已知圓C的圓心為，直線與圓C相切．(1)求圓C的方程；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)，被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．(1)(2)或【分析】（1）由題意，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，求出半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）先考慮斜率不存在的情況，由題中條件，直接得直線方程；再考慮斜率存在的情況，設(shè)的方程為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的幾何表示，得到圓心到直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列出方程求解，即可得出斜率，求出對(duì)應(yīng)直線方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與圓C相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即圓心到直線的距離為∴圓C的方程為：；（2）當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l的方程為，易知此時(shí)被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，符合題意，所以；當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，則．又直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，所以，則，所以，解得，所以直線l的方程為．綜上：l的方程為或19．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求樣本成績(jī)的第80百分位數(shù)和平均數(shù)；(2)已知落在的平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．(1)，第80百分位數(shù)為86，平均數(shù)為74；(2)，.【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；（2）由和組的平均數(shù)和方差即可求得總平均數(shù)和總方差.【詳解】（1）∵每組小矩形的面積之和為1，∴解得：成績(jī)落在內(nèi)的頻率為．落在內(nèi)的頻率為．設(shè)第80百分位數(shù)為m由，得，故第80百分位數(shù)為86.設(shè)平均數(shù)為，由圖中數(shù)據(jù)可知：.（2）由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為．故,.所以兩組市民成績(jī)的總平均數(shù)是62，總方差是23．20．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，的面積．(1)求A；(2)求周長(zhǎng)的取值范圍．(1)(2)【分析】（1）由三角形面積公式結(jié)合正弦定理、余弦定理得到，得到；（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式得到，結(jié)合，求出周長(zhǎng)的取值范圍；法二：由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換得到，由，得到，求出周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）由題意得：，由正弦定理得：，根據(jù)余弦定理可知，又所以，得，因?yàn)?，所以；?）法一：，因?yàn)?，即，即，解得：，?dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，所以，綜上，周長(zhǎng)的取值范圍．方法二：=由正弦定理．∴又．∴∵，∴∴，∴，∴．綜上，周長(zhǎng)的取值范圍．21．如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，O為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)線段上是否存在Q，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）利用向量法求得兩平面的法向量的夾角余弦值，再求正弦值即可；（3）求在平面法向量上的投影即可.【詳解】（1）∵，O為的中點(diǎn)，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，而平面，∴平面.（2）連接，∵底面為直角梯形，其中，∴，又平面，∴以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，設(shè)平面的法向量，則，取，得，易知平面，則是平面的法向