2020高中數(shù)學(xué) 第8章 立體幾何初步 8. 空間直線、平面的垂直 8 平面與平面垂直的性質(zhì) 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)38平面與平面垂直的性質(zhì)知識點一平面與平面垂直的性質(zhì)1.設(shè)m,n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出如下命題:①若α⊥β,α∩β＝m，n?α,n⊥m，則n⊥β；②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，則m⊥α；④若α⊥β,m⊥β，m?α,則m∥α;⑤若α⊥β，m∥α，則m⊥β。其中正確命題的個數(shù)為(）A．1B．2C．3D．4答案B解析根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；②中,α,β可能平行，也可能相交，不正確；③中，m還可能在α內(nèi)或m∥α或m與α斜交,不正確；④中，α⊥β，m⊥β，m?α?xí)r，只可能有m∥α，正確；⑤中，m與β的位置關(guān)系可能是m∥β或m?β或m與β相交，不正確．綜上，可知正確命題的個數(shù)為2，故選B。2．下列說法錯誤的是（)A．若直線a∥平面α，直線b∥平面α，則直線a不一定平行于直線bB．若平面α不垂直于平面β，則α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，則α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，則l一定垂直于平面v答案C解析C錯誤，平面α⊥平面β，在平面α內(nèi)，平行于α，β交線的直線和平面β平行．3．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(）A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部答案A解析連接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A。4．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，現(xiàn)將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則三棱錐A－BCD的體積為________．答案eq\f(\r(2）,6）解析作AH⊥BD于H,∵平面ABD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD。易得∠BDC＝90°.由AB＝AD＝1,得BD＝eq\r（2），則CD＝eq\r(2）。AH＝ABsin45°＝eq\f(\r（2)，2)，∴VA－BCD＝eq\f（1,3)S△BCD·AH＝eq\f（1,3）×eq\f（1,2)×eq\r(2）×eq\r（2）×eq\f(\r（2）,2）＝eq\f(\r(2)，6).知識點二平面與平面垂直的應(yīng)用5．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD＝2eq\r（3），AB＝2，AD＝4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD。求證:AB⊥DE。證明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2eq\r（3），∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD。∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE。6．如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E為AA1的中點．求證：平面B1EC⊥平面BCC1B1。證明如圖,取BC，B1C的中點分別為F，G，連接AF，EG，F(xiàn)G，由E,F，G分別為AA1，BC,B1C的中點，知FG綊eq\f(1,2)BB1綊AE，所以四邊形AEGF為平行四邊形,所以AF∥EG.在直三棱柱中，由平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，所以EG⊥平面BCC1B1。又EG?平面B1EC，所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.

一、選擇題1．若兩個平面互相垂直,在第一個平面內(nèi)的一條直線a垂直于第二個平面內(nèi)的一條直線b，那么（)A．直線a垂直于第二個平面B．直線b垂直于第一個平面C．直線a不一定垂直于第二個平面D．過a的平面必垂直于過b的平面答案C解析直線a與直線b均不一定垂直兩面的交線．2．下列命題錯誤的是(）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面β,α∩β＝l，l⊥m，那么m不一定垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案D解析A中結(jié)合正方體，可知此命題正確；B中，若平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，則根據(jù)面面垂直的判定定理可知兩平面垂直，故此命題正確；C中,當(dāng)m?α?xí)r，m⊥β，當(dāng)m?α?xí)r，m可能在β內(nèi)，也可能與β斜交或平行，故m不一定垂直于平面β；D中,舉反例，教室側(cè)墻面與地面垂直，而側(cè)墻面內(nèi)有很多直線是不垂直于地面的，故此命題錯誤．故選D.3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的射影可能是(）A．②③B．①②C．①③D．①④答案D解析上下面射影選①,前后左右面射影選④.4．如圖,在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r（2),BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成三棱錐A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，在三棱錐A－BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．AC⊥BDB．∠BAC＝90°C．CA與平面ABD所成的角為30°D．三棱錐A－BCD的體積為eq\f（1,3)答案B解析在三棱錐A－BCD中，取BD的中點O,連接AO，OC。∵AB＝AD,∴AO⊥BD。又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD,∴AO⊥平面BCD.∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD。假設(shè)AC⊥BD，又AC∩AO＝A，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥OC，與OC不垂直于BD矛盾,∴AC不垂直于BD，A錯誤．∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD，∴AC＝eq\r（2）.∵AB＝1，BC＝eq\r（BD2＋CD2）＝eq\r（3）,∴AB2＋AC2＝BC2,∴AB⊥AC，B正確．∠CAD為直線CA與平面ABD所成的角,∠CAD＝45°，C錯誤．VA－BCD＝eq\f(1，3)S△ABD·CD＝eq\f（1,6），D錯誤．故選B.5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB＝BC，AD＝CD,則BD與CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直答案C解析如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝BC,AD＝CD?！郆D⊥AC?！咂矫鍭A1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C。又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故選C。二、填空題6。如圖，在三棱錐P－ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°,PA＝1，AB＝2，則PB＝________.答案eq\r（5）解析∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC),∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2）＝eq\r（1＋4)＝eq\r(5).7．已知m,n為直線,α，β為空間的兩個平面．給出下列命題：①eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n））?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m?α,,n?β，，α∥β））?m∥n；③eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m⊥α，，m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m⊥β，，n⊥β)）?m∥n。其中正確的命題為________(填序號）．答案③④解析對于①，會有n?α的情況,因此不正確；對于②，會有m,n異面的情況，因此不正確；容易驗證③④都是正確的．故填③④.8．如圖，四面體P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________。答案13解析取AB的中點E,連接PE，EC?！摺螦CB＝90°，AC＝8,BC＝6，∴AB＝10,∴CE＝5?！逷A＝PB＝13，E是AB的中點，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE?平面ABC，∴PE⊥CE。在Rt△PEC中，PC＝eq\r(PE2＋CE2）＝13。三、解答題9.如圖，三棱錐P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PAC＝90°,平面PAC⊥平面ABC。求證：平面PAB⊥平面PBC。證明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC,∴PA⊥平面ABC。又BC?平面ABC，∴PA⊥BC。又AB⊥BC,AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10．如圖,在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．求證：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD。證明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD，PA⊥AD,∴PA⊥底面ABCD。（2）∵AB∥CD,CD＝2AB,E是CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE。∴四邊形AB