2020高中數(shù)學(xué) 第4章 函數(shù)應(yīng)用 1 函數(shù)與方程 1.2 利用二分法求方程的近似解學(xué)案 1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2利用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。根據(jù)具體函數(shù)的圖像，借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解．（重點)2。學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過程和方法．(難點）1.通過具體函數(shù)圖像，借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。2.通過學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過程和方法,提升直觀想像、邏輯推理素養(yǎng)。利用二分法求方程的近似解閱讀教材P117～P119整節(jié)課的內(nèi)容，完成下列問題．（1）二分法的概念對于圖像在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿足f（a)·f（b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，每次取區(qū)間的中點,將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法．(2）用二分法求方程的近似解的過程在圖中：“初始區(qū)間”是一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間；“M”的含義是：取新區(qū)間，一個端點是原區(qū)間的中點,另一端是原區(qū)間兩端點中的一個,新區(qū)間兩端點的函數(shù)值反號；“N”的含義是：方程解滿足要求的精度；“P”的含義是:選取區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)作為方程的近似解．思考：用二分法求函數(shù)近似零點時，函數(shù)應(yīng)滿足哪些條件？[提示］(1)f（x)在區(qū)間[a，b]上的圖像連續(xù)；（2)在區(qū)間[a，b］端點的函數(shù)值f(a）·f(b）〈0.1．下列函數(shù)圖像與x軸均有交點，其中能用二分法求零點的是()C［C中函數(shù)的零點是變號零點,故選C.］2．在用二分法求函數(shù)f（x）的一個零點時,經(jīng)計算，f(0.64)＜0，f（0.72）＞0，f（0。68）＜0，若精確度為0.1，則函數(shù)f（x)的零點近似值可為（）A．0。64 B．0。65C．0.70 D．0.73C［∵f（0.72）>0，f(0。68)<0，∴f（x）在（0。68,0.72）內(nèi)至少有一個零點，又|0。72－0。68｜〈0。1，故其零點的近似值可為0.70。]3．在下面給出的四個函數(shù)中，需要用二分法求其零點的是________．①y＝x＋π；②y＝3x－1；③y＝lnx；④y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）x－x。④［①②③可直接解出來，不需要用二分法去求,而④無法直接解出來，故應(yīng)填④。］4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在區(qū)間（1，3)內(nèi)的根．如果取區(qū)間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區(qū)間是________．（1，2）[令f（x)＝2x＋log2x－4，則f（1）＝－2<0，f（2）＝1>0，由零點存在性定理知，f（x)在區(qū)間（1,2)內(nèi)至少存在一個零點．所以，下一個有根的區(qū)間是（1，2）．］二分法概念的理解【例1】下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是（)ABCD［思路探究］eq\x(零點附近連續(xù))→eq\x（零點左右函數(shù)值異號）A[按定義，f（x）在[a,b］上是連續(xù)的，且f(a）·f（b）＜0,才能不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二,進(jìn)而利用二分法求出函數(shù)的零點．故結(jié)合各圖像可得選項B、C、D滿足條件，而選項A不滿足,在A中,圖像經(jīng)過零點x0時，函數(shù)值不變號，因此不能用二分法求解．故選A。］1．準(zhǔn)確理解“二分法"的含義．二分就是平均分成兩部分．二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點的方法，找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點．2．“二分法”與判定函數(shù)零點的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖像在零點附近連續(xù)且在該零點左右函數(shù)值異號才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點．1．(1)下列函數(shù)中,能用二分法求零點的為()ABCD（2）用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b］內(nèi)的零點時，需要的條件是（)①f(x)在區(qū)間［a，b]是連續(xù)不斷的;②f（a）·f(b)＜0；③f（a）·f(b)＞0;④f（a)·f（b）≥0。A．①② B．①③C．①④ D．①②③（1)B(2）A［(1)函數(shù)圖像連續(xù)不斷,函數(shù)零點附近的函數(shù)值異號，這樣的函數(shù)零點才能使用二分法求解，觀察四個函數(shù)圖像，只有B選項符合．（2）由二分法的意義，知選A。]利用二分法求方程的近似解【例2】求方程lgx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)x－1的近似解（精度為0.1)．［解]如圖所示，由函數(shù)y＝lgx與y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））x－1的圖像可知，方程lgx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)x－1有唯一實數(shù)解，且在區(qū)間［0,1］內(nèi)．設(shè)f（x)＝lgx－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2））)x＋1，f(1)＝eq\f（1,2)>0，用計算器計算，列表如下:取值區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值區(qū)間長度（0,1）0.5－0。00811(0.5,1)0.750.28050.5(0.5，0。75)0.6250。14750。25(0.5,0.625)0.56250。07300.125由于區(qū)間(0。5,0.625)的長度為0。125<0.2，此時該區(qū)間中點0.5625與真正零點的誤差不超過0.1，所以函數(shù)f（x）的零點近似值為0。5625，即方程lgx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))x－1的近似解為x≈0.5625.用二分法求方程的近似解，首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)給定的精度,及時檢驗所得區(qū)間端點的近似值是否達(dá)到要求達(dá)到給定的精度，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算。2．利用計算器，求方程lgx＝2－x的近似解．(精度為0。1)［解］作出y＝lgx，y＝2－x的圖像，可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx＝2－x有唯一解,記為x0,并且解在區(qū)間[1，2]內(nèi)．用二分法求解，列表如下：設(shè)f（x）＝lgx＋x－2中點值中點(端點)函數(shù)值取值區(qū)間f（1)<0,f（2）〉0(1，2）x1＝eq\f（1＋2,2)＝1.5f(1.5)<0（1。5,2)x2＝eq\f(1.5＋2，2）＝1。75f（1.75)<0（1。75，2）x3＝eq\f(1.75＋2，2)＝1。875f（1.875）〉0(1.75，1。875)x4＝eq\f(1.75＋1.875，2)＝1.8125f(1。8125)〉0（1.75,1.8125)因為｜1.8125－1.75｜〈0。1，所以原方程的近似解為1。8125。有解區(qū)間的選取與二分次數(shù)的確定［探究問題］1．利用二分法求方程log2x＋x－2＝0的近似解時，如何選取初始區(qū)間？提示：由log2x＋x－2＝0，得log2x＝－x＋2。畫出函數(shù)y＝log2x與y＝－x＋2的圖像．則兩圖像的交點的橫坐標(biāo)即為方程的解．根據(jù)交點的位置，可選取有解區(qū)間［1，2］．2．對于探究1中的問題，若選取有解區(qū)間［1,2］,精度為0。01，則二分的次數(shù)最少為多少次？提示：由eq\f（|2－1|，2n)≤0.01，得2n≥100。又26<100,27>100,故至少二分7次．【例3】指出方程x3－x－1＝0的根所在的長度不超過1的大致區(qū)間．［思路探究]可先畫出方程所對應(yīng)的函數(shù)圖像，觀察其交點位置,確定有解區(qū)間．[解]方程x3－x－1＝0,即x3＝x＋1.令F(x）＝x3－x－1，f(x)＝x3,g（x)＝x＋1。在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)與g(x）的圖像如下圖，顯然它們只有1個交點．兩函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)就是方程的解．又F(1）＝－1〈0，F(xiàn)（2）＝5〉0，所以方程x3－x－1＝0的根在區(qū)間（1，2)內(nèi)．（變條件、變結(jié)論）對于本例的方程,若選取有解區(qū)間是［1,2]，精度為0.001.試求需要二分的最少次數(shù)？[解]設(shè)二分的次數(shù)為n，則eq\f（|2－1｜,2n)≤0。001，2n≥1000,又29〈1000，210〉1000.且y＝2n是遞增的．則最少二分的次數(shù)為10.1．在用二分法求方程解的過程中，初始區(qū)間的選取,往往需要通過分析函數(shù)的性質(zhì)和試驗估計．初始區(qū)間可以選的不同，不影響最終計算結(jié)果，只是取不同的初始區(qū)間，其計算有簡繁之分．2．為了更清楚地發(fā)現(xiàn)方程的近似解所在的區(qū)間，最好將各區(qū)間的端點，端點處的函數(shù)值以及區(qū)間長度列在一個表格中．1．二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，直至找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精度,用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點．2．并非所有函數(shù)都可以用二分法求出其零點,只有滿足：(1）函數(shù)圖像在區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷；（2）f(a）·f(b)<0。上述兩條的函數(shù)，方可采用二分法求得零點的近似值.1．思考辨析(1)任何函數(shù)的零點都可以用二分法求得．（）(2）用二分法求出的方程的根都是近似解．（）(3）當(dāng)方程的有解區(qū)間［a，b］的區(qū)間長度b－a≤ε(精度）時,區(qū)間（a，b）內(nèi)任意一個數(shù)都是滿足精度ε的近似解．（）［答案］(1)×（2）×（3）√2．用二分法求函數(shù)f（x)＝3x－7的零點時，初始區(qū)間可選為()A．(－1，0） B．（0，1)C．（1，2) D．（2，3)C[f（－1）＝3－1－7＝eq\f(1，3）－7＝－eq\f（20,3）＜0,f(0）＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0，f（1)＝31－7＝－4<0，f(2）＝32－7＝9－7＝2＞0，故函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間（1，2)上，故初始區(qū)間可選為（1,2)．］3．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參考數(shù)據(jù)如下：f(1）＝－2f(1.5）＝0。625f(1。25）＝－0.984f(1.375）＝－0。260f（1.4375）＝0。162f(1.40625)＝－0。054那么函數(shù)零點的一個近似解（精度為0.1)為()A．1.25 B．1。375C．1。40625 D．1.5C[根據(jù)題意知函數(shù)的零點在1。40625至1.4375之間，又｜1.4375－1.40625｜＝0。03125<0。1，故方程的一個近似解為1.40625，故選C.］4．用二分法求2x＋x＝4在區(qū)間［1，2]內(nèi)的近似解（精度為0。2）．參考數(shù)據(jù)：x1。1251.251。3751.51。6251。7