函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件

§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值要點(diǎn)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2

基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值要點(diǎn)梳理增函數(shù)減函數(shù)1定義當(dāng)x1<x2時(shí),都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是___________自左向右看圖象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的當(dāng)x1<x2時(shí),都有當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）<f(x22(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是________或________，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，________叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D(2)單調(diào)區(qū)間的定義增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D32.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①對(duì)于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.結(jié)論M為最大值M為最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存4基礎(chǔ)自測(cè)1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是()A.y=-x+1B.y=

C.y=x2-4x+5D.

解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分別為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可以看出在（0，2）上都是減函數(shù).B基礎(chǔ)自測(cè)B52.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0的根（）A.有且只有一個(gè)B.有2個(gè)C.至多有一個(gè)D.以上均不對(duì)

解析∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴對(duì)任意x1,x2∈R,若x1<x2,則f(x1)<f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,則x0只有一個(gè).若對(duì)任意x∈R都無f(x)=0,則f(x)=0無根.C2.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=063.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

解析由已知條件：不等式等價(jià)于解得-1<x<1,且x≠0.C3.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足74.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則()A.B.C.D.

解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù),則2k+1<0，即

D4.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則85.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以下幾個(gè)命題：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)的命題為________.

解析依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對(duì)于①③，當(dāng)自變量增大時(shí)，相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以①③可推出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù).①③5.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以9題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1】已知函數(shù)

證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義.（2）用導(dǎo)數(shù)法.

證明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,思維啟迪題型分類深度剖析題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷思維啟迪題型分類深度剖析10又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件11方法二

求導(dǎo)數(shù)得∵a>1,∴當(dāng)x>-1時(shí)，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).

對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步驟為取點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解.可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.探究提高方法二探究提高12知能遷移1

試討論函數(shù)x∈(-1,1)的單調(diào)性（其中a≠0）.

解方法一根據(jù)單調(diào)性的定義求解.設(shè)-1<x1<x2<1,∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.知能遷移1試討論函數(shù)x∈(-1,13因此，當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù).方法二函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件14當(dāng)a>0時(shí)，∵-1<x<1,即f′(x)<0,此時(shí)f（x)在（-1，1）上為減函數(shù).同理，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在（-1，1）上為增函數(shù).綜上可知，a>0時(shí)，f（x)在（-1，1）上為減函數(shù)；a<0時(shí)，f(x)在（-1，1）上為增函數(shù).函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件15題型二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)f(x)=log2(x2-2x-3)，則使f(x)為減函數(shù)的區(qū)間是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）

先求得函數(shù)的定義域,然后再結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行考慮.

解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線x=1知,在對(duì)稱軸左邊函數(shù)y=x2-2x-3是減函數(shù)，所以在區(qū)間（-∞，-1）上是減函數(shù),由此可得D項(xiàng)符合.故選D.思維啟迪D題型二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性思維啟迪D16（1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為“同增異減”，即f(u)與g(x)有相同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為減函數(shù).（2）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：①求出復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)并判斷其單調(diào)性；③把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；④根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性.探究提高（1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而探17知能遷移2

函數(shù)y=的遞減區(qū)間為（）A.(1,+∞)B.C.D.

解析作出t=2x2-3x+1的示意圖如圖所示，∵0<<1,∴遞減.要使遞減,

t應(yīng)該大于0且遞增,故x∈(1,+∞).A知能遷移2函數(shù)y=的遞減區(qū)18題型三函數(shù)的單調(diào)性與最值【例3】已知函數(shù)x∈[1,+∞).(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的最小值;(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第(1)問可先證明函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對(duì)于第(2)問可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的問題來解決.思維啟迪題型三函數(shù)的單調(diào)性與最值思維啟迪19解

設(shè)1≤x1<x2,則f(x2)-f(x1)=∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=(2)在區(qū)間[1,+∞)上f(x)>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.解20設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),則函數(shù)y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù).∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>-3.

要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運(yùn)用,(1)中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值;(2)中用函數(shù)的最值解決恒成立問題.在(2)中，還可以使用分離參數(shù)法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.探究提高設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),探究提高21知能遷移3已知函數(shù)(a>0,x>0),(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);(2)若f(x)在上的值域是求a的值.(1)證明

設(shè)x2>x1>0,則x2-x1>0,x1x2>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.知能遷移3已知函數(shù)(a>0,x>22函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件23題型四函數(shù)單調(diào)性與不等式【例4】(12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

問題(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,所以要用單調(diào)性的定義.問題(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”,為此需將右邊常數(shù)3看成某個(gè)變量的函數(shù)值.思維啟迪題型四函數(shù)單調(diào)性與不等式思維啟迪24解（1）設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.2分f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.5分∴f（x2）>f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù).6分解（1）設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,25（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，8分∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2<2,10分解得-1<m<,故解集為12分

f(x)在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）具有單調(diào)性，則f(x1)<f(x2)f(x1)-f(x2)<0,若函數(shù)是增函數(shù),則f(x1)<f(x2)x1<x2,函數(shù)不等式（或方程）的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式（或方程）求解，但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.探究提高（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，26知能遷移4已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

解（1）令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.知能遷移4已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)27（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,則由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0,所以即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）由=f(x1)-f(x2)得=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<-9}.（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,則281.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)f(x)在其區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是（1）設(shè)x1、x2是該區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），然后變形；（3）判定f（x1）-f（x2）的符號(hào)；（4）根據(jù)定義作出結(jié)論.方法與技巧思想方法感悟提高方法與技巧思想方法感悟提高292.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其定義域的子集;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本

初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用方法有：根據(jù)定義，利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)],若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b))或者(g(b),

g(a))上是單調(diào)函數(shù),若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減),則y=f[g(x)]為增函數(shù);若t=g(x)與

y=f(t)的單調(diào)性相反,則y=f[g(x)]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱為:同增異減.2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間301.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.單調(diào)區(qū)間要分開寫,即使在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同,也不能用并集表示.2.兩函數(shù)f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(減)函數(shù),則

f(x)+g(x)也為增(減)函數(shù),但f(x)·g(x),等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比.失誤與防范失誤與防范31一、選擇題1.若函數(shù)y=ax與在(0,+∞)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增解析∵y=ax與在(0,+∞)上都是減函數(shù),∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的對(duì)稱軸方程

∴y=ax2+bx在（0，+∞）上為減函數(shù).B定時(shí)檢測(cè)B定時(shí)檢測(cè)322.函數(shù)（a>0且a≠1）是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.（0，1）B.C.D.

解析據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：BB333.下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是()A.y=sinxB.y=-log2xC.

D.

解析∵y=sinx在上是增函數(shù)，∴y=sinx在（0，1）上是增函數(shù).A3.下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是()344.(2009·天津)已知函數(shù)

若f(2-a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞,-1）∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析由f(x)的圖象可知f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),由f(2-a2)>

f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.CC355.若函數(shù)f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)在其定義域上是()A.單調(diào)遞減的偶函數(shù)B.單調(diào)遞減的奇函數(shù)C.單調(diào)遞增的偶函數(shù)D.單調(diào)遞增的奇函數(shù)

解析

f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)=-x3(x∈R)顯然在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的奇函數(shù).B5.若函數(shù)f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)在366.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.B.C.D.解析函數(shù)f(x)的定義域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4的減區(qū)間為∵e>1,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為D6.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(37二、填空題7.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+mx+3(x∈R)是偶函數(shù)，則

f(x)的單調(diào)減區(qū)間是________.

解析∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴(m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3，∴m=0.這時(shí)f(x)=-x2+3，∴單調(diào)減區(qū)間為[0，+∞).[0,+∞)二、填空題[0,+∞)388.若函數(shù)在區(qū)間(m，2m+1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則m∈________.

解析∵令f′(x)>0,得-1<x<1,∴f(x)的增區(qū)間為（-1，1）.又∵f(x)在（m，2m+1）上單調(diào)遞增，∵區(qū)間（m，2m+1）中2m+1>m,∴m>-1.綜上，-1<m≤0.(-1,0]8.若函數(shù)在區(qū)間(m，2m+1)上是單399.已知定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈D,存在正數(shù)K，都有|f(x)|≤K成立，則稱函數(shù)f(x)是D上的“有界函數(shù)”.已知下列函數(shù):①f(x)=2sinx;②f(x)=③f(x)=1-2x;④其中是“有界函數(shù)”的是______.（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào)）9.已知定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈D,存在正40解析

①中|f（x）|=|2sinx|≤2,②中|f（x）|≤1;④當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0，總之，|f(x)|≤③f(x)<1,∴|f（x）|→+∞,故填①②④.答案

①②④解析①中|f（x）|=|2sinx|≤2,②中|f（x41三、解答題10.判斷f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上的單調(diào)性.

解∵-1<1,f（-1）=-1<f(1)=1,∴f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)上不是減函數(shù).∵-2<-1,f(-2)=>f(-1)=-1,∴f(x)在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是增函數(shù).∴f（x）在（-∞，0）∪(0,+∞)上不具有單調(diào)性.三、解答題4211.已知（1）若a=-2,試證f(x)在（-∞,-2）內(nèi)單調(diào)遞增；（2）若a>0且f(x)在（1,+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.（1）證明任設(shè)x1<x2<-2,則f(x1)-f(x2)=∵(x1+2）(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞增.11.已知43（2）解任設(shè)1<x1<x2,則∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.綜上所述知0<a≤1.（2）解任設(shè)1<x1<x2,則4412.f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù),且=

f(x)-f(y).（1）求f(1)的值；（2）若f(6)=1,解不等式

解（1）令x=y,得f(1)=0.12.f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù),且45(2)由x+3>0及得x>0,由f(6)=1及

得f[x(x+3)]<2f(6),即f[x(x+3)]-f(6)<f(6),亦即

因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以

解得綜上所述，不等式的解集是返回(2)由x+3>0及得x>0,返回46§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值要點(diǎn)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2

基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值要點(diǎn)梳理增函數(shù)減函數(shù)47定義當(dāng)x1<x2時(shí),都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是___________自左向右看圖象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的當(dāng)x1<x2時(shí),都有當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）<f(x248(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是________或________，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，________叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D(2)單調(diào)區(qū)間的定義增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D492.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①對(duì)于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.結(jié)論M為最大值M為最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存50基礎(chǔ)自測(cè)1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是()A.y=-x+1B.y=

C.y=x2-4x+5D.

解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分別為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可以看出在（0，2）上都是減函數(shù).B基礎(chǔ)自測(cè)B512.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0的根（）A.有且只有一個(gè)B.有2個(gè)C.至多有一個(gè)D.以上均不對(duì)

解析∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴對(duì)任意x1,x2∈R,若x1<x2,則f(x1)<f(x2),反之亦成立.故若存在f(x0)=0,則x0只有一個(gè).若對(duì)任意x∈R都無f(x)=0,則f(x)=0無根.C2.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0523.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

解析由已知條件：不等式等價(jià)于解得-1<x<1,且x≠0.C3.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足534.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則()A.B.C.D.

解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù),則2k+1<0，即

D4.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則545.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以下幾個(gè)命題：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)的命題為________.

解析依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對(duì)于①③，當(dāng)自變量增大時(shí)，相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以①③可推出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù).①③5.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以55題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1】已知函數(shù)

證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義.（2）用導(dǎo)數(shù)法.

證明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,思維啟迪題型分類深度剖析題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷思維啟迪題型分類深度剖析56又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件57方法二

求導(dǎo)數(shù)得∵a>1,∴當(dāng)x>-1時(shí)，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).

對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步驟為取點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解.可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.探究提高方法二探究提高58知能遷移1

試討論函數(shù)x∈(-1,1)的單調(diào)性（其中a≠0）.

解方法一根據(jù)單調(diào)性的定義求解.設(shè)-1<x1<x2<1,∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.知能遷移1試討論函數(shù)x∈(-1,59因此，當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù).方法二函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件60當(dāng)a>0時(shí)，∵-1<x<1,即f′(x)<0,此時(shí)f（x)在（-1，1）上為減函數(shù).同理，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在（-1，1）上為增函數(shù).綜上可知，a>0時(shí)，f（x)在（-1，1）上為減函數(shù)；a<0時(shí)，f(x)在（-1，1）上為增函數(shù).函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件61題型二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)f(x)=log2(x2-2x-3)，則使f(x)為減函數(shù)的區(qū)間是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.（-3,-1）

先求得函數(shù)的定義域,然后再結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行考慮.

解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線x=1知,在對(duì)稱軸左邊函數(shù)y=x2-2x-3是減函數(shù)，所以在區(qū)間（-∞，-1）上是減函數(shù),由此可得D項(xiàng)符合.故選D.思維啟迪D題型二復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性思維啟迪D62（1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為“同增異減”，即f(u)與g(x)有相同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為減函數(shù).（2）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：①求出復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)并判斷其單調(diào)性；③把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；④根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性.探究提高（1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而探63知能遷移2

函數(shù)y=的遞減區(qū)間為（）A.(1,+∞)B.C.D.

解析作出t=2x2-3x+1的示意圖如圖所示，∵0<<1,∴遞減.要使遞減,

t應(yīng)該大于0且遞增,故x∈(1,+∞).A知能遷移2函數(shù)y=的遞減區(qū)64題型三函數(shù)的單調(diào)性與最值【例3】已知函數(shù)x∈[1,+∞).(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的最小值;(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第(1)問可先證明函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對(duì)于第(2)問可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的問題來解決.思維啟迪題型三函數(shù)的單調(diào)性與最值思維啟迪65解

設(shè)1≤x1<x2,則f(x2)-f(x1)=∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=(2)在區(qū)間[1,+∞)上f(x)>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.解66設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),則函數(shù)y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù).∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>-3.

要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運(yùn)用,(1)中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值;(2)中用函數(shù)的最值解決恒成立問題.在(2)中，還可以使用分離參數(shù)法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.探究提高設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),探究提高67知能遷移3已知函數(shù)(a>0,x>0),(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);(2)若f(x)在上的值域是求a的值.(1)證明

設(shè)x2>x1>0,則x2-x1>0,x1x2>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.知能遷移3已知函數(shù)(a>0,x>68函數(shù)的最大值和最小值的求解方法課件69題型四函數(shù)單調(diào)性與不等式【例4】(12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

問題(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,所以要用單調(diào)性的定義.問題(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”,為此需將右邊常數(shù)3看成某個(gè)變量的函數(shù)值.思維啟迪題型四函數(shù)單調(diào)性與不等式思維啟迪70解（1）設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.2分f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.5分∴f（x2）>f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù).6分解（1）設(shè)x1,x2∈R，且x1<x2,71（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，8分∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2<2,10分解得-1<m<,故解集為12分

f(x)在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）具有單調(diào)性，則f(x1)<f(x2)f(x1)-f(x2)<0,若函數(shù)是增函數(shù),則f(x1)<f(x2)x1<x2,函數(shù)不等式（或方程）的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式（或方程）求解，但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.探究提高（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，72知能遷移4已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.（1）求f(1)的值；（2）判斷f(x）的單調(diào)性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

解（1）令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.知能遷移4已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)73（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,則由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0,所以即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).（3）由=f(x1)-f(x2)得=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<-9}.（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1>x2,則741.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)f(x)在其區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是（1）設(shè)x1、x2是該區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），然后變形；（3）判定f（x1）-f（x2）的符號(hào)；（4）根據(jù)定義作出結(jié)論.方法與技巧思想方法感悟提高方法與技巧思想方法感悟提高752.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其定義域的子集;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本

初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用方法有：根據(jù)定義，利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)],若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b))或者(g(b),

g(a))上是單調(diào)函數(shù),若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減),則y=f[g(x)]為增函數(shù);若t=g(x)與

y=f(t)的單調(diào)性相反,則y=f[g(x)]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱為:同增異減.2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間761.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.單調(diào)區(qū)間要分開寫,即使在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同,也不能用并集表示.2.兩函數(shù)f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(減)函數(shù),則

f(x)+g(x)也為增(減)函數(shù),但f(x)·g(x),等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比.失誤與防范失誤與防范77一、選擇題1.若函數(shù)y=ax與在(0,+∞)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增解析∵y=ax與在(0,+∞)上都是減函數(shù),∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的對(duì)稱軸方程

∴y=ax2+bx在（0，+∞）上為減函數(shù).B定時(shí)檢測(cè)B定時(shí)檢測(cè)782.函數(shù)（a>0且a≠1）是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.（0，1）B.C.D.

解析據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：BB793.下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是()A.y=sinxB.y=-log2xC.

D.

解析∵y=sinx在上是增函數(shù)，∴y=sinx在（0，1）上是增函數(shù).A3.下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是()804.(2009·天津)已知函數(shù)

若f(2-a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞,-1）∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析由f(x)的圖象可知f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),由f(2-a2)>

f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.CC815.若函數(shù)f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)在其定義域上是