2023屆廣西南寧市高三上學(xué)期摸底測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆廣西南寧市高三上學(xué)期摸底測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集、補(bǔ)集的定義，直接求解.【詳解】，，則，全集，則故選：D2．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，.故選：B3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，計(jì)算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積（弦×矢＋矢2）．弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x（等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差），現(xiàn)有一弧田圓心角為120°，半徑為4的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解直角三角形可得弦、矢的值，求出弧田面積.【詳解】如圖：由題意可得，，在中，可得，，，可得矢，由，可得弦，所以弧田面積（弦矢矢．故選：A4．某一棱錐的三視圖如圖所示，則其側(cè)面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖還原其直觀圖，然后可算出答案.【詳解】由三視圖可得該棱錐為四棱錐，其直觀圖如下：其中底面是矩形，頂點(diǎn)在底面的投影是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，所以所以，所以其側(cè)面積為故選：C5．若函數(shù)的極值點(diǎn)是1，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用求得，進(jìn)而求出.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意，得，即，解得，即，則.故選：B.6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用導(dǎo)函數(shù)得到時(shí)，恒成立，排除A，選出正確答案.【詳解】的定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，排除CD；令，，則恒成立，故當(dāng)時(shí)，，又在上恒成立，所以在上恒成立，排除A，B選項(xiàng)正確.,故選：B7．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上，若直線與平面所成的角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)確定線面角且求，進(jìn)而求出長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)知面，故為直線與平面所成的角的平面角，所以，則，可得，如下圖示，所以在中，符合題設(shè).故選：B8．兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，小圓錐半徑為、高為，大圓錐半徑為，高為，根據(jù)側(cè)面積之比可得，再由圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的公式得到，利用勾股定理得到關(guān)于的表達(dá)式，從而將兩個(gè)圓錐的體積都表示成的表達(dá)式，求出它們的比值即可.【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個(gè)圓錐的體積之比為：.故選：A.9．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)滿足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，即可得到，從而得到，再根據(jù)，轉(zhuǎn)化為的一元二次方程，解得即可.【詳解】解：依題意，，，所以，又，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去）；故選：B10．已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用輔助角公式得到，設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，再結(jié)合圖象進(jìn)行求解.【詳解】，令，由，則；因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，即在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn).作出的圖象（如圖所示），則，解得，故的取值范圍是.故選：D.11．設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，構(gòu)造且研究單調(diào)性比較大小，構(gòu)造且研究單調(diào)性判斷函數(shù)值符號(hào)比較的大小，即可得結(jié)果.【詳解】由，因?yàn)?，，則，，令且，則，則遞減，所以，即，則，故；因?yàn)?，，由，令且，則，則遞增；故，，而，所以，則，即，綜上，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用中間值得到，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較，作差法并構(gòu)造研究函數(shù)值符號(hào)比較大小.二、多選題12．PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，下圖是某地9月1日至10日的PM2.5日均值（單位：）的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說法錯(cuò)誤的是（

）A．眾數(shù)為30 B．中位數(shù)為31.5C．平均數(shù)小于中位數(shù) D．后4天的方差小于前4天的方差【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)中30出現(xiàn)了2次，其他數(shù)均出現(xiàn)了1次，故眾數(shù)為30；將數(shù)據(jù)排序，得到第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，B正確；計(jì)算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而判斷出C錯(cuò)誤；法一：根據(jù)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和分散情況，得到D正確；法二：計(jì)算出后4天的方差和前4天的方差，從而作出判斷.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序，依次為17，25，30，30，31，32，34，38，42，126，30出現(xiàn)了2次，其他數(shù)均出現(xiàn)了1次，故眾數(shù)為30，A正確；第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，B正確；平均數(shù)為，，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，C錯(cuò)誤；法一：從圖象可以看出后4天的數(shù)據(jù)更加集中，前4天的數(shù)據(jù)更加分散，故后4天的方差小于前4天的方差，D正確.法二：可通過計(jì)算驗(yàn)證，如下：后4天的平均數(shù)為，故后4天的方差為，前4天的平均數(shù)為，故前4天的方差為，因?yàn)?，故?天的方差小于前4天的方差，D正確.故選：ABD三、填空題13．已知向量與的夾角為，，，則______．【答案】【分析】由化簡(jiǎn)后結(jié)合已知條件求解即可,【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，，，所以，故答案為：14．若雙曲線的漸近線被圓所截的弦長(zhǎng)為2，則的值為______．【答案】【分析】圓的半徑和弦長(zhǎng)已知，可求圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線距離公式解得的值【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，圓的圓心為，半徑為，漸近線被圓所截的弦長(zhǎng)為2，有圓心到漸近線距離，解得，故答案為：15．從正方體的頂點(diǎn)及其中心共9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為______．【答案】【分析】由正方體性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)求出所有共面的4個(gè)點(diǎn)的選法，而所有可能情況有種，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】如下圖，選正方體6個(gè)側(cè)面上的頂點(diǎn)，共有6種共面的情況；過中心的平面共有6個(gè)平面，每個(gè)平面含9個(gè)點(diǎn)中的5個(gè)，則共有種；所有可能情況有種，所以這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.故答案為：16．已知中，點(diǎn)在邊上，，，，當(dāng)取最大值時(shí)，______．【答案】1【分析】三角形中用余弦定理求得各邊之間的關(guān)系,利用基本不等式求取最大值和取最大值的條件.求得此時(shí)的.【詳解】設(shè)，，，則，，在中，由余弦定理，有，在中，由余弦定理，有，由和互補(bǔ)，所以，即，化簡(jiǎn)得，在中，由余弦定理，有，即兩式消去t，得，即，由基本不等式，，∴，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.∴的最大值為，由，解得此時(shí)，即.故答案為：1四、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：且數(shù)列最小項(xiàng)為．(1)求的取值范圍；(2)若，設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的前15項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用的二次函數(shù)的性質(zhì)有時(shí)最小，結(jié)合已知即可求范圍；（2）由（1）得，根據(jù)關(guān)系求得，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】(1)由題設(shè)，，則時(shí)最小，而最小項(xiàng)為，所以，則.(2)由（1）及，則，則由，且，顯然也滿足，所以，則，故.所以.18．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面．(1)證明：；(2)求直線與面所成角的正弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連，易得為正方形，為等腰直角三角形，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)有平面，最后由線面垂直的性質(zhì)證結(jié)論.（2）連接，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】(1)取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，因?yàn)槊婷?，面面，面，所以平面，又平面，所?(2)連接，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)直線與面所成角為，則，即直線與面所成角的正弦值為.19．廣西新高考改革方案已正式公布，根據(jù)改革方案，將采用“3+2+1”的高考模式．其中，“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門參加全國(guó)統(tǒng)一考試．選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門．由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際情況，首先在物理和歷史中選擇1門，再?gòu)恼巍⒌乩?、化學(xué)、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”．(1)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求，隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？選擇物理選擇歷史合計(jì)男生4050女生合計(jì)30100(2)該校將從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取2人進(jìn)行訪談，設(shè)選到“選擇歷史”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”；(2)分布列見解析，期望為.【分析】（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷；（2）寫出取值并由超幾何分布計(jì)算對(duì)應(yīng)值的概率，列出分布列，根據(jù)公式求解期望.【詳解】(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整得，選擇物理選擇歷史合計(jì)男生401050女生302050合計(jì)7030100由獨(dú)立性檢驗(yàn)得所以有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”(2)由題意，的取值為.，則的分布列為20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線分別與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)橫坐標(biāo)依次為，，的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在拋物線上，且，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值．【答案】(1)，(2)32【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，且，列方程組求出的值，從而可求出拋物線的方程；（2）設(shè)直線的斜率為，由可得，然后結(jié)合，可得，然后由可得答案.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線的方程為，(2)由題可設(shè)直線的斜率為，因?yàn)椋灾本€的斜率為，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值為32.21．已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最值，即可得的取值范圍；（2）由，可知與至少有一個(gè)大于，假設(shè)，則，求導(dǎo)，可得函數(shù)單調(diào)遞增，所以，證明即可.【詳解】(1)由，即，，所以，設(shè)，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以；(2)由，可知與至少有一個(gè)大于，假設(shè)，則，又，則，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，又在時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．(1)寫出和的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線的距離的最小值．【答案】(1)：，：；(2).【分析】（1）應(yīng)