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永久免費(fèi)組卷搜題網(wǎng)
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4.4兩角和與差的三角函數(shù)
一、選擇題
1.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
答案:B
2.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,則cos(α-β)的值為()
A.1B.-1C.
eq\f(1,2)
D.-
eq\f(1,2)
解析:將已知兩式化為sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.兩式平方相加,有cos(α-β)=-
eq\f(1,2)
.
答案:D
3.tan
eq\f(π,12)
-cot
eq\f(π,12)
等于()
A.4B.-4C.2
eq\r(3)
D.-2
eq\r(3)
解析:原式=
eq\f(sin\f(π,12),cos\f(π,12))
-
eq\f(cos\f(π,12),sin\f(π,12))
=
eq\f(-(cos2\f(π,12)-sin2\f(π,12)),sin\f(π,12)cos\f(π,12))
=
eq\f(-cos\f(π,6),\f(1,2)sin\f(π,6))
=-2
eq\r(3)
.
答案:D
4.已知x∈(-
eq\f(π,2)
,0),cosx=
eq\f(4,5)
,則tan2x等于()
A.
eq\f(7,24)
B.-
eq\f(7,24)
C.
eq\f(24,7)
D.-
eq\f(24,7)
解析:x∈(-
eq\f(π,2)
,0),cosx=
eq\f(4,5)
,∴sinx=-
eq\f(3,5)
,tanx=
eq\f(sinx,cosx)
=-
eq\f(3,4)
.
∴tan2x=
eq\f(2tanx,1-tan2x)
=-
eq\f(24,7)
.
答案:D
二、填空題
5.cos
eq\f(π,5)
cos
eq\f(2,5)
π的值是________.
解析:原式=
eq\f(1,2sin\f(π,5))
·2sin
eq\f(π,5)
cos
eq\f(π,5)
cos
eq\f(2π,5)
=
eq\f(1,4sin\f(π,5))
·2sin
eq\f(2π,5)
cos
eq\f(2,5)
π=
eq\f(1,4sin\f(π,5))
sin
eq\f(4,5)
π=
eq\f(1,4)
.
答案:
eq\f(1,4)
6.若sin(
eq\f(π,4)
-α)=
eq\f(3,5)
,sin(
eq\f(π,4)
+β)=
eq\f(12,13)
,其中0<α<
eq\f(π,4)
,0<β<
eq\f(π,4)
,則cos(α+β)=________.
解析:由已知可得cos(
eq\f(π,4)
-α)=
eq\f(4,5)
,cos(
eq\f(π,4)
+β)=
eq\f(5,13)
.
則cos(α+β)=cos[(
eq\f(π,4)
+β)-(
eq\f(π,4)
-α)]=cos(
eq\f(π,4)
+β)·cos(
eq\f(π,4)
-α)+sin(
eq\f(π,4)
+β)·sin(
eq\f(π,4)
-α)=
eq\f(5,13)
×
eq\f(4,5)
+
eq\f(3,5)
×
eq\f(12,13)
=
eq\f(56,65)
.
答案:
eq\f(56,65)
7.已知α、β均為銳角,且cos(α+β)=sin(α-β),則tanα=________.
解析:根據(jù)已知條件:cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,
cosβ(cosα-sinα)+sinβ(cosα-sinα)=0,即(cosβ+sinβ)(cosα-sinα)=0.
又α、β為銳角,則sinβ+cosβ>0,∴cosα-sinα=0,∴tanα=1.
答案:1
三、解答題
8.求值:(1)
eq\f(sin7°+cos15°sin8°,cos7°-sin15°sin8°)
;(2)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-
eq\r(3)
cos(θ+15°).
解答:(1)原式=
eq\f(sin(15°-8°)+cos15°sin8°,cos(15°-8°)-sin15°sin8°)
=
eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)
=tan15°=tan(45°-30°)=
2-
eq\r(3)
.
(2)令θ+15°=α,則原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-
eq\r(3)
cosα=(
eq\f(1,2)
sinα+
eq\f(\r(3),2)
cosα)+(
eq\f(\r(3),2)
cosα-
eq\f(1,2)
sinα)-
eq\r(3)
cosα=0.
9.已知α為第二象限角,且sinα=
eq\f(\r(15),4)
,求
eq\f(sin(α+\f(π,4)),sin2α+cos2α+1)
的值.
解答:∵α為第二象限角,sinα=
eq\f(\r(15),4)
,∴cosα=-
eq\r(1-sin2α)
=-
eq\f(1,4)
.
∴
eq\f(sin(α+\f(π,4)),sin2α+cos2α+1)
=
eq\f(sinαcos\f(π,4)+cosαsin\f(π,4),2sinαcosα+2cos2α)
=
eq\f(\f(\r(15),4)×\f(\r(2),2)-\f(1,4)×\f(\r(2),2),2×\f(\r(15),4)×(-\f(1,4))+2×(-\f(1,4))2)
=-
eq\r(2)
.
10.(1)已知7sinα=3sin(α+β),求證:2tan
eq\f(2α+β,2)
=5tan
eq\f(β,2)
;
(2)已知sinβ=msin(2α+β),m≠1,求證:tan(α+β)=
eq\f(1+m,1-m)
tanα.
證明:(1)將已知化為7sin(
eq\f(2α+β,2)
-
eq\f(β,2)
)=3sin(
eq\f(2α+β,2)
+
eq\f(β,2)
),即7sin
eq\f(2α+β,2)
cos
eq\f(β,2)
-7cos
eq\f(2α+β,2)
sin
eq\f(β,2)
=3sin
eq\f(2α+β,2)
cos
eq\f(β,2)
+3cos
eq\f(2α+β,2)
sin
eq\f(β,2)
,4sin
eq\f(2α+β,2)
cos
eq\f(β,2)
=10cos
eq\f(2α+β,2)
sin
eq\f(β,2)
,兩邊同除以2cos
eq\f(β,2)
·cos
eq\f(2α+β,2)
,得2tan
eq\f(2α+β,2)
=5tan
eq\f(β,2)
.
(2)將已知化為sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],即sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=msin(α+β)cosα+mcos(α+β)sinα,(1-m)sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα,∵m≠1,∴tan(α+β)=
eq\f(1+m,1-m)
tanα.
1.若α,β∈(0,
eq\f(π,2)
),cos(α-
eq\f(β,2)
)=
eq\f(\r(3),2)
,sin(
eq\f(α,2)
-β)=-
eq\f(1,2)
,則cos(α+β)的值等于()
A.-
eq\f(\r(3),2)
B.-
eq\f(1,2)
C.
eq\f(1,2)
D.
eq\f(\r(3),2)
解析:∵0<α<
eq\f(π,2)
,0<β<
eq\f(π,2)
,∴-
eq\f(π,4)
<α-
eq\f(β,2)
<
eq\f(π,2)
,-
eq\f(π,2)
<
eq\f(α,2)
-β<
eq\f(π,4)
,又cos(α-
eq\f(β,2)
)=
eq\f(\r(3),2)
,sin(
eq\f(α,2)
-β)=-
eq\f(1,2)
,∴
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)=\f(π,6),\f(α,2)-β=-\f(π,6)))
,解得α=β=
eq\f(π,3)
.或
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)=-\f(π,6),,\f(α,2)-β=-\f(π,6),))
α+β=0,舍去.
cos(α+β)=cos
eq\f(2π,3)
=-
eq\f(1,2)
.
答案:B
2.求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.
解答:y=7-
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