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4.4兩角和與差的三角函數(shù)

一、選擇題

1.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形

答案:B

2.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,則cos(α-β)的值為()

A.1B.-1C.

eq\f(1,2)

D.-

eq\f(1,2)

解析:將已知兩式化為sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.兩式平方相加,有cos(α-β)=-

eq\f(1,2)

.

答案:D

3.tan

eq\f(π,12)

-cot

eq\f(π,12)

等于()

A.4B.-4C.2

eq\r(3)

D.-2

eq\r(3)

解析:原式=

eq\f(sin\f(π,12),cos\f(π,12))

eq\f(cos\f(π,12),sin\f(π,12))

eq\f(-(cos2\f(π,12)-sin2\f(π,12)),sin\f(π,12)cos\f(π,12))

eq\f(-cos\f(π,6),\f(1,2)sin\f(π,6))

=-2

eq\r(3)

.

答案:D

4.已知x∈(-

eq\f(π,2)

,0),cosx=

eq\f(4,5)

,則tan2x等于()

A.

eq\f(7,24)

B.-

eq\f(7,24)

C.

eq\f(24,7)

D.-

eq\f(24,7)

解析:x∈(-

eq\f(π,2)

,0),cosx=

eq\f(4,5)

,∴sinx=-

eq\f(3,5)

,tanx=

eq\f(sinx,cosx)

=-

eq\f(3,4)

.

∴tan2x=

eq\f(2tanx,1-tan2x)

=-

eq\f(24,7)

.

答案:D

二、填空題

5.cos

eq\f(π,5)

cos

eq\f(2,5)

π的值是________.

解析:原式=

eq\f(1,2sin\f(π,5))

·2sin

eq\f(π,5)

cos

eq\f(π,5)

cos

eq\f(2π,5)

eq\f(1,4sin\f(π,5))

·2sin

eq\f(2π,5)

cos

eq\f(2,5)

π=

eq\f(1,4sin\f(π,5))

sin

eq\f(4,5)

π=

eq\f(1,4)

.

答案:

eq\f(1,4)

6.若sin(

eq\f(π,4)

-α)=

eq\f(3,5)

,sin(

eq\f(π,4)

+β)=

eq\f(12,13)

,其中0<α<

eq\f(π,4)

,0<β<

eq\f(π,4)

,則cos(α+β)=________.

解析:由已知可得cos(

eq\f(π,4)

-α)=

eq\f(4,5)

,cos(

eq\f(π,4)

+β)=

eq\f(5,13)

.

則cos(α+β)=cos[(

eq\f(π,4)

+β)-(

eq\f(π,4)

-α)]=cos(

eq\f(π,4)

+β)·cos(

eq\f(π,4)

-α)+sin(

eq\f(π,4)

+β)·sin(

eq\f(π,4)

-α)=

eq\f(5,13)

×

eq\f(4,5)

eq\f(3,5)

×

eq\f(12,13)

eq\f(56,65)

.

答案:

eq\f(56,65)

7.已知α、β均為銳角,且cos(α+β)=sin(α-β),則tanα=________.

解析:根據(jù)已知條件:cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,

cosβ(cosα-sinα)+sinβ(cosα-sinα)=0,即(cosβ+sinβ)(cosα-sinα)=0.

又α、β為銳角,則sinβ+cosβ>0,∴cosα-sinα=0,∴tanα=1.

答案:1

三、解答題

8.求值:(1)

eq\f(sin7°+cos15°sin8°,cos7°-sin15°sin8°)

;(2)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-

eq\r(3)

cos(θ+15°).

解答:(1)原式=

eq\f(sin(15°-8°)+cos15°sin8°,cos(15°-8°)-sin15°sin8°)

eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)

=tan15°=tan(45°-30°)=

2-

eq\r(3)

.

(2)令θ+15°=α,則原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-

eq\r(3)

cosα=(

eq\f(1,2)

sinα+

eq\f(\r(3),2)

cosα)+(

eq\f(\r(3),2)

cosα-

eq\f(1,2)

sinα)-

eq\r(3)

cosα=0.

9.已知α為第二象限角,且sinα=

eq\f(\r(15),4)

,求

eq\f(sin(α+\f(π,4)),sin2α+cos2α+1)

的值.

解答:∵α為第二象限角,sinα=

eq\f(\r(15),4)

,∴cosα=-

eq\r(1-sin2α)

=-

eq\f(1,4)

.

eq\f(sin(α+\f(π,4)),sin2α+cos2α+1)

eq\f(sinαcos\f(π,4)+cosαsin\f(π,4),2sinαcosα+2cos2α)

eq\f(\f(\r(15),4)×\f(\r(2),2)-\f(1,4)×\f(\r(2),2),2×\f(\r(15),4)×(-\f(1,4))+2×(-\f(1,4))2)

=-

eq\r(2)

.

10.(1)已知7sinα=3sin(α+β),求證:2tan

eq\f(2α+β,2)

=5tan

eq\f(β,2)

;

(2)已知sinβ=msin(2α+β),m≠1,求證:tan(α+β)=

eq\f(1+m,1-m)

tanα.

證明:(1)將已知化為7sin(

eq\f(2α+β,2)

eq\f(β,2)

)=3sin(

eq\f(2α+β,2)

eq\f(β,2)

),即7sin

eq\f(2α+β,2)

cos

eq\f(β,2)

-7cos

eq\f(2α+β,2)

sin

eq\f(β,2)

=3sin

eq\f(2α+β,2)

cos

eq\f(β,2)

+3cos

eq\f(2α+β,2)

sin

eq\f(β,2)

,4sin

eq\f(2α+β,2)

cos

eq\f(β,2)

=10cos

eq\f(2α+β,2)

sin

eq\f(β,2)

,兩邊同除以2cos

eq\f(β,2)

·cos

eq\f(2α+β,2)

,得2tan

eq\f(2α+β,2)

=5tan

eq\f(β,2)

.

(2)將已知化為sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],即sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=msin(α+β)cosα+mcos(α+β)sinα,(1-m)sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα,∵m≠1,∴tan(α+β)=

eq\f(1+m,1-m)

tanα.

1.若α,β∈(0,

eq\f(π,2)

),cos(α-

eq\f(β,2)

)=

eq\f(\r(3),2)

,sin(

eq\f(α,2)

-β)=-

eq\f(1,2)

,則cos(α+β)的值等于()

A.-

eq\f(\r(3),2)

B.-

eq\f(1,2)

C.

eq\f(1,2)

D.

eq\f(\r(3),2)

解析:∵0<α<

eq\f(π,2)

,0<β<

eq\f(π,2)

,∴-

eq\f(π,4)

<α-

eq\f(β,2)

<

eq\f(π,2)

,-

eq\f(π,2)

<

eq\f(α,2)

-β<

eq\f(π,4)

,又cos(α-

eq\f(β,2)

)=

eq\f(\r(3),2)

,sin(

eq\f(α,2)

-β)=-

eq\f(1,2)

,∴

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)=\f(π,6),\f(α,2)-β=-\f(π,6)))

,解得α=β=

eq\f(π,3)

.或

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)=-\f(π,6),,\f(α,2)-β=-\f(π,6),))

α+β=0,舍去.

cos(α+β)=cos

eq\f(2π,3)

=-

eq\f(1,2)

.

答案:B

2.求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.

解答:y=7-

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