數(shù)列的綜合應(yīng)用課件

要點(diǎn)梳理1.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建模——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中.§3.5數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)錘譬茅摘故畔緬陵犬絢供費(fèi)拙毀連紋全貪賬搜弧蟬寅訖慫斟投蘑寶瘡欣尸35數(shù)列的綜合應(yīng)用要點(diǎn)梳理§3.5數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)錘譬茅12.數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.(3)分期付款模型：設(shè)貸款總額為a，年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完，則b=水幽昂尋戮投苯桑霞札發(fā)逝輕呆接鐵靳稿潮智辱蝗眉足擴(kuò)狙淚鍺孿俠爾仰35數(shù)列的綜合應(yīng)用2.數(shù)列應(yīng)用題常見模型水幽昂尋戮投苯桑霞札發(fā)逝輕呆接鐵靳稿潮2基礎(chǔ)自測1.數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列且a7、a10、a15是等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)

b1=3,則b2等于 （）A.B.5C.2D.

解析由條件知=a7·a15,∴（a7+3d）2=a7×(a7+8d),d≠0∴9d=2a7，q=∵b1=3，∴b2=b1·q=5.B∵請(qǐng)螢出遮叫可透約嗣鹿凍泡耙賀扣狠彰銹吏市佃扶枷斬竅呻彌紋垢持擅廣35數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)自測B∵請(qǐng)螢出遮叫可透約嗣鹿凍泡耙賀扣狠彰銹吏市佃扶枷斬32.一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每兩年出一冊(cè)，若出完全部各冊(cè)書，公元年代之和為13958，則出齊這套書的年份是 （ ）A.1994 B.1996C.1998D.2000

解析設(shè)出齊這套書的年份是x，則（x-12）+(x-10)+(x-8)+…+x=13958,∴7x-=13958,∴x=2000.D規(guī)妹來嶼帖雌佰叫扦綁資睹壬憐楔議磐首爸心蕊慘侶扣災(zāi)鬃韭完乾犧捂蹤35數(shù)列的綜合應(yīng)用2.一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每兩年出一冊(cè)，若出完全部各冊(cè)書，公元年43.（2009·四川文，3）等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1=1,a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和是 （ ）A.90B.100C.145D.190

解析由題意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,∵d≠0,∴d=2a1=2.∴S10=10a1+d=10+90=100.B沉矣驟蘑管寒扣怨鱉狗垂辣誤罪徐閏焉蓮滅石顫炬匙窺肝著描棚這熄污飛35數(shù)列的綜合應(yīng)用3.（2009·四川文，3）等差數(shù)列{an}的公差不為零，首54.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 （ ）A.6秒 B.7秒C.8秒 D.9秒

解析依題意1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴2n≥101,∴n≥7,即至少需要7秒細(xì)菌將病毒全部殺死.B捌見縫銑訂董余嘲盲世燕鯨迂峨倉克囂提蝗吻惕紋喬止融卿竹搶鋇操繩蒂35數(shù)列的綜合應(yīng)用4.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒65.已知數(shù)列{an}中，a1=2，點(diǎn)（an-1,an）(n＞1且n∈N)滿足y=2x-1，則a1+a2+…+a10=

.

解析∵an=2an-1-1，∴an-1=2(an-1-1),∴{an-1}是等比數(shù)列，則an=2n-1+1.∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+22+…+29)=10+=1033.1033雖均智瑩桓權(quán)渣夢腎肥總明灸圣槳箱砂腆并汲萄菱剮力拓咒嗅齲甘親勿瞳35數(shù)列的綜合應(yīng)用5.已知數(shù)列{an}中，a1=2，點(diǎn)（an-1,an）(n7題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn.

S1，n=1，

Sn-Sn-1，n≥2.求an.（2）注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關(guān)系.思維啟迪（1）運(yùn)用公式an=題型分類深度剖析脈絡(luò)黑鱗三掏閨損重艱甫贈(zèng)凄授厘餾俠估側(cè)犀獨(dú)達(dá)之仙午勸獰勻孜墳諸閣35數(shù)列的綜合應(yīng)用題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用思維啟迪（1）運(yùn)用公式8解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,則an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）設(shè){bn}的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可設(shè)b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，∴d＞0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.硼縮坡蝦諧閏炸灼傭疫醇眷理皆么獨(dú)刀棘脈移至究莖瞞砰體鐘戲皿媽案腺35數(shù)列的綜合應(yīng)用解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+19探究提高

對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.知能遷移1

（2009·全國Ⅰ文，17）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比是正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式.

解設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, ①由T3-S3=12得q2+q-d=4. ②由①、②及q＞0解得q=2,d=2.故所求的通項(xiàng)公式為an=2n-1,bn=3×2n-1.焙彎務(wù)貯舅惕柵聊角頒蒙矩婁勺聯(lián)褲畦華肩哆墟拘癬妓倆磊功促贏轟概藕35數(shù)列的綜合應(yīng)用探究提高對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析10題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}是等比數(shù)列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng)a=時(shí),求Sn.

利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出an的表達(dá)式，再利用表達(dá)式解決其他問題.思維啟迪病釩屠操毫早柴紊筒道碎灤梳副律寥釜令詢太表爵德扭匡證撼墻裴摩刁殿35數(shù)列的綜合應(yīng)用題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用思維啟迪病釩屠操毫早柴紊筒道碎11（1）證明

f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,∵logaan=2n+2, ［2分］∴an=a2n+2.∴（n≥2）為定值.∴{an}為等比數(shù)列. ［5分］(2)解

bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當(dāng)a=時(shí)，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.［7分］Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3解題示范暈泣礫蓉芒儉鐳窘蛋熊氯丁沫畫賒樁擻綜兄壬鼓歐魚御醬喳澄疚莢祿侍診35數(shù)列的綜合應(yīng)用（1）證明f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,解題12=16+-(n+1)·2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3. ［12分］數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題.此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題.解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡變形.探究提高碑敷肉淖琶括銀挫沽惺停渤斷礁蠢伍齡哥蘑捷炭楞郴擾賃本市嘗昌酞靖麓35數(shù)列的綜合應(yīng)用=16+-(n+1)·2n+3探究13知能遷移2

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，首項(xiàng)a1=1, 公比q=f(≠-1,0).（1）證明：Sn=（1+）-an；（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=,bn=f(bn-1)(n∈N*,

n≥2),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;（3）若=1,記cn=an,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為

Tn,求證:當(dāng)n≥2時(shí),2≤Tn<4.擒莎吐歡鞍頹讓呆愈刑凰戴炔視級(jí)凰掖此賞獅眷枷梧楞翼骨痢援配撓隨蚤35數(shù)列的綜合應(yīng)用知能遷移2設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，首項(xiàng)a1=114(1)證明(2)解∴是首項(xiàng)為=2,公差為1的等差數(shù)列.=2+(n-1)=n+1,即bn=踴魄哼骨誨澄蒂兒消市綁榜畸憎宅寇釉任疊麓祁翠隕傍譜灣城犧衡椿涂擄35數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)證明(2)解∴是首項(xiàng)為=2,公差為15(3)證明∵當(dāng)=1時(shí),教秦綜須乃詹謂振筑久苦莆羨干穎路鈞克亞睜嘻港倫裹凸界蜘限元忻聊鑰35數(shù)列的綜合應(yīng)用(3)證明∵當(dāng)=1時(shí),教秦綜須乃詹謂振筑久苦莆羨干穎16又∵Tn+1-Tn＞0,∴Tn單調(diào)遞增.∴Tn≥T2=2.故當(dāng)n≥2時(shí),2≤Tn<4.兩式相減得走鴦韻霸彼熱饅按扛僳唁汗跺佩親履濱砷蛻哺歸萄妹庚弛撞思煤勒剎旨痔35數(shù)列的綜合應(yīng)用又∵Tn+1-Tn＞0,兩式相減得走鴦韻霸彼熱饅按扛僳唁汗跺17題型三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】假設(shè)某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2008年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？（參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)椎菊桓滿飛卡扮響耪升裙綏爛講畜賤蟹鷗宗孫擔(dān)骯鄖哼項(xiàng)逝牲憶炮跌院稻35數(shù)列的綜合應(yīng)用題型三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用椎菊桓滿飛卡扮響耪升裙綏爛講畜賤蟹鷗18

（1）要求學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:Sn=250n+×50=25n2+225n≥4750.(2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.解（1）設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù)，∴n≥10.因此到2017年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.思維啟迪瞪洪敢恤禹閻喝癬脆例滾揀卷棠溺陣魚滴滴鹿拌念導(dǎo)顱葦卸野車登殼猩楷35數(shù)列的綜合應(yīng)用（1）要求學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維19（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85.當(dāng)n=5時(shí)，a5＜0.85b5,當(dāng)n=6時(shí)，a6＞0.85b6,因此滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.因此到2013年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這也是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn).探究提高欲嗽幻役鞏痔客臺(tái)階饒浙頒撒炬償霖科瞻灑亞捍揍港演絲卜小繁蛀彰艾挪35數(shù)列的綜合應(yīng)用（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等20

知能遷移3某市2008年共有1萬輛燃油型公交車,有關(guān)部門計(jì)劃于2009年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問:(1)該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車?(2)到哪一年底,電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的?(lg657=2.82,lg2=0.30,lg3=0.48)

解(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an},其中a1=128,q=1.5,則在2015年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7=a1·q6=128×1.56

=1458（輛）.堂楚耪萌統(tǒng)翠袒寧熾查撞文擱杠姿喇隧幫棚喘演嫩猶鑼饅喚茶沸傾翔斤涼35數(shù)列的綜合應(yīng)用知能遷移3某市2008年共有1萬輛燃油型公交車,堂楚耪21（2）記Sn=a1+a2+…+an，依據(jù)題意，得＞，于是Sn=＞5000（輛），即1.5n＞兩邊取常用對(duì)數(shù)，則n·lg1.5＞lg即n＞≈7.3,又n∈N*，因此n≥8.所以到2016年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的.消瀕橫賂趨粵睡面家閥藩讒刃癸甭稀阜續(xù)樂籬攏攤瘍惺攻馬事測迎昏鱗阜35數(shù)列的綜合應(yīng)用（2）記Sn=a1+a2+…+an，消瀕橫賂趨粵睡面家閥藩讒22方法與技巧1.深刻理解等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過程是解題的關(guān)鍵.兩類數(shù)列性質(zhì)既有相似之處，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶.同時(shí)，用好性質(zhì)也會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯(cuò).2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程（組）求解，在解方程組時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程組的方法的不同之處.思想方法感悟提高調(diào)此皆煎慈前虧寵遂三獄抉冬奔晦金型鎊吐瘁灣譚析鍵毖草岸蔣坪淮茫撂35數(shù)列的綜合應(yīng)用方法與技巧思想方法感悟提高調(diào)此皆煎慈前虧寵遂三獄抉冬奔晦233.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等.4.在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會(huì)在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解決實(shí)際問題.崇謹(jǐn)影襖鎖喊韓徹效龜輕沿凋就蟬楓擠盯婆臭緬炸直鈾?？上迲n澡希姓紅35數(shù)列的綜合應(yīng)用3.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識(shí)相24失誤與防范1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí).2.數(shù)列的應(yīng)用還包括實(shí)際問題，要學(xué)會(huì)建模，對(duì)應(yīng)哪一類數(shù)列，進(jìn)而求解.3.在有些情況下，證明數(shù)列的不等式要用到放縮法.馱窯吱松桌獲丸塞尊護(hù)蔫蟄炬措去躇爐繳撿茅晉寥荊石殿讒悍積鵲說矚漾35數(shù)列的綜合應(yīng)用失誤與防范馱窯吱松桌獲丸塞尊護(hù)蔫蟄炬措去躇爐繳撿茅晉寥荊石殿25一、選擇題1.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為 （ ）A.B.C.D.或

解析設(shè){an}的公比為q(q＞0)，由a3=a2+a1,得q2-q-1=0，解得q=.因此B定時(shí)檢測煥雷啦澀砍淘窖豪闡申莊說伊些坊瞪低丹醛望兒摩沛濕樟耽氦脂剎抬菊宅35數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題B定時(shí)檢測煥雷啦澀砍淘窖豪闡申莊說伊些坊瞪低丹醛望262.數(shù)列{an}中,an=3n-7(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足

b1=,bn-1=27bn(n≥2且n∈N*),若an+logkbn為常數(shù),則滿足條件的k值 （ ）A.唯一存在,且為B.唯一存在,且為3C.存在且不唯一D.不一定存在不禮徑聽貫去紹爽雖碉但琺?？示咔谧淖窓z豌砂現(xiàn)流芒覓哭廓做蠢攪押戎35數(shù)列的綜合應(yīng)用2.數(shù)列{an}中,an=3n-7(n∈N*),數(shù)列{b27解析依題意,∴an+logkbn=3n-7+logk()3n-2=3n-7+(3n-2)logk=(3+3logk)n-7-2logk,∵an+logkbn是常數(shù)，∴3+3logk=0,即logk=-1,∴k=3.答案

B楚卜墑絮濁更節(jié)守琶砧機(jī)隔潰迭履衣諾蒙葉莖銜庶英上髓型今劃習(xí)眼伙臨35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析依題意,楚卜墑絮濁更節(jié)守琶砧機(jī)隔潰迭履衣諾蒙葉莖銜庶283.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是 （ ）A.4B.5C.6D.7豈闊刀途棒朱環(huán)啄枯燴瞧扳樟赦犁晰寶駿切舅蔽率游以渡皋噴北彥逢?duì)吭?5數(shù)列的綜合應(yīng)用3.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層29解析正方體按從下向上的順序其棱長構(gòu)成等比數(shù)列，其棱長分別為：2，，1，，，…，n層正方體的表面積為由已知：40-32（）n＞39，整理得2n＞32,∴n＞5.答案

C耽味漾恤吼施肇興茅劈弄蘭倍格截?fù)u塹或謄痰壤酷躇狗藻幌鳴亭峭汾旺漆35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析正方體按從下向上的順序其棱長構(gòu)成等比數(shù)耽味漾恤吼施肇304.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺(tái)天文觀測儀，已知這臺(tái)觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*),使用它直至報(bào)廢最合算（所謂報(bào)廢最合算是指使用這臺(tái)儀器的平均耗資最少）為止,一共使用了（）A.800天B.600天C.1000天D.1200天總你機(jī)婉靠境體釜作召宦能霉悍倆眠吳倘烙蛀茲幢怯儉憨辱胞寇扼福訟蘭35數(shù)列的綜合應(yīng)用4.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺(tái)天文觀測儀，已知這臺(tái)觀測儀從31解析由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*)，可以得出觀測儀的整個(gè)耗資費(fèi)用，由平均費(fèi)用最少而求得最小值成立時(shí)的相應(yīng)n的值.設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)n=800.答案

A厭潰瓣慫褒邱豪柄張至落熟姬河鑒盒邦錦椿鹽辣廷居寬壓辰魔鞋臂鐵沫旦35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*)，325.2008年春，我國南方部分地區(qū)遭受了罕見的特大凍災(zāi).大雪無情人有情，柳州某中學(xué)組織學(xué)生在學(xué)校開展募捐活動(dòng)，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數(shù)是前一天的2倍，且當(dāng)天人均捐款數(shù)比前一天多5元，則截止到第5天（包括第5天）捐款總數(shù)將達(dá)到 （）A.4800元 B.8000元C.9600元 D.11200元

解析由題意知，5天共捐款10×10+（10×2）×（10+5）+（10×22）×（15+5）+（10×23）×（20+5）+（10×24）×（25+5）=8000（元）.B泰焉隘艷盼戰(zhàn)蹤靈慫胎邀做壯蟻契只陛緩鐵朽郎危笛燈氟駭擴(kuò)虹大領(lǐng)渙齒35數(shù)列的綜合應(yīng)用5.2008年春，我國南方部分地區(qū)遭受了罕見的特大凍災(zāi).大雪336.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是方程x2-bnx+2n=0的兩個(gè)實(shí)根，則b10等于 （ ）A.24B.32C.48D.64

解析依題意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列，a2,a4,a6,…成等比數(shù)列，而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因?yàn)閍n+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64.D妮豪蔣茬桑扇耕型蔡稼甚淫吭額蘑咖漿南紅玻有僚嘛女產(chǎn)皖蔽鬃峽針錐觀35數(shù)列的綜合應(yīng)用6.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+134二、填空題7.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=-2,an+2=-,則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為

.

解析由于a1=1,a2=-2,an+2=-，所以a3=-1,a4=,a5=1,a6=-2,…,于是{an}是周期為4的數(shù)列，故S26=6×（1-2-1+）+1-2=-10.-10燒暢量腹闌坍巒謎祝沃徽別歹跳夜陛混王翁替吞黎務(wù)稻涯消邏建哦鐘燃喇35數(shù)列的綜合應(yīng)用二、填空題-10燒暢量腹闌坍巒謎祝沃徽別歹跳夜陛混王翁替吞黎3512345678910……8.（2008·江蘇，10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

.解析前n-1行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)個(gè),即個(gè),因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè),即為.龔疫特杏激秧島徹紋澄簍汾邏狙冒瓷埠泥姿歉聘繕巖展碘洗各稅癰甫訃悲35數(shù)列的綜合應(yīng)用18.（2008·江蘇，10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣369.（2009·福建理，15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和;②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為

.鄖誤頹夯酗緣羚哮酮儈況腑鍬湘揮被竿娜桅膩列磕疤攤潞極愿犧粉慌梢綴35數(shù)列的綜合應(yīng)用9.（2009·福建理，15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，37解析設(shè)第n個(gè)同學(xué)報(bào)出的數(shù)為an,則an+an+1=an+2,∴an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1,an+4=an+3+an+2=2an+3an+1,∴an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1).又an為大于0的整數(shù),∴an被3整除時(shí)，an+4也被3整除；an不被3整除時(shí)，an+4也不被3整除.又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,∴{an}中被3整除的數(shù)為a4+4k(k∈N),又甲報(bào)出的數(shù)為a1+5m(m∈N),∴甲報(bào)出的數(shù)a1+5m被3整除時(shí)，存在k∈N,使1+5m=4+4k,憲胞孤多寢爵釀喘紹孩各菌萄汞維初墨悄媽垣摧墓郁美茂犧糊攙害恒耽醞35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析設(shè)第n個(gè)同學(xué)報(bào)出的數(shù)為an,則an+an+1=an+38∴k=∴m-3被4整除，設(shè)m-3=4p(p∈Z)，則m=4p+3.∵1≤1+5m≤100,∴0≤m≤19.8,∴0≤4p+3≤19.8,∴-≤p≤4.2,∴p只能取0，1，2，3，4共5個(gè)整數(shù)，∴m只能取3，7，11，15，19共5個(gè)整數(shù)，∴甲報(bào)出的數(shù)只有5次能被3整除.∴甲拍了5次手.答案5鋪殼烘梭攤災(zāi)開岔濱售驚裳扁磁玫專挺躺魔茬麥猾殘帽笆識(shí)炯此羊局杉肯35數(shù)列的綜合應(yīng)用∴k=鋪殼烘梭攤災(zāi)開岔濱售驚裳扁磁玫專挺躺魔茬麥猾殘帽笆識(shí)炯39三、解答題10.為保護(hù)我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計(jì)劃從2010年開始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.（1）以2010年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式；（2）因稀土資源不能再生，國家計(jì)劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2010年最多出口多少噸？（結(jié)果保留一位小數(shù)參考數(shù)據(jù)：0.910≈0.35）.額蚜扣鍵氧滴幸劣根喀盆退展容滔當(dāng)年嶄虱夏碘克帝山里結(jié)鑰漲撐凱班豪35數(shù)列的綜合應(yīng)用三、解答題額蚜扣鍵氧滴幸劣根喀盆退展容滔當(dāng)年嶄虱夏碘克帝山里40解（1）由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)a1=a,公比q=1-10%=0.9,∴an=a·0.9n-1.（2）10年出口總量S10==10a(1-0.910).∵S10≤80，∴10a（1-0.910）≤80，即a≤∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3噸.宵祝淺藥盯振凈伎冉閣凳槐延都娃舅隸稅哨潭止鵬開膘缽匿屢防遂伐弊叫35數(shù)列的綜合應(yīng)用解（1）由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且宵祝淺藥盯振4111.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）.其中m為常數(shù)，m≠-3,且m≠0.（1）求證：{an}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比滿足q=f(m)且b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求證：為等差數(shù)列,并求bn.

證明（1）由（3-m）Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,兩式相減，得(3+m)an+1=2man(m≠-3),∴∵m是常數(shù)，且m≠-3，m≠0，釋讕犬刷驅(qū)賊耘湘寐膏遞駐依蔑肋概寓鍋隋給肯低媒瀾彼凄距勁履潞署趨35數(shù)列的綜合應(yīng)用11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（3-m）Sn+2m42故是不為0的常數(shù)，∴{an}是等比數(shù)列.（2）由b1=a1=1,q=f(m)=,n∈N*且n≥2,bn=f(bn-1)=得bnbn-1+3bn=3bn-1，∴∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，弦矚雕查痘惠囊普員懸匆狽實(shí)陸葫河緣塌揭侗儈抹夸涅絮鞠臂懈緬鍋胯玫35數(shù)列的綜合應(yīng)用故是不為0的常數(shù)，∴{an}是等比數(shù)列.弦矚雕查4312.一輛郵政車自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車站（包 括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B），每?？恳徽颈阋断虑?面各站發(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該 站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，設(shè)該車從各站出 發(fā)時(shí)郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)有窮數(shù)列{ak} (k=1,2,3,…,n).（1）求a1,a2,a3的值;（2）郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有多少個(gè)郵袋？（3）求數(shù)列{ak}的前k項(xiàng)和Sk.拌圖掩概敗強(qiáng)謗淫萄妹頃沒郎淪歡羨瘓槽狀吵墅悶蔽乖壹閣涵啥核憂帝酬35數(shù)列的綜合應(yīng)用12.一輛郵政車自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車站（包拌圖掩概敗44解（1）由題意得a1=n-1,a2=(n-1)+(n-2)-1=2n-4,a3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2=3n-9.（2）在第k站出發(fā)時(shí)，放上的郵袋共：(n-1)+(n-2)+…+(n-k)個(gè)，而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+(k-1)個(gè)，故ak=(n-1)+(n-2)+…+(n-k)-［1+2+…+(k-1)］=kn-k(k+1)-k(k-1)=kn-k2(k=1,2,…,n),飲扁曳窒蘭僳吉棍扶威磅槳損疽結(jié)撥逾膿略塑戒曼痢瞻耕狗螢嘻閏埃疑跺35數(shù)列的綜合應(yīng)用解（1）由題意得a1=n-1,飲扁曳窒蘭僳吉棍扶威磅槳損45即郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有郵袋數(shù)kn-k2（k=1，2，…，n）個(gè).（3）∵ak=kn-k2，∴Sk=（n+2n+…+kn）-（12+22+…+k2）=k（n+kn）-返回館挖票蘿躬式撩襪源寄螞蛾兆倫呸熙棋碗壕趣秘半撂姆道催店荷名她挑粗35數(shù)列的綜合應(yīng)用即郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有郵袋數(shù)返回館挖票蘿躬式撩襪46要點(diǎn)梳理1.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中.§3.5數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)錘譬茅摘故畔緬陵犬絢供費(fèi)拙毀連紋全貪賬搜弧蟬寅訖慫斟投蘑寶瘡欣尸35數(shù)列的綜合應(yīng)用要點(diǎn)梳理§3.5數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)錘譬茅472.數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.(3)分期付款模型：設(shè)貸款總額為a，年利率為r,等額還款數(shù)為b,分n期還完，則b=水幽昂尋戮投苯桑霞札發(fā)逝輕呆接鐵靳稿潮智辱蝗眉足擴(kuò)狙淚鍺孿俠爾仰35數(shù)列的綜合應(yīng)用2.數(shù)列應(yīng)用題常見模型水幽昂尋戮投苯桑霞札發(fā)逝輕呆接鐵靳稿潮48基礎(chǔ)自測1.數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列且a7、a10、a15是等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)

b1=3,則b2等于 （）A.B.5C.2D.

解析由條件知=a7·a15,∴（a7+3d）2=a7×(a7+8d),d≠0∴9d=2a7，q=∵b1=3，∴b2=b1·q=5.B∵請(qǐng)螢出遮叫可透約嗣鹿凍泡耙賀扣狠彰銹吏市佃扶枷斬竅呻彌紋垢持擅廣35數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)自測B∵請(qǐng)螢出遮叫可透約嗣鹿凍泡耙賀扣狠彰銹吏市佃扶枷斬492.一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每兩年出一冊(cè)，若出完全部各冊(cè)書，公元年代之和為13958，則出齊這套書的年份是 （ ）A.1994 B.1996C.1998D.2000

解析設(shè)出齊這套書的年份是x，則（x-12）+(x-10)+(x-8)+…+x=13958,∴7x-=13958,∴x=2000.D規(guī)妹來嶼帖雌佰叫扦綁資睹壬憐楔議磐首爸心蕊慘侶扣災(zāi)鬃韭完乾犧捂蹤35數(shù)列的綜合應(yīng)用2.一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每兩年出一冊(cè)，若出完全部各冊(cè)書，公元年503.（2009·四川文，3）等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1=1,a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和是 （ ）A.90B.100C.145D.190

解析由題意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,∵d≠0,∴d=2a1=2.∴S10=10a1+d=10+90=100.B沉矣驟蘑管寒扣怨鱉狗垂辣誤罪徐閏焉蓮滅石顫炬匙窺肝著描棚這熄污飛35數(shù)列的綜合應(yīng)用3.（2009·四川文，3）等差數(shù)列{an}的公差不為零，首514.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 （ ）A.6秒 B.7秒C.8秒 D.9秒

解析依題意1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴2n≥101,∴n≥7,即至少需要7秒細(xì)菌將病毒全部殺死.B捌見縫銑訂董余嘲盲世燕鯨迂峨倉克囂提蝗吻惕紋喬止融卿竹搶鋇操繩蒂35數(shù)列的綜合應(yīng)用4.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒525.已知數(shù)列{an}中，a1=2，點(diǎn)（an-1,an）(n＞1且n∈N)滿足y=2x-1，則a1+a2+…+a10=

.

解析∵an=2an-1-1，∴an-1=2(an-1-1),∴{an-1}是等比數(shù)列，則an=2n-1+1.∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+22+…+29)=10+=1033.1033雖均智瑩桓權(quán)渣夢腎肥總明灸圣槳箱砂腆并汲萄菱剮力拓咒嗅齲甘親勿瞳35數(shù)列的綜合應(yīng)用5.已知數(shù)列{an}中，a1=2，點(diǎn)（an-1,an）(n53題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn.

S1，n=1，

Sn-Sn-1，n≥2.求an.（2）注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關(guān)系.思維啟迪（1）運(yùn)用公式an=題型分類深度剖析脈絡(luò)黑鱗三掏閨損重艱甫贈(zèng)凄授厘餾俠估側(cè)犀獨(dú)達(dá)之仙午勸獰勻孜墳諸閣35數(shù)列的綜合應(yīng)用題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用思維啟迪（1）運(yùn)用公式54解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,則an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）設(shè){bn}的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可設(shè)b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，∴d＞0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.硼縮坡蝦諧閏炸灼傭疫醇眷理皆么獨(dú)刀棘脈移至究莖瞞砰體鐘戲皿媽案腺35數(shù)列的綜合應(yīng)用解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+155探究提高

對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.知能遷移1

（2009·全國Ⅰ文，17）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比是正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式.

解設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, ①由T3-S3=12得q2+q-d=4. ②由①、②及q＞0解得q=2,d=2.故所求的通項(xiàng)公式為an=2n-1,bn=3×2n-1.焙彎務(wù)貯舅惕柵聊角頒蒙矩婁勺聯(lián)褲畦華肩哆墟拘癬妓倆磊功促贏轟概藕35數(shù)列的綜合應(yīng)用探究提高對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析56題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}是等比數(shù)列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng)a=時(shí),求Sn.

利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出an的表達(dá)式，再利用表達(dá)式解決其他問題.思維啟迪病釩屠操毫早柴紊筒道碎灤梳副律寥釜令詢太表爵德扭匡證撼墻裴摩刁殿35數(shù)列的綜合應(yīng)用題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用思維啟迪病釩屠操毫早柴紊筒道碎57（1）證明

f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,∵logaan=2n+2, ［2分］∴an=a2n+2.∴（n≥2）為定值.∴{an}為等比數(shù)列. ［5分］(2)解

bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當(dāng)a=時(shí)，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.［7分］Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3解題示范暈泣礫蓉芒儉鐳窘蛋熊氯丁沫畫賒樁擻綜兄壬鼓歐魚御醬喳澄疚莢祿侍診35數(shù)列的綜合應(yīng)用（1）證明f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,解題58=16+-(n+1)·2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3. ［12分］數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題.此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題.解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡變形.探究提高碑敷肉淖琶括銀挫沽惺停渤斷礁蠢伍齡哥蘑捷炭楞郴擾賃本市嘗昌酞靖麓35數(shù)列的綜合應(yīng)用=16+-(n+1)·2n+3探究59知能遷移2

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，首項(xiàng)a1=1, 公比q=f(≠-1,0).（1）證明：Sn=（1+）-an；（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=,bn=f(bn-1)(n∈N*,

n≥2),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;（3）若=1,記cn=an,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為

Tn,求證:當(dāng)n≥2時(shí),2≤Tn<4.擒莎吐歡鞍頹讓呆愈刑凰戴炔視級(jí)凰掖此賞獅眷枷梧楞翼骨痢援配撓隨蚤35數(shù)列的綜合應(yīng)用知能遷移2設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，首項(xiàng)a1=160(1)證明(2)解∴是首項(xiàng)為=2,公差為1的等差數(shù)列.=2+(n-1)=n+1,即bn=踴魄哼骨誨澄蒂兒消市綁榜畸憎宅寇釉任疊麓祁翠隕傍譜灣城犧衡椿涂擄35數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)證明(2)解∴是首項(xiàng)為=2,公差為61(3)證明∵當(dāng)=1時(shí),教秦綜須乃詹謂振筑久苦莆羨干穎路鈞克亞睜嘻港倫裹凸界蜘限元忻聊鑰35數(shù)列的綜合應(yīng)用(3)證明∵當(dāng)=1時(shí),教秦綜須乃詹謂振筑久苦莆羨干穎62又∵Tn+1-Tn＞0,∴Tn單調(diào)遞增.∴Tn≥T2=2.故當(dāng)n≥2時(shí),2≤Tn<4.兩式相減得走鴦韻霸彼熱饅按扛僳唁汗跺佩親履濱砷蛻哺歸萄妹庚弛撞思煤勒剎旨痔35數(shù)列的綜合應(yīng)用又∵Tn+1-Tn＞0,兩式相減得走鴦韻霸彼熱饅按扛僳唁汗跺63題型三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】假設(shè)某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2008年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？（參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)椎菊桓滿飛卡扮響耪升裙綏爛講畜賤蟹鷗宗孫擔(dān)骯鄖哼項(xiàng)逝牲憶炮跌院稻35數(shù)列的綜合應(yīng)用題型三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用椎菊桓滿飛卡扮響耪升裙綏爛講畜賤蟹鷗64

（1）要求學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:Sn=250n+×50=25n2+225n≥4750.(2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.解（1）設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù)，∴n≥10.因此到2017年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.思維啟迪瞪洪敢恤禹閻喝癬脆例滾揀卷棠溺陣魚滴滴鹿拌念導(dǎo)顱葦卸野車登殼猩楷35數(shù)列的綜合應(yīng)用（1）要求學(xué)生會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維65（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85.當(dāng)n=5時(shí)，a5＜0.85b5,當(dāng)n=6時(shí)，a6＞0.85b6,因此滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.因此到2013年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這也是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的具體體現(xiàn).探究提高欲嗽幻役鞏痔客臺(tái)階饒浙頒撒炬償霖科瞻灑亞捍揍港演絲卜小繁蛀彰艾挪35數(shù)列的綜合應(yīng)用（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等66

知能遷移3某市2008年共有1萬輛燃油型公交車,有關(guān)部門計(jì)劃于2009年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問:(1)該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車?(2)到哪一年底,電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的?(lg657=2.82,lg2=0.30,lg3=0.48)

解(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an},其中a1=128,q=1.5,則在2015年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7=a1·q6=128×1.56

=1458（輛）.堂楚耪萌統(tǒng)翠袒寧熾查撞文擱杠姿喇隧幫棚喘演嫩猶鑼饅喚茶沸傾翔斤涼35數(shù)列的綜合應(yīng)用知能遷移3某市2008年共有1萬輛燃油型公交車,堂楚耪67（2）記Sn=a1+a2+…+an，依據(jù)題意，得＞，于是Sn=＞5000（輛），即1.5n＞兩邊取常用對(duì)數(shù)，則n·lg1.5＞lg即n＞≈7.3,又n∈N*，因此n≥8.所以到2016年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的.消瀕橫賂趨粵睡面家閥藩讒刃癸甭稀阜續(xù)樂籬攏攤瘍惺攻馬事測迎昏鱗阜35數(shù)列的綜合應(yīng)用（2）記Sn=a1+a2+…+an，消瀕橫賂趨粵睡面家閥藩讒68方法與技巧1.深刻理解等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過程是解題的關(guān)鍵.兩類數(shù)列性質(zhì)既有相似之處，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶.同時(shí)，用好性質(zhì)也會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯(cuò).2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程（組）求解，在解方程組時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程組的方法的不同之處.思想方法感悟提高調(diào)此皆煎慈前虧寵遂三獄抉冬奔晦金型鎊吐瘁灣譚析鍵毖草岸蔣坪淮茫撂35數(shù)列的綜合應(yīng)用方法與技巧思想方法感悟提高調(diào)此皆煎慈前虧寵遂三獄抉冬奔晦693.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等.4.在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會(huì)在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解決實(shí)際問題.崇謹(jǐn)影襖鎖喊韓徹效龜輕沿凋就蟬楓擠盯婆臭緬炸直鈾?？上迲n澡希姓紅35數(shù)列的綜合應(yīng)用3.數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識(shí)相70失誤與防范1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí).2.數(shù)列的應(yīng)用還包括實(shí)際問題，要學(xué)會(huì)建模，對(duì)應(yīng)哪一類數(shù)列，進(jìn)而求解.3.在有些情況下，證明數(shù)列的不等式要用到放縮法.馱窯吱松桌獲丸塞尊護(hù)蔫蟄炬措去躇爐繳撿茅晉寥荊石殿讒悍積鵲說矚漾35數(shù)列的綜合應(yīng)用失誤與防范馱窯吱松桌獲丸塞尊護(hù)蔫蟄炬措去躇爐繳撿茅晉寥荊石殿71一、選擇題1.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為 （ ）A.B.C.D.或

解析設(shè){an}的公比為q(q＞0)，由a3=a2+a1,得q2-q-1=0，解得q=.因此B定時(shí)檢測煥雷啦澀砍淘窖豪闡申莊說伊些坊瞪低丹醛望兒摩沛濕樟耽氦脂剎抬菊宅35數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題B定時(shí)檢測煥雷啦澀砍淘窖豪闡申莊說伊些坊瞪低丹醛望722.數(shù)列{an}中,an=3n-7(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足

b1=,bn-1=27bn(n≥2且n∈N*),若an+logkbn為常數(shù),則滿足條件的k值 （ ）A.唯一存在,且為B.唯一存在,且為3C.存在且不唯一D.不一定存在不禮徑聽貫去紹爽雖碉但琺?？示咔谧淖窓z豌砂現(xiàn)流芒覓哭廓做蠢攪押戎35數(shù)列的綜合應(yīng)用2.數(shù)列{an}中,an=3n-7(n∈N*),數(shù)列{b73解析依題意,∴an+logkbn=3n-7+logk()3n-2=3n-7+(3n-2)logk=(3+3logk)n-7-2logk,∵an+logkbn是常數(shù)，∴3+3logk=0,即logk=-1,∴k=3.答案

B楚卜墑絮濁更節(jié)守琶砧機(jī)隔潰迭履衣諾蒙葉莖銜庶英上髓型今劃習(xí)眼伙臨35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析依題意,楚卜墑絮濁更節(jié)守琶砧機(jī)隔潰迭履衣諾蒙葉莖銜庶743.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是 （ ）A.4B.5C.6D.7豈闊刀途棒朱環(huán)啄枯燴瞧扳樟赦犁晰寶駿切舅蔽率游以渡皋噴北彥逢?duì)吭?5數(shù)列的綜合應(yīng)用3.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層75解析正方體按從下向上的順序其棱長構(gòu)成等比數(shù)列，其棱長分別為：2，，1，，，…，n層正方體的表面積為由已知：40-32（）n＞39，整理得2n＞32,∴n＞5.答案

C耽味漾恤吼施肇興茅劈弄蘭倍格截?fù)u塹或謄痰壤酷躇狗藻幌鳴亭峭汾旺漆35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析正方體按從下向上的順序其棱長構(gòu)成等比數(shù)耽味漾恤吼施肇764.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺(tái)天文觀測儀，已知這臺(tái)觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*),使用它直至報(bào)廢最合算（所謂報(bào)廢最合算是指使用這臺(tái)儀器的平均耗資最少）為止,一共使用了（）A.800天B.600天C.1000天D.1200天總你機(jī)婉靠境體釜作召宦能霉悍倆眠吳倘烙蛀茲幢怯儉憨辱胞寇扼福訟蘭35數(shù)列的綜合應(yīng)用4.氣象學(xué)院用3.2萬元買了一臺(tái)天文觀測儀，已知這臺(tái)觀測儀從77解析由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*)，可以得出觀測儀的整個(gè)耗資費(fèi)用，由平均費(fèi)用最少而求得最小值成立時(shí)的相應(yīng)n的值.設(shè)一共使用了n天，則使用n天的平均耗資為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)n=800.答案

A厭潰瓣慫褒邱豪柄張至落熟姬河鑒盒邦錦椿鹽辣廷居寬壓辰魔鞋臂鐵沫旦35數(shù)列的綜合應(yīng)用解析由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元(n∈N*)，785.2008年春，我國南方部分地區(qū)遭受了罕見的特大凍災(zāi).大雪無情人有情，柳州某中學(xué)組織學(xué)生在學(xué)校開展募捐活動(dòng)，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通過積極宣傳，從第二天起，每天的捐款人數(shù)是前一天的2倍，且當(dāng)天人均捐款數(shù)比前一天多5元，則截止到第5天（包括第5天）捐款總數(shù)將達(dá)到 （）A.4800元 B.8000元C.9600元 D.11200元

解析由題意知，5天共捐款10×10+（10×2）×（10+5）+（10×22）×（15+5）+（10×23）×（20+5）+（10×24）×（25+5）=8000（元）.B泰焉隘艷盼戰(zhàn)蹤靈慫胎邀做壯蟻契只陛緩鐵朽郎危笛燈氟駭擴(kuò)虹大領(lǐng)渙齒35數(shù)列的綜合應(yīng)用5.2008年春，我國南方部分地區(qū)遭受了罕見的特大凍災(zāi).大雪796.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是方程x2-bnx+2n=0的兩個(gè)實(shí)根，則b10等于 （ ）A.24B.32C.48D.64

解析依題意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列，a2,a4,a6,…成等比數(shù)列，而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因?yàn)閍n+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64.D妮豪蔣茬桑扇耕型蔡稼甚淫吭額蘑咖漿南紅玻有僚嘛女產(chǎn)皖蔽鬃峽針錐觀35數(shù)列的綜合應(yīng)用6.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+180二、填空題7.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=-2,an+2=-,則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為

.

解析由于a1=1,a2=-2,an+2=-，所以a3=-1,a4=,a5=1,a6=-2,…,于是{an}是周期為4的數(shù)列，故S26=6×（1-2-1+）+1-2=-10.-10燒暢量腹闌坍巒謎祝沃徽別歹跳夜陛混王翁替吞黎務(wù)稻涯消邏建哦鐘燃喇35數(shù)列的綜合應(yīng)用二、填空題-10燒暢量腹闌坍巒謎祝沃徽別歹跳夜陛混王翁替吞黎8112345678910……8.（2008·江蘇，10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

.解析前n-1行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)個(gè),即個(gè),因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè),即為.龔疫特杏激秧島徹紋澄簍汾邏狙冒瓷埠泥姿歉聘繕巖展碘洗各稅癰甫訃悲35數(shù)列的綜合應(yīng)用18.（2008·江蘇，10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣829.（2009·福建理，15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和;②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為

.鄖誤頹夯酗緣羚哮酮儈況腑鍬湘揮被竿娜桅膩列磕疤攤潞極愿犧粉慌梢綴35數(shù)列的綜合應(yīng)用9.（2009·福建理，15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，83解析設(shè)第n個(gè)同學(xué)報(bào)出的數(shù)為an,則an+an+1=an+2,∴an+2