一元二次不等式及其解法知識梳理及典型練習(xí)題

1、文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一個一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都能夠化為axb(a0)的形式.當(dāng)a0時，解集為；當(dāng)a0時，解集為.2.一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為_不等式.(2)使某個一元二次不等式建立的x的值叫做這個一元二次不等式的解，一元二次不等式全部的解構(gòu)成的會合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函數(shù)與不等式000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根ax2bxc0無實根x1，x2(x1x2)b(

2、a0)的根x1x22aax2bxc0R(a0)的解集ax2bxc0 x|x1xx2?(a0)的解集3.分式不等式解法f（x）的形式.(1)化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型.方法：移項，通分，右側(cè)化為0，左側(cè)化為g（x）(2)將分式不等式轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁角蠼猓纾篺（x）0?f(x)g(x)0；f（x）0?f(x)g(x)0；g（x）g（x）文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.f（x）f（x）g（x）0，f（x）f（x）g（x）0，0?0?g（x）g（x）0；g（x）g（x）0.(2014課標(biāo))已知會合Ax|x22x30，Bx|2x2，則AB()A.2，1B.1，2)C.1，1D.1，2)

3、解：Ax|x3或x1，Bx|2x2，ABx|2x12，1.應(yīng)選A.設(shè)f(x)x2bx1且f(1)f(3)，則f(x)0的解集為()A.x|xRB.x|x1，xRC.x|x1D.x|x1解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b，由f(1)f(3)，得2b103b，解出b2，代入原函數(shù)，f(x)0即x22x10，x的取值范圍是x1.應(yīng)選B.11已知2x2，則x的取值范圍是()11A.2x0或0 x2B.2x2C.x2D.x122解：當(dāng)x0時，x1；當(dāng)x0時，x2.2因此x的取值范圍是x1，應(yīng)選D.212x0的解集是.不等式x1解：不等式12xx10等價于(12x)(x1)0，也就是11x2

4、(x1)0，因此1x2.1故填x|1x，xR.文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.(2014武漢調(diào)研)若一元二次不等式2kx2kx30對一確實數(shù)8x都建立，則k的取值范圍為_.解：明顯k0.若k0，則只須(2x2x)max3，解得8kk?；若k0，則只須3(2x28kx)min，解得k(3，0).故k的取值范圍是(3，0).故填(3，0).種類一一元一次不等式的解法已知對于x的不等式(ab)x2a3b0的解集為，1，求對于x的不3等式(a3b)xb2a0的解集.解：由(ab)x3b2a的解集為1，3，得ab0，且3b2a1，ab3進而a2b，則ab3b0，即b0，將a2b代入

5、(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集為(，3).點撥：一般地，一元一次不等式都能夠化為axb(a0)的形式.發(fā)掘隱含條件ab0且3b2a1是解此題的重點.ab3解對于x的不等式：(m24)xm2.解：(1)當(dāng)m240即m2或m2時，當(dāng)m2時，原不等式的解集為?，不切合當(dāng)m2時，原不等式的解集為R,切合(2)當(dāng)m240即m2或m2時，x1.m21(3)當(dāng)m240即2m2時，xm2.種類二一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)x27x120;(2)x22x30；文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.(3)x22x10;(4)x22x20.解：(1)x|x3或x4.

6、(2)x|3x1.(3)?.(4)因為0，可得原不等式的解集為R.x1，x0，則不等式x(x1)f(x(2013金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x1，x0，1)1的解集是()A.x|1x21B.x|x1C.x|x21D.x|21x21解：由題意得不等式x(x1)f(x1)1等價于x10，或x（x1）（x1）11x10，x（x1）（x1）11，解不等式組得x1；解不等式組得1x21.故原不等式的解集是x|x21.應(yīng)選C.種類三二次不等式、二次函數(shù)及二次方程的關(guān)系已知對于x的不等式x2bxc0的解集是x|5x1，務(wù)實數(shù)b，c的值.解：不等式x2bxc0的解集是x|5x1，x15，x21是x2bxc0

7、的兩個實數(shù)根，51b，b4，由韋達定理知51c，c5.已知不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，求不等式cx2bxa0的解集.解：不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.b23，b5a，ac23，即c6a，aa0.a0.代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0).即6x25x10，1所求不等式的解集為x|2x3.種類四含有參數(shù)的一元二次不等式解對于x的不等式：mx2(m1)x10.解：(1)m0時，不等式為(x1)0，得x10，不等式的解集為x|x1；1(2)當(dāng)m0時

8、，不等式為mxm(x1)0.當(dāng)m0，不等式為1xm(x1)0，11，不等式的解集為1或x1.mx|xm當(dāng)m0，不等式為1xm(x1)0.11即m1時，不等式的解集為1x1；()若mx|m11即0m1時，不等式的解集為1；()若mx|1xm11即m1時，不等式的解集為?.()若m點撥：當(dāng)x2的系數(shù)是參數(shù)時，第一對它能否為零進行議論，確立其是一次不等式仍是二次不等式，即對m0與m0進行議論，這是第一層次；第二層次：x2的系數(shù)正負(fù)(不等號方向)的不確立性，對m0與m0進行議論；第三層次：1與m1大小的不確立性，對m1、m1與m1進行議論.解對于x的不等式ax222xax(aR).解：不等式整理為ax

9、2(a2)x20，文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.當(dāng)a0時，解集為(，1.當(dāng)a0時，ax2(a2)x20的兩根為1，2，因此當(dāng)a0時，a2解集為(，1，；當(dāng)2a0時，解集為2a，1；當(dāng)a2時，解集為x|x1；當(dāng)a2時，解集為1，2a.種類五分式不等式的解法(1)解不等式x11.2x1解：x11?x110?x20?x20.2x12x12x12x1x20?（x2）（2x1）0，2x12x10.得xx1或x2.2x2(2)不等式x23x20的解集是.x2x2解：x23x20?（x2）（x1）0?(x2)(x2)(x1)0，數(shù)軸標(biāo)根得x|2x1或x2，故填x|2x1或x2.點撥：

10、分式不等式能夠先轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚母叽尾坏仁剑倮脭?shù)軸標(biāo)根法寫出不等式的解集，如果該不等式有等號，則要注意分式的分母不可以為零.用“數(shù)軸標(biāo)根法”解不等式的步驟：(1)移項：使得右端為0(注意：必定要保證x的最高次冪的項的系數(shù)為正數(shù)).(2)求根：就是求出不等式所對應(yīng)的方程的全部根.(3)標(biāo)根：在數(shù)軸上按從左到右(由小到大)挨次標(biāo)出各根(不需標(biāo)出正確地點，只需標(biāo)出相對地點即可).(4)畫穿根線：從數(shù)軸“最右根”的右上方向左下方畫線，穿過此根，再往左上方穿過“次右根”，一上一下挨次穿過各根,“奇穿偶不穿”文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.來記憶.(5)寫出不等式的解集：若不等號為“

11、”，則取數(shù)軸上方穿根線之內(nèi)的范圍；若不等號為“”，則取數(shù)軸下方穿根線之內(nèi)的范圍；若不等式中含有“”號，寫解集時要考慮分母不可以為零.(1)若會合Ax|12x13，Bx|x20，則AB()xA.x|1x0B.x|0 x1C.x|0 x2D.x|0 x1解：易知Ax|1x1，B會合就是不等式組x（x2）0，B的解集，求出x0 x|0 x2，因此ABx|0 x1.應(yīng)選B.x10的解集為()(2)不等式2x1A.1，1B.1，122C.，11，)D.，11，)22解：x10?（x1）（2x1）0，2x12x101得x1.應(yīng)選A.2種類六和一元二次不等式相關(guān)的恒建立問題1(1)若不等式x2ax10對于全

12、部x0，2建立，則a的最小值為()A.0B.2C.5D.32解：不等式可化為axx21，因為x0，1，2111axx.f(x)xx在0，2上是減函數(shù)，x15.a5.xmax22(2)已知對于隨意的a1，1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是()A.1x3B.x1或x3文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.C.1x2D.x1或x2解：記g(a)(x2)ax24x4，a1，1，依題意，只須g（1）0，x23x20，?x1或x3，應(yīng)選B.g（1）0 x25x60點撥：對于參數(shù)變化的情況，大多利用參變量變換法，即參數(shù)變換為變量；變量變換為參數(shù)，把對于x的二次

13、不等式變換為對于a的一次不等式，化繁為簡，而后再利用一次函數(shù)的單一性，求出x的取值范圍.對于知足|a|2的全部實數(shù)a，求使不等式x2ax12xa建立的x的取值范圍.解：原不等式轉(zhuǎn)變?yōu)?x1)ax22x10，設(shè)f(a)(x1)ax22x1，則f(a)在f（2）0，x24x30，x3或x1，2，2上恒大于0，故有：即解得f（2）0 x210 x1或x1.x1或x3.種類七二次方程根的議論若方程2ax2x10在(0，1)內(nèi)有且僅有一解，則a的取值范圍是()A.a1C.1a1D.0a1解法一：令f(x)2ax2x1，則f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1.解法二：當(dāng)a0時，x1，不合題意，故

14、清除C，D；當(dāng)a2時，方程可化為4x2x10，而1160，無實根，故a2不合適，清除A.應(yīng)選B.x20的解集是()1.不等式x1A.(，1)(1，2B.1，2C.(，1)2，)D.(1，2解：x20?(x1)(x2)0，且x1，即x(1，2，應(yīng)選D.x12.對于x的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集為x|1x2，則m的取值范m圍是()文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.A.m0B.0m21C.m2D.m0解：由不等式的解集形式知m0.應(yīng)選D.3.(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為x|x1，則f(10 x)0的解集2為()A.x|xlg2B.x|1x

15、lg2D.x|xlg2111解：可設(shè)f(x)a(x1)x2(a0可得(10 x1)10 x20，進而10 x2，解得x0在(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A.a4C.a12D.a0對x(1，2)恒建立，則實數(shù)k的取值范圍是_.解：x(1，2)，x10.則x2kxk1(x1)(x1k)0，等價于x1k0，即kx1恒建立，因為2x13，因此只需k2即可.故填(，2.7.(2014江蘇)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于隨意xm，m1，都有f(x)0成文檔根源為:從網(wǎng)絡(luò)采集整理.word版本可編寫.支持.立，則實數(shù)m的取值范圍是_.f（m）2m210，解：由題可得f(x)0對于xm，m1恒

16、建立，即解得f（m1）2m23m0，2m0.故填2，0.228.若對于x的不等式x2axa3的解集不是空集，務(wù)實數(shù)a的取值范圍.解：x2axa3的解集不是空集?x2axa30的鑒別式0，解得a6或a2.9.已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)2x的解集為(1，3).(1)若方程f(x)6a0有兩個相等的實根，求f(x)的分析式；(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.解：(1)f(x)2x0的解集為(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因此f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因為方程有兩個相等的實根，因此(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a15.因為a0，舍去a1，將a15代入得f(x)的分析式f(x)1263.5xx55(2)由f(