人力資源規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

1、人力資源規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型一問(wèn)題描述公司有以下三種工作人員：不熟練工、半熟練工和熟練工。公司目 前已經(jīng)擁有一批工作一年以上的職員，通過(guò)對(duì)未來(lái)三年的工作量預(yù)測(cè)得 到了未來(lái)幾年的各類(lèi)職員的需求表格（如下表）。類(lèi)別不熟練半熟練熟練當(dāng)前擁有200015001000第一年100014001000第二年50020001500第三年025002000表1當(dāng)前擁有的各類(lèi)職員數(shù)量及后三年需要的數(shù)量（人）為滿(mǎn)足這些需求，公司可以考慮以下四種人事變動(dòng)途徑：（1）招聘 職員；（2）培訓(xùn)職員；（3）辭退多余職員（4）用臨時(shí)工。公司出于對(duì) 不同公司目標(biāo)的前提下，提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：如果公司的目標(biāo)是盡量減少辭退職員。提出相應(yīng)的招

2、聘和 培訓(xùn)計(jì)劃。問(wèn)題二：如果公司的政策是盡量減少費(fèi)用，則額外費(fèi)用和辭退的職 員人數(shù)將會(huì)怎樣變化。二問(wèn)題分析公司為了滿(mǎn)足公司職員的需要，將考慮一下四種途徑：招聘職員、培 訓(xùn)職員、辭退職員、招臨時(shí)工。然而由于人才具有流動(dòng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，每 年都會(huì)存在員工自然跳槽的事件發(fā)生。公司可與根據(jù)職員的發(fā)展?jié)摿Χ?對(duì)職員進(jìn)行培訓(xùn)，也可以把一些能力不足的職員進(jìn)行將等處理，而對(duì)于 那些能力太差的職員，公司將采取辭退職員的措施。由于員工跳槽具有隨機(jī)性，所以公司可以在任意時(shí)刻針對(duì)員工跳槽后采取額外招聘來(lái)填充 缺少的職員。對(duì)于問(wèn)題一，公司的目的是盡量減少辭退公司職員。而我們先分析三 類(lèi)職員在未來(lái)幾年的需求情況:不熟練員工逐

3、年減少，半熟練和熟練員工 具有逐年增加的趨勢(shì)。公司為了減少辭退職員，也就是說(shuō)三類(lèi)職員中辭 退的職員總數(shù)應(yīng)該取最小值。而為了達(dá)到公司的目的，就應(yīng)該充分利用 公司內(nèi)部職員，不進(jìn)行額外招聘、不招臨時(shí)工，而且要盡量不從公司外 招聘職員。對(duì)于某一個(gè)崗位來(lái)說(shuō)，原有的職員中會(huì)有職員進(jìn)行跳槽，在招進(jìn)來(lái)的 新人中也有一些人會(huì)跳槽，同時(shí)，公司會(huì)對(duì)一些比較有發(fā)展?jié)摿Φ穆殕T 進(jìn)行培訓(xùn)，同樣，公司也可能對(duì)一些職員進(jìn)行降等處理和辭退處理。正 是有了這些人事變動(dòng)才構(gòu)成了這一崗位職員人數(shù)的變化。此時(shí)對(duì)于每一類(lèi)職員，都有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系：前一年的所有職員中 除去跳槽的人數(shù)+招聘的新人中除去跳槽的人數(shù)-本級(jí)培訓(xùn)到上一級(jí)職員 的人

4、數(shù)+下一級(jí)職員培訓(xùn)到本級(jí)的人數(shù)-辭退職員的人數(shù)-本級(jí)降等到下一 級(jí)的職員人數(shù)+上一級(jí)降等到本級(jí)的職員人數(shù)二下一年的總工作職員數(shù)。而有一些崗位上的人事變動(dòng)是有一定限制的。公司根據(jù)未來(lái)幾年工作 量的預(yù)測(cè)而設(shè)置的一些條件，比如：需求量限制，招聘限制，培訓(xùn)限 制。還有一些是隱含的限制條件，比如：辭退和降等的人數(shù)不能超過(guò)原 有崗位人數(shù)，所有參與人事變動(dòng)的崗位都必須至少為0.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的挖掘，便可以得出問(wèn)題一的盡量 減少辭退員工方案模型。對(duì)于問(wèn)題二，公司的目的是盡量減少費(fèi)用，此時(shí)不再考慮職員的多 少，最終目標(biāo)是盡可能減少費(fèi)用。為達(dá)到這樣的目的，我們可以把額外 招聘和臨時(shí)工考慮在內(nèi)。而減

5、少費(fèi)用也可以認(rèn)為是減少額外費(fèi)用，而額 外費(fèi)用的構(gòu)成主要有培訓(xùn)費(fèi)、辭退費(fèi)、額外招聘附加費(fèi)、臨時(shí)工的工 資。相對(duì)于問(wèn)題一來(lái)說(shuō)，問(wèn)題二增加了額外招聘和臨時(shí)工兩個(gè)崗位，目 標(biāo)函數(shù)和約束條件也需要做相應(yīng)的改變。此時(shí)對(duì)于每一個(gè)崗位上的職員來(lái)說(shuō)，都有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系：前一年 所有職員中除去跳槽的人數(shù)+招聘的新人中除去跳槽的人數(shù)-本級(jí)培訓(xùn)到 上一級(jí)職員的人數(shù)+下一級(jí)職員培訓(xùn)到本級(jí)的人數(shù)-辭退職員的人數(shù)-本級(jí) 降等到下一級(jí)的職員人數(shù)+上一級(jí)降等到本級(jí)的職員人數(shù)+額外招聘中除 去跳槽的職員人數(shù)+臨時(shí)工人數(shù)二下一年的總工作人數(shù)。同樣，在某些崗位上的人事變動(dòng)也是有一定限制的。第一種是公司根 據(jù)未來(lái)幾年工作量的預(yù)測(cè)而設(shè)

6、置的一些條件，比如：需求量限制，招聘 限制，培訓(xùn)限制，額外招聘限制、臨時(shí)工招聘限制等。第二種是隱含的 限制條件，比如：辭退和降等的人數(shù)不能超過(guò)原有崗位人數(shù)，所有參與 人事變動(dòng)的崗位都必須至少為0.通過(guò)對(duì)問(wèn)題二的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的挖掘，便可以得出問(wèn)題二的盡 量減少費(fèi)用方案模型。三問(wèn)題假設(shè)1、初始狀態(tài)假定。將當(dāng)前擁有員工狀況認(rèn)定是為第一年擁有員工的 起始狀態(tài)，對(duì)以后兩年采取相同的方式處理。2、工資假定。假定公司對(duì)未來(lái)三年的人才需求量是根據(jù)對(duì)工作量多 少的預(yù)期而參照制定的；公司新招聘的各類(lèi)員工（包括正常招聘和額外 招聘）與工作一年以上的員工的基本年薪相同。3、招聘、辭退計(jì)劃假定。公司的年度招聘、辭

7、退計(jì)劃時(shí)間是相對(duì)固 定，不能隨意變動(dòng)（額外招聘除外）。比如招聘計(jì)劃可采取分年度的年 初招聘方式，也可以采用分季（月）度的季（月）初招聘新員工。同 樣，辭退多余職工而采取的辭退計(jì)劃將隨著招聘計(jì)劃的改變而改變。4、跳槽假定。公司所有的員工都有可能跳槽，但臨時(shí)工除外。5、培訓(xùn)假定。假定公司對(duì)員工的培訓(xùn)時(shí)間在一年中的可以忽略不 計(jì)；假定公司培訓(xùn)員工計(jì)劃也是相對(duì)固定的；根據(jù)企業(yè)的不同追求目 標(biāo)，培訓(xùn)員工計(jì)劃與降等使用員工計(jì)劃這一對(duì)相矛盾的人事變動(dòng)方案在 一年中不能同時(shí)出現(xiàn)。6、降等假定。假定公司降等使用員工是為滿(mǎn)足因員工的隨機(jī)跳槽， 而采用的一種人事變動(dòng)措施；假定公司對(duì)降等使用的員工和辭退的員工 都是工

8、作一年以上的員工，招聘的新人不參與降等；在對(duì)熟練員工的降 等使用中，公司不會(huì)安排越兩級(jí)降等使用。7、額外招聘假定。額外招聘是為應(yīng)對(duì)因員工的隨機(jī)跳槽，而采取彌 補(bǔ)職位空缺的一種方式，這一舉措與公司相對(duì)固定的招聘計(jì)劃時(shí)期不 同，即額外招聘與正常招聘不產(chǎn)生沖突。說(shuō)明：以上各種假設(shè)在本文中都適用。四符號(hào)說(shuō)明,:計(jì)劃招聘職員數(shù)X 2 J培訓(xùn)員工數(shù)X 3 ,：辭退員工數(shù)X 4 J額外招聘員工數(shù)X 5，:招用臨時(shí)員工數(shù)X6i :跳槽員工數(shù)X 7，:降等使用員工數(shù)（1=1,2,3,分別表示不熟練工，半熟練，熟練工）M（ n）：第門(mén)年不熟練工人數(shù)N（ n）：第門(mén)年半熟練的人數(shù)K（ n）：第門(mén)年熟練的人數(shù)F1（X

9、）:公司目標(biāo)為盡量減少辭退職員時(shí)的辭退員工總數(shù)之和r（ x）:公司目標(biāo)為盡量減少辭退職員時(shí)的額外費(fèi)用之和 1F2（X）:公司目標(biāo)為盡量減少費(fèi)用時(shí)的辭退員工總數(shù)之和r2（ x）:公司目標(biāo)為盡量減少費(fèi)用時(shí)的額外費(fèi)用之和五模型建立1、盡量減少辭退員工方案通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，為達(dá)到公司關(guān)于盡量減少辭退員工的目的，充 分挖掘約束條件，得出以下目標(biāo)函數(shù)與約束條件。目標(biāo)函數(shù)為：min x31+x32+x33約束條件為：s.tM(n)*(1-10%)+x11(1-25%)-x21-x31+x72*50%=M(n+1);N(n)*(1-5%)+x12(1-20%)+x21-x22-x32-x72+x73*50%=

10、N(n+1);K(n)*(1-5%)+x13(1-10%)+x22-x33-x73=K(n+1);0=x11=500,0=x12=800,0=x13=500;0=x21=200,0=x22=K(n)*1/4;0=x31=M(n),0=x32=N(n),0=x33=K(n);0=x72=N(n),0=x73=K(n)招聘人員為：x11+x12+x13;培訓(xùn)人員為：x21+x22;辭退員工數(shù)為：F1 (x)=x31+x32+x33；辭退的額外總費(fèi)用為：Y1(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500；2、盡量減少費(fèi)用方案通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，為達(dá)到公司關(guān)于盡量

11、減少費(fèi)用的目的，充分挖 掘約束條件，得出以下目標(biāo)函數(shù)與約束條件。目標(biāo)函數(shù)為：minY2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1500+x42*2000+x43*3000+x51*500+x32*400+x52*400約束條件為：s.tM(n)*(1-10%)+x11(1-25%)-x21-x31+x72*50%+x41(1-25%)+x51=M(n+1);N(n)*(1-5%)+x12(1-20%)+x21-x22-x32-x72+x73*50%_x42(1-20%)+x52=N(n+1);K(n)*(1-5%)+x13(1-10%)+

12、x22-x33-x73+x43(1-10%)+x53=K(n+1 )0=x41+x42+x43=150;0=x11=500,0=x12=800,0=x13=500;0=x21=200,0=x22=K(n)*1/4;0=x31=M(n),0=x32=N(n),0=x33=K(n);0=x41=150,0=x42=150,0=x43=150;0=x52=50,0=x52=50,0=x53=50=x72=N(n),0=x73=K(n);辭退員工數(shù)為：F1 (x)=x31+x32+x33；額外費(fèi)用為：Y2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1

13、500+x42*2000+x43*3000+x51*500+x32*400+x52*400六模型求解1、盡量減少辭退員工方案模型求解把所得的模型化成標(biāo)準(zhǔn)形式：minF1 (x)=x31+x32+x33=(1,1,1)(x31,x32,x33)Tx11*0.75-x21-x31=x72*0.5=M(n+1)-M(n)*0.9;x12*0.8+x21-x22-x72+x73*0.5=N(n+1)-N(n)*0.95;x13*0.9+x22-x33-x73=K(n+1)-K(n)*0.95;x11=500,x12=800,x13=500;x21=20,x22=K(n)*1/4;x31=M（n）,x3

14、2=N（n）,x33=K（n）;x72=N（n）,x73=0;應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)上式進(jìn)行求解（軟件程序見(jiàn)附錄），可以建立線性規(guī)劃問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果（表1）。人數(shù)i=1i=2i=3不熟練半熟練熟練n=0n=1n=2n=0n=1n=2n=0n=1n=2招 聘0000771.152711.1520487.982498.536培 訓(xùn)200200200250183.026211.526辭退637.5200.000250.000000000額外招聘臨 時(shí) 工降 等750020072.21085.208表1 （注：表中橫桿表示不考慮的情況，下同）2、盡量減少費(fèi)用方案模型求解把所得的模型改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：

15、minY2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1500+x42*2000 +x43*3000+x51*500+x52*400+x53*400;x11*0.75-x21-x31=x72*0.5=M（n+1）-M（n）*0.9;x12*0.8+x21-x22-x72+x73*0.5=N（n+1）-N（n）*0.95;x13*0.9+x22-x33-x73=K（n+1）-K（n）*0.95;0=x41+x42+x43=150;0=x11=500,0=x12=800,0=x13=500;0=x21=200,0=x22=K（n）*1/4;0=x

16、31=M（n）,0=x32=N（n）,0=x33=K（n）;0=x41=150,0=x42=150,0=x43=150;0=x52=50,0=x52=50,0=x53=50=x72=N（n）,0=x73=0;應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)上式進(jìn)行求解（軟件程序見(jiàn)附錄），可以建立線性規(guī)劃問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果（表2）。人數(shù)i=1i=2i=3不熟練半熟練熟練n=0n=1n=2n=0n=1n=2n=0n=1n=2招聘000080080055.56500500培訓(xùn)08035.00005075.000辭退812.500320415000000額外 招聘000000000臨時(shí) 工00000005050降等25000

17、00表2七模型結(jié)果分析與檢驗(yàn)1、盡量減少辭退員工方案模型分析與檢驗(yàn)公司的目的是為了盡量減少辭退員工。如果要減少辭退人員，就必 須在其他方面盡量少用人，可以采取以下措施：減少招聘人員，增加培 訓(xùn)人員，增加降等人員。而人數(shù)必須是整數(shù)，考慮到需要的人數(shù)是有限 的，根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)和上面的討論，可得以下結(jié)果。模型最優(yōu)解為：第一年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、0、0，培 訓(xùn)人數(shù)分別為200、250、0，辭退人數(shù)分別為637、0、0，降等人數(shù)分別 為 0、 75、 200。第二年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、771、488，培訓(xùn)人數(shù)分別為200、183、0，辭退人數(shù)分別為2

18、00、0、0，降等 人數(shù)分別為0、0、72。第三年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、711、499，培訓(xùn)人數(shù)分別為200、212、0，辭退人數(shù)分別為250、0、0，降等 人數(shù)分別為0、0、85?？傓o退員工人數(shù)為：F1 (x)=x31+x32+x33=637+200+250=1087辭退的額外總費(fèi)用為：Y1(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500=600*400+645*5 00+1087*200=7799002、盡量減少總費(fèi)用方案模型分析與檢驗(yàn)公司的目的是為了盡量減少總費(fèi)用，費(fèi)用的構(gòu)成主要有培訓(xùn)費(fèi)、辭 退費(fèi)、額外招聘附加費(fèi)、臨時(shí)工的工資。根據(jù)公司提供的培訓(xùn)費(fèi)用資料，盡量多培訓(xùn)程序員，少培訓(xùn)高級(jí)程序員；再根據(jù)辭退政策及公司目 標(biāo)，應(yīng)該盡量多辭不熟練，少辭半熟練和熟練員工；額外招聘的收費(fèi)較 高，在招收范圍內(nèi)盡量少招；由于臨時(shí)工的工資較低，可以在招收范圍 內(nèi)盡量多招。同樣人數(shù)必須是整數(shù)，考慮到需要的人數(shù)是有限的，根據(jù) 計(jì)算所得數(shù)據(jù)和上面的討論，可得以下結(jié)果。模型最優(yōu)解為：第一年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、0、56， 培訓(xùn)人數(shù)分別為0、0、0，辭退人數(shù)分別為8