人教八上數(shù)學12章全等三角形--三角形全等與角平分線-全等模型-課件(共42張)

1、三角形全等與角平分線12三角形全等與角平分線12知識結(jié)構圖三角形邊角關系三邊關系內(nèi)外角證明全等SSS 邊邊邊 SAS 邊角邊 ASA 角邊角&AASHL 直角 角平分線應用性質(zhì)判定22022/9/28知識結(jié)構圖三角形邊角關系三邊關系內(nèi)外角證明全等SSS 邊邊邊邊（SSS）兩個三角形三邊完全相等，兩個三角形全等。32022/9/28邊邊邊（SSS）兩個三角形三邊完全相等，兩個三角形全等。32邊角邊（SAS）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。42022/9/28邊角邊（SAS）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。4角邊角（ASA）&角角邊（AAS）兩角和它們的夾邊相等的兩個三角形全等

2、。52022/9/28角邊角（ASA）&角角邊（AAS）兩角和它們的夾邊相等的兩個直角邊與斜邊（HL）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。62022/9/28直角邊與斜邊（HL）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形“全等”與“”例，已知ABC和DEF全等。其中A=60、E=40、D=80，BC=3，則下列結(jié)論正確的是： B=40； C=80； DE=3； F=60解析：由于ABC與DEF全等，所以邊角沒有對應關系。由于F=180-D- E=60= A從而得出： A與F為對應角。那么BC與DE應為對應邊：BE=BC=3.72022/9/28“全等”與“”例，已知ABC和DEF全等。

3、其中A=6利用全等性質(zhì)證明邊相等或角相等解題思路：證明對應邊（角）相等證明對應邊（角）所在三角形全等找全等已知條件，判斷缺少什么條件通過已知條件推導所缺條件證明全等82022/9/28利用全等性質(zhì)證明邊相等或角相等解題思路：證明對應邊（角）相等利用全等性質(zhì)證明邊相等或角相等如圖，已知AB=AC、AD=AE、BAC= DAE。求證：BD=CE。ABCED解析：由于BD=CE只需證明ABD ACE已知AB=AC、AD=AE缺一個角相等（BAD=CAE）只需證明：BAD=CAE證明：BAC=DAEBAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD 和 ACE中AB=ACBAD=CAEAD=AE

4、ABD ACEBD=CE92022/9/28利用全等性質(zhì)證明邊相等或角相等如圖，已知AB=AC、AD=A三角形的中線倍長1如圖，在ABC中，BD是ABC的中線。（1）如圖，延長中線BD至E，使DE=BD，連接AE、CE。求證：1 ADBCDE；2 AE=BC，AE/BC；3 AB+BC2BD。證明：1 在ADB與CDE中：AD=CD ADB= CDEBD=DE ADBCDE（SAS） 2在ADE、CDB中：AD=CD ADE= CDBBD=DE ADECDB（SAS） AE=BC ; DBC= DEA AE/BC 3 BC=AE由AB+AEBE得：AB+BCBE又BD為中線 BE=2BD AB

5、+BC2BDABCEDD102022/9/28三角形的中線倍長1如圖，在ABC中，BD是ABC的中線。三角形的中線倍長線段AB與線段CE的關系為 。若AB=x，BC=y，中線BD的長度的取值范圍是 。若AB=m，BD=n，線段BC的長度的取值范圍是 。ABCED總結(jié)一下，D為BE、AC中點時：中線倍長遇到三角形中線，常用輔助線就是延長中線，使延長線段與中線等長，從而證明三角形全等達到轉(zhuǎn)移邊或角目的。D112022/9/28三角形的中線倍長線段AB與線段CE的關系為 三角形的中線倍長如圖，在OMN中，MP是OMN的中線， MQ是OMP的中線 ，且OM=OP。求證： MN= 2MQ。QONPMMP

6、N=PMMPN =MPMMP為公共邊MPNMPM （SAS）MN=MM=2MQ又OM=OP且P為ON中點OMP=OPM 且PM=OM=OP=PNMPN為OMP的外角MPN=OMP+OPM把、代入得：MPN=OPM+OPM =MPM在MPN與MPM中：證明：延長MQ至M，使MQ=QM,連接PMMQ是OMP的中線OQ=PQ在OQM與PQM中： OQ=PQ OQM= PQMMQ=QMOQM PQM(SAS)O= OPM 且OM=PM122022/9/28三角形的中線倍長如圖，在OMN中，MP是OMN的中線， 三角形的中線倍長如圖，ABC中，D為AC邊中點，E為AB上一點。（2）若DEDF于D，交BC

7、于F，連接EF。求證：AE+CFEFABCDFEG證明：延長DE至G點，使DG=DE，連接GF、GC。在EDF與GDF中DE=DG EDF= GDF=90DF為公共邊EDFGDF（SAS）EF=FG 在CFG中有：CF+CGFG 把、 代入得：AE+CFEF又D為AC邊中點AD=DC在ADE與CDG中AD=DC ADE= CDGDE=DGADECDG（SAS）AE=CG 132022/9/28三角形的中線倍長如圖，ABC中，D為AC邊中點，E為AB上三角形的中線倍長如圖，AB/CD，E為BD中點，連接AC、CE，若CD=AB+AC.求證：AECE。ACDBEFCEA=CEFCEA+CEF=18

8、0CEA=CEF=90AECEAB=DF且AE=EF又CD=AB+AC即AC=CD-AB=CD-DF=CF在ACE與FCE中AC=CF AE=EFCE為公共邊ACEFCE（SSS）證明：延長AE交CD于F點。AB/CDBAE=DFE，B=D又E為BD中點BE=DE在BAE與DFE中B=D BE=DEBEA=DEF（對頂角）BAEDFE（ASA）142022/9/28三角形的中線倍長如圖，AB/CD，E為BD中點，連接AC、三角形的中線倍長如圖， ABC和DCE分別為等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F(xiàn)為BE中點，連接AF,DF。（1）若a=b=90，求證：AF=DF，

9、AFDF。BCFADEG證明：延長AF至G點，使AF=GF,連接AD,DG,EG. F為BE中點BF=EF在AFB與GFE中AF=GFAFB=GFE（對頂角）BF=EFAFBGFE（SAS）EG=AB=AC且GEF=ABFDEG=DEC+GEF=DEC+ ABF=90在ADF與GDF中：AF=GFFD為公共邊AD=DG ADFGDF（SSS） ADF= GFD=90 AF=DF且AFDF ACD=180- ACB- DCE=90在ACD與GED中DC=DEACD=GED=90EF=ACACDGED（SAS）AD=DG、ADC=GDE CDG+ GDE=90 CDG+ACD=90 ADG為等腰直

10、角三角形152022/9/28三角形的中線倍長如圖， ABC和DCE分別為等腰三角形，三角形的中線倍長如圖， ABC和DCE分別為等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F(xiàn)為BE中點，連接AF,DF。(2)若a 90，B 90，a+b=180，求證：AFDF。BCFADEGAD=DG在AFD與GFD中AD=GDAF=GFDF為公共邊 AFD GFD AFD=GFD=90 AFDF證明：延長AF至點G，使AF=GF，連接EG、DG、AD。 F為BE中點BF=EF在AFB與GFE中 AF=GFAFB=GFE（對頂角） BF=EF AFB GFE （SAS）GE=AB=AC， G

11、EF= ABFACD=180- ACB- DCE=180-(180-a)/2-(180-B)/2=(a+b)/2=90GED=GEF+DEC= (180-a)/2+(180-B)/2=(360-a-b)/2=90即ACD= GED在ACD與GED中 AC=GEACD=GED DC=DF ACD GED （SAS）162022/9/28三角形的中線倍長如圖， ABC和DCE分別為等腰三角形，三角形的中線倍長如圖，AD是ABC的中線，AE AC、AF AB，且AE=AC、AF=AB。求證：2AD=EF。AF證明：延長AD至P，使PD=AD在PBD與ACD中PD=AD PDB=ADC CD=BDPB

12、DACD（SAS）PB=AC、 C= PBDPB/AC BAC+PBA=180ECDBP又CAE+BAF=90+90=180 CAB+EAF=180 PBA= EAF又AC=AE、AC=PBAE=PB在ABP與FAE中AE=PB EAF= PBAAB=AFABPFAE（SAS）EF=PA=2AD172022/9/28三角形的中線倍長如圖，AD是ABC的中線，AE AC、A三角形的高與垂線作垂線后可得直角，結(jié)合題目中多個垂直關系，可作垂線證全等。當題目中出現(xiàn)多組互相垂直線段時，往往可通過同角（等角）或余角相等，進而得到證明全等的條件！182022/9/28三角形的高與垂線作垂線后可得直角，結(jié)合題

13、目中多個垂直關系，可三角形的高與垂線如圖，C=90，BEAB且BE=AB，BDBC且BD=BC，CB延長線交DE于F。求證：F是BD中點。證明：過E作EMCF，交CF延長線于M。ABE=90ABC+EBM=90又EBM+BEM=90ABC=BEM在ABC與BEM中BME=ACB=90ABC= BEMAB=BE ABC BEM（AAS）ME=BC又BC=BD在EMF與DBF中 EMF= DBF EFM= DFBME=BDEMF DBF（AAS）EF=DFF是ED中點ACBDFEM192022/9/28三角形的高與垂線如圖，C=90，BEAB且BE=AB，三角形的角平分線與內(nèi)心如圖，BM、CN是A

14、BC的兩條角平分線，相交于點P。求證：P點在BAC的平分線上。分析：由角平分線的判定可知，要證明P點在BAC的平分線上，只需證明P點到AB、AC兩邊的距離相等。從已知可知：P點在BM上，所以P點到AB、BC兩邊的距離相等，點P又在CN上，所以P點到AC、BC兩邊的距離相等，從而可以由等量代換可證。證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足分別為點D、E、F。BM是ABC的角平分線且P在BM上，PDAB、PEBCPD=PE(角平分線性質(zhì))同理PE=PFPD=PF又PDAB、PFACP點在BAC的平分線上ABCNMDFE202022/9/28三角形的角平分線與內(nèi)心如圖，BM、C

15、N是ABC的兩條角平分三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，已知1= 2，作PA OM、PB ON。結(jié)論PA=PB角平分線的性質(zhì)OPAOPBAASOA=OB3=412OBPN43AM212022/9/28三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，已知1= 2，作PA 三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，在ABC中， C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到直線AB的距離為多少？ACBD解：過點D作DE垂直AB于點E C=90 ACCDAD平分CAB且DE ABCD=DECD=BC-BD=2cmDE=2cm答：點D到直線AB的距離為2cm。E222022/9/28三角形的角平分線向兩邊

16、作垂線如圖，在ABC中， C=90三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，已知1= 2，3= 4。求證： 5= 6FEGDBC345612MNP證明：過點E分別作線段BF、CD、BG的垂線，垂足分別為M、N、P。1=2， 3=4且MEBG、PE BG、EN CDME=PE，ME=NENE=PE又EN CD、 PE BG 5= 6（角平分線性質(zhì)的判定）232022/9/28三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，已知1= 2，3= 三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，ABC的兩條高BD、CE相交于點P，且PE=PD。求證：AC=AB。證明：連接AP PDA= PEA=90在RtPDA與RtPEA中PD=PEP

17、A為公共邊 RtPDA RtPEA(HL)AD=AE又1=90-CAB=2在ACE與ABD中思路分析：證明線段相等可以放到等腰三角形中，或者放到兩個全等三角形中，進而求證對應邊相等。1=2AEC=ADB=90AE=ADACEABD(AAS)AC=AB12BEADCP242022/9/28三角形的角平分線向兩邊作垂線如圖，ABC的兩條高BD、CE角平分線截長補短從角平分線上一點作角兩邊的垂線，垂線段相等，頂點到兩垂足的距離也相等。借此，可在角的兩邊上實施截長或補短，甚至既截長又補短達到“移多補少”的目的。其實質(zhì)是角平分線兩側(cè)的“對稱”位置的三角形全等。如圖，在等腰直角ABC中，C=90，AD平分

18、BAC，若DEAB于E點，則有DC=DE，AC=AE，所以ACDAED，也可得到AB=AC+CD。此時DE把長線段AB截成AE、EB兩段，達到截長效果。ABCDE252022/9/28角平分線截長補短從角平分線上一點作角兩邊的垂線，垂線段相等，角平分線截長補短若作DEBA于點E，DFBC于點F，則可得ADE CDF。故AE=CF，從而將長線段BC上的FC“補”至短線段BA上AE處。ABCDFE如圖，BD平分ABC，AD=DC262022/9/28角平分線截長補短若作DEBA于點E，DFBC于點F，則可角平分線截長補短如圖，AD/BC，DCAD，AE平分BAD，且E是DC的中點。問：AD、BC、

19、AB之間有何關系？解：AB=AD+BC，理由如下：過點E作EFAB于點F。連接BE。AE平分BAD，且DCAD、EFABEF=DE（角平分線性質(zhì)）DE=CEEC=EF在RtBFE與RtBCE中EF=CEBE為公共邊 RtBFERtBCE（HL）BF=BC同理AF=ADAD+BC=AF+BF=AB即AB=AD+DCADECBF272022/9/28角平分線截長補短如圖，AD/BC，DCAD，AE平分B一線三等角如圖，ABAC，BDDE，CEDE，AB=AC。求證：DE=BD+CE。證明：ADBEC ABAC，BDDE，CEDE AEC= BAC= ADB=90 1+ 2=90 1=3在AEC與B

20、DA中 AEC= ADB1=3AC=AB AEC BDA (AAS)CE=ADDE=BD+CE132282022/9/28一線三等角如圖，ABAC，BDDE，CEDE，AB=A一線三等角ADBEC123ECADB132 三垂直一線三等角 1+ 3=90且2+ 3=90 1= 2又BDDE，CEDE AEC= BDA又 CA=BA AECBDA(AAS) 1+ 3=180- 且2+ 3=180- 1= 2又AEC= BDA= 又 CA=BA AECBDA(AAS) 292022/9/28一線三等角ADBEC123ECADB132 三垂直一線三等角已知， BED與CFD為等腰直角三角形，AB AG

21、，CG AG求證：AB+CG=EF證明：BAEFGCD過D作DH AG于H點 AEB+ DEH= HDE+ DEH=90 AEB= HDE在AEB與 HDE中AEB= HDEBAE= EHDBE=EDAEBHDE(AAS)AB=EH同理CG=HFEH+HF=EF AB+CG=EFH302022/9/28一線三等角已知， BED與CFD為等腰直角三角形，AB 一線三等角已知：BE=DE， A= BED= ,DF=CF, DFC=G= . + =180求證：AB+CG=EF證明：BAEFGCD 在EF上截取線段EH，使EH=AB，連DH 1+ 2=180-且3+ 2=180- 1= 3又BE=DE

22、AEBHDE(SAS) DHE= 又+ =180 DHF= 同理DHFFGC(AAS)HF=CG AB+CG=EFH213 312022/9/28一線三等角已知：BE=DE， A= BED= ,DF=截長補短法求線段數(shù)量關系（和差倍半）截長：在長邊上截取一段等于短邊，然后證明另外兩短邊相等。補短：在短邊上延長一段等于另一短邊，然后證明這兩短邊之和等于長邊。322022/9/28截長補短法求線段數(shù)量關系（和差倍半）截長：在長邊上截取一段等截長補短法求線段數(shù)量關系（和差倍半）如圖， ABC的角平分線BD，與BCD的角平分線AC相交于O點。 BOC=120。求證：BC=AB+CD。證明：在BC上截取

23、點E，使BE=AB在ABO與EBO中AB=BEABO=EBOBO為公共邊 ABO EBO（SAS） AOB= EOB AOB=180- BOC=60 AOB= EOB=60 COE= BOC- EOB=60 COD=AOB=60在OCE與OCD中COD= COE=90OC為公共邊OCE= OCD OCE OCD(ASA)CE=CDBC=BE+CE=AB+CDABCDOE332022/9/28截長補短法求線段數(shù)量關系（和差倍半）如圖， ABC的角平分截長補短：半角模型如圖，已知AB=AD， B+ D=180， 2EAF= BAD。求：EF與BE、DF滿足什么關系？解：延長DF至點G，使DG=BE

24、B+ ADF=180， 且ADF+ ADG=180 B= ADG在ABE與ADG中AB=ADB= ADGBE=DG ABE ADG BAE= DAG，AE=AG BAE+ DAF= EAF= BADDAG+ DAF=EAF即FAG= EAF在AEF與AGF中AE=AGFAE=FAGAF為公共邊 AEFAGF(SAS)EF=GF又GF=DF+DG=DF+BEEF=BE+DFABECFDG342022/9/28截長補短：半角模型如圖，已知AB=AD， B+ D=18“手拉手”模型已知：OA=OB、OA=OB、 AOB= AOB。求證： 三角形全等(OAAOBB)手相等(AA=BB)手的夾角等于頂角

25、頂點連手交點得平分。OA（左手）A（左手）B（右手）B（右手）ABBA三大特征1兩個等腰三角形2頂角相等3頂點重合。頂點重合352022/9/28“手拉手”模型已知：OA=OB、OA=OB、 AOB=“手拉手”模型證明 三角形全等(OAAOBB)AOB=AOA+AOB AOB=BOB+AOB又AOB=AOBAOA= BOB在OAA與OBB中OA=OBAOA= BOBOA=OBOAAOBB(SAS)OA（左手）A（左手）B（右手）B(右手)ABBA362022/9/28“手拉手”模型證明 三角形全等(OAAOBB)O“手拉手”模型證明手相等(AA=BB)OAAOBBAA=BBOA（左手）A（左手）B（右手）ABBA372022/9/28“手拉手”模型證明手相等(AA=BB)OA（左手）A“手拉手”模型證明手的夾角等于頂角(AA，BB的夾角，即C= AOB)OAAOBB OAP= PBC在OPA與CPB中： OAP= PBC APO= BPC(對頂角)C= AOBOA（左手）A（左手）B（右手）BABACP382022/9/28“手拉手”模型證明手的夾角等于頂角OA（左手）A（左手）“手拉手”模型證明頂點連手交點得平分(OC平分ACQ)過O點分別作OM、ON垂直于AC和BQOAAOBBOM=ON(全等三角形對應高相等)又OMAC、ONBQOC平分ACQ(角