初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)（2023年修訂）總復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)一線(xiàn)三等角

1、“聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)的深度教學(xué)”教學(xué)設(shè)計(jì)任教學(xué)科（黑體，小四號(hào)）：數(shù)學(xué)上課教師：黃心雨（成都七中育才學(xué)校）上課班級(jí)：鹽道街中學(xué)初中部 初三 年級(jí) 九 班教學(xué)課題：初三相似復(fù)習(xí)專(zhuān)題“一線(xiàn)三等角”一、教材及學(xué)情分析（一）教材分析相似形的知識(shí)有很重要的實(shí)用價(jià)值，它與人類(lèi)的生產(chǎn)和生活有著廣泛的聯(lián)系，如測(cè)量、繪圖、電影、照相等都涉及相似形的知識(shí)。從研究圖形的全等發(fā)展到研究圖形的相似，用幾何變換的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，就是從研究圖形的保距變換發(fā)展到研究圖形的保角變換，從研究線(xiàn)段的相等發(fā)展到研究線(xiàn)段的比，這是認(rèn)識(shí)上的一次深化。學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形和四邊形之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)相似形的知識(shí)，是對(duì)于直線(xiàn)形研究的繼續(xù)。相似形與前面學(xué)習(xí)

2、的全等形之間既有密切的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。全等形是相似形的特殊情況，相似形比全等形更具有一般性。所以，這一章所研究的知識(shí)實(shí)際上是前面學(xué)習(xí)的全等形問(wèn)題的發(fā)展和拓廣。相似形與后續(xù)的“解直角三角形”和“圓”的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，在研究三角函數(shù)的定義、與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段時(shí)都要依賴(lài)相似形的知識(shí)。同時(shí)，有了全等形和相似形的知識(shí)，又可大大充實(shí)和豐富圓的研究?jī)?nèi)容。所以，相似形在學(xué)習(xí)平面幾何中起著承上啟下的作用。而一線(xiàn)三等角是一類(lèi)重要的相似形。學(xué)情分析由于初三還沒(méi)有進(jìn)入全面的復(fù)習(xí)階段，故學(xué)生雖然對(duì)相似三角形有了認(rèn)識(shí)與了解，但是相似三角形和其他知識(shí)之間的聯(lián)系方面還有待提高。特別是相似三角形在其它背景中的應(yīng)用還不

3、熟練。所以在課堂中，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍，積極引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究發(fā)現(xiàn)、合作交流。學(xué)生雖然對(duì)相似形和四邊形、三角形等知識(shí)有一定的感性認(rèn)識(shí)，但是更多的是在特定的范圍內(nèi)研究的，對(duì)于相似形的工具性作用，學(xué)生還不能合理運(yùn)用。特別是相似三角形和其他知識(shí)的緊密結(jié)合。因此在教學(xué)中，我采取從特殊到一般，再由一般到特殊的方式。從學(xué)生已有認(rèn)知入手，通過(guò)提出關(guān)鍵性問(wèn)題，師生交流討論、質(zhì)疑，釋疑等活動(dòng)，逐步使學(xué)生思維走向深刻，幫助學(xué)生感悟“一線(xiàn)三等角”在相似三角形判定中重要作用，引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟整體把握幾何主線(xiàn)的價(jià)值與意義。經(jīng)過(guò)提前對(duì)貴校（鹽道街中學(xué)）初三九班的了解，了解到學(xué)生對(duì)“一

4、線(xiàn)三等角”有一定的了解，本節(jié)課的重點(diǎn)放在構(gòu)造模型到深入模型，再到總結(jié)模型，并且一講一練，來(lái)運(yùn)用模型、識(shí)別模型、構(gòu)造模型。課標(biāo)分析根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)核心概念的解讀：“幾何直觀(guān)主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀(guān)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)生直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)運(yùn)用兩組對(duì)應(yīng)

5、角分別相等的兩個(gè)三角形為相似三角形的判定方法證明兩個(gè)三角形相似。2.經(jīng)歷觀(guān)察、比較、歸納的學(xué)習(xí)過(guò)程，歸納出“一線(xiàn)三等角”圖形的基本特征，并且能夠在不同的背景中認(rèn)識(shí)和把握基本圖形。3.會(huì)運(yùn)用“一線(xiàn)三等角”轉(zhuǎn)化邊、角關(guān)系，進(jìn)而解決相關(guān)的問(wèn)題。4.會(huì)構(gòu)造“一線(xiàn)三等角”模型，從而解決幾何中的邊、角問(wèn)題。5.在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受幾何直觀(guān)圖形對(duì)幾何學(xué)習(xí)的重要性。四、教學(xué)內(nèi)容提煉模型 = 深入模型 = 歸納模型；（從特殊到一般）識(shí)別模型 & 運(yùn)用模型 = 構(gòu)造模型。（層層遞進(jìn)，步步升華）五、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：1.經(jīng)歷提煉模型、歸納模型的過(guò)程，掌握一線(xiàn)三等角的特征以及基本結(jié)論。2.在不同背景中識(shí)別基本圖形。3.運(yùn)用

6、“一線(xiàn)三等角”解決相關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題。4.構(gòu)造“一線(xiàn)三等角”解決問(wèn)題。 難點(diǎn)：運(yùn)用“一線(xiàn)三等角”解決相關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題。構(gòu)造“一線(xiàn)三等角”解決問(wèn)題。教學(xué)設(shè)計(jì)【引入】（設(shè)計(jì)意圖：顯示各年、各地中考題，體現(xiàn)一線(xiàn)三等角在中考中的重要地位與價(jià)值。）【熱身?yè)尨稹浚ㄔO(shè)計(jì)意圖：通過(guò)熱身?yè)尨?，在含有特殊角的情況下，通過(guò)對(duì)題目回答，回顧一線(xiàn)三等角的基本證明方法與結(jié)論。初步了解一線(xiàn)三等角）如圖，已知BCAEF=130，請(qǐng)證明：BEACFE.如圖，在等邊DBC中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AEF=60，請(qǐng)證明：BEACFE.3. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AEEF，請(qǐng)證明：BEACFE.【提煉模型】請(qǐng)以小

7、組為單位交流如下問(wèn)題（時(shí)間3分鐘）：（設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般提煉模型，找到模型的特征與基本結(jié)論，并且用常用的方法進(jìn)行證明。）這個(gè)基本模型的特征是什么？這個(gè)模型的結(jié)論是什么？證明方法有哪些？ _【深入模型】（設(shè)計(jì)意圖：由于以上模型的局限，故討論另一種情況，從而歸納出模型的一般結(jié)論）小組討論：當(dāng)三個(gè)等角不在同一側(cè)時(shí)，還有沒(méi)有類(lèi)似的結(jié)論？（設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用幾何畫(huà)板，讓學(xué)生感知深入模型的產(chǎn)生原理，并且通過(guò)小組討論，讓每一個(gè)學(xué)生參與其中）問(wèn)題1：當(dāng)DCF=CBA=FEA=90時(shí)，請(qǐng)證明ABEECF；問(wèn)題2：若DCF=CBA=FEA為銳角時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？如何證明？如果為鈍角時(shí)呢？_【歸納模型】思考：三

8、個(gè)等角的頂點(diǎn)有沒(méi)有共同特征？（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)模型的歸納，得到它的一般特征，為接下來(lái)的應(yīng)用做好鋪墊，模型的深入認(rèn)識(shí)與歸納是為了做到以不變應(yīng)萬(wàn)變）_【應(yīng)用模型】典例探究例1（設(shè)計(jì)意圖：例1是模型的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，通過(guò)相似轉(zhuǎn)化邊、角）例1. 在等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在A(yíng)C上取一點(diǎn)E，使ADE=30，設(shè)BD= x，AE= y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式?！緫?yīng)用模型】例1.變式練習(xí)（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)變式練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)找相似三角形。并且題目探討后，對(duì)做題的方法與思想進(jìn)行歸納，從而提升課堂的深度）變式1. 如圖，已知1=B=C，請(qǐng)

9、你畫(huà)出相似的三角形。變式2. 如圖，直線(xiàn) l經(jīng)過(guò)等邊ABC的頂點(diǎn)B，ADBCEB120，請(qǐng)你畫(huà)出相似的三角形。思考：（1）如何識(shí)別一線(xiàn)三等角？（2）如何運(yùn)用它解決問(wèn)題？_歸納總結(jié)：_【構(gòu)造模型】典例探究例2（題目設(shè)計(jì)是知2角構(gòu)1角，設(shè)計(jì)意圖：從運(yùn)用模型到構(gòu)造模型，題目難度步步加深，對(duì)模型的應(yīng)用深度也步步加深，同樣題目探討后，對(duì)做題的方法與思想進(jìn)行歸納，從而提升課堂的深度。）例2. 在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，且ACB90，kACBC，k為常數(shù)且k0。（1）如圖1，當(dāng)A(0,2)，C(1,0)，點(diǎn)B在第四象限時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)；（用含k的式子來(lái)表示）（2）如圖2，

10、BDy軸于點(diǎn)D，請(qǐng)判斷 是否為定值？ 圖2圖1 思考：（1）在此題中，如何想到要用一線(xiàn)三等角？（2）一線(xiàn)三等角如何構(gòu)造？_歸納總結(jié)：_【構(gòu)造模型】例2.變式練習(xí)（設(shè)計(jì)意圖：此題是一道非常具有討論價(jià)值的題目，難度也大，但是能夠充分體現(xiàn)一線(xiàn)三等角的價(jià)值，并且是構(gòu)造里面的知1角構(gòu)2角的情況。同樣題目探討后，對(duì)做題的方法與思想進(jìn)行歸納，從而提升課堂的深度。）例2. 如圖，已知反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4），若在該圖象上有一點(diǎn)P，使得AOP45，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是？思考：（1）如何想到要用一線(xiàn)三等角？（2）一線(xiàn)三等角如何構(gòu)造？_歸納總結(jié)：_【課堂小結(jié)】:_【課后思考】（設(shè)計(jì)意圖：一題多解、一法多用，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維）思考1. 例2變式還有其他方法嗎？思考2. 如圖，ABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且CD3BD，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，作AMl于M，BNl于N，若AM3，BN2，則MN_七、作業(yè)設(shè)計(jì)：思考題1與思考題2八、小結(jié)：（讓學(xué)生來(lái)說(shuō)，讓學(xué)生成為課堂的主