一道空間軌跡題目的背景研究與深度挖掘

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 一道空間軌跡題目的背景研究與深度挖掘 許鮪潮 麥桂崧 在高考改革的過渡時(shí)期，2022年高考山東數(shù)學(xué)試題受到廣泛的關(guān)注，該試卷試題設(shè)計(jì)嚴(yán)格，聚焦主干知識(shí);凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng);表達(dá)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，滲透數(shù)學(xué)文化，關(guān)注創(chuàng)新，第16題是其中典型代表，本文嘗試透過這道試題表面挖掘試題深處隱含著的背景，領(lǐng)會(huì)解題思路，洞悉命題意圖. 1 試題浮現(xiàn) 例1（2022年高考山東卷.16）己知直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的棱長均為2，BAD= 60，以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為_. 分析此題考察球面與直四棱柱側(cè)

2、面交線長的計(jì)算問題，表達(dá)了直觀想象和規(guī)律推理等核心素養(yǎng)，突破的重難點(diǎn)在于找出球面與側(cè)面的交線，是一道區(qū)分度較大的難題， 如圖1，取B1C1的中點(diǎn)為E，BB1的中點(diǎn)為F，CG的中點(diǎn)為G，依題意可得D1EB1C1，由BB1A1B1C1D1，故BB1上D1E，又BBB1C1=B1，所以D1E面BCC1B1，設(shè)P為軌跡上任意一點(diǎn)，則EP 2 試題背景溯源 這道題的背景是丹德林（Dandelin）雙球模型，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinal Pierre Dandelin于1 882年在一篇論文中用圓錐面和截面之間嵌入兩個(gè)內(nèi)切球，證明白圓錐曲線的截線定義與軌跡定義的等價(jià)性定理，稱為“冰淇淋定理1，定理也說明白

3、為什么把橢圓，雙曲線，拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線2，還可將模型推廣到圓柱體，得到“圓柱體Dandelin雙球模型3. 在高中數(shù)學(xué)教材中，北師大版和蘇教版都將其作為一個(gè)教學(xué)內(nèi)容編排，人教版中選修1-1和2-1中其次章的章引言給出了相關(guān)的圖片及后面的探究與發(fā)現(xiàn)中“為什么截口是橢圓引入了丹德林雙球模型，選修4-1幾何證明選講中第三講再次引入，但是筆者查閱資料卻發(fā)現(xiàn)相關(guān)的研究十分少，是一個(gè)被輕視的知識(shí)點(diǎn)，本文從球的定義及圓的定義出發(fā)，得到一個(gè)類似的模型“球體截面模型，并以此題為最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行深度挖掘， 球體截面模型：有一平面截一個(gè)球體，則截面必為圓形，且球心與圓心連線垂直于平面， 證明如圖2，點(diǎn)O為球心，任一確定的平面a與球相交得一截面，過球心O作OAa于點(diǎn)A，則|OA|為確定值d.設(shè)點(diǎn)B為截面與球交點(diǎn)軌跡上任一點(diǎn)，連接OB，BA，則OAB為直角三角形，且BA2= OB2-OA2= R2-d2為定值，根據(jù)圓的定義，點(diǎn)B的軌跡為一個(gè)以點(diǎn)A為圓心，半徑為R2d2的圓. 3 試題的拓展探討 空間軌跡這類試題往往涵蓋的知識(shí)點(diǎn)多，知識(shí)跨度