復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

1、精品資料 歡迎下載 復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 I 題源探究黃金母題 杰出解讀 【試題來(lái)源】 2022 年高考江西卷改編 【母題評(píng)析】 此題以新定義的形式考查復(fù)合 函數(shù),分段函數(shù)的零點(diǎn),難度較大新定義 （信息題）是近幾年來(lái)高考的一個(gè)熱點(diǎn) 【思路方法】 懂得定義,寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)的解 析式,再利用函數(shù)與方程思想,分類(lèi)分類(lèi)討 論思想,數(shù)形結(jié)合思想解題 【例 1】設(shè)函數(shù) f x 1 x , 0 ax a , x （ a 為常數(shù)且 1 1a1 x , a 1a0,1 ） 如 x0 是 f f x x 的零點(diǎn)但不是 f x x 的零點(diǎn),就稱 x0 為 f x 的二階周期點(diǎn),求函數(shù) f x 的二階周期點(diǎn) 【答案】函數(shù)

2、 f x 有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn), x1 a2 aa1, x2 a 2 1a1 1x,0 x 2 a , a 2 【解析】 f f x 1a a 2 x, a x aa, a 1, a1 12x a, a x 2 1 a1 1 a1 a x, a 2a1 x 1. 當(dāng) 0 x 2 a 時(shí),由 1x x 解得 x 0,由于 f 00 , a2故 x 0 不是 f x 的二階周期點(diǎn)； 當(dāng) a2x a 時(shí),由 1a a x x 解得 a1 x a2aa12 a , a, 因 f a 2 a a 1 1a2 aa1a 2 1a 1 a2 aa1, a故 x a2 aa1是 f x 的二階周期點(diǎn)； 當(dāng)

3、ax a2a 1 時(shí),由 1 x a x 解得 2 1 a x 12 a,a a 1 ,因 2a第 1 頁(yè),共 25 頁(yè)f 11111故 x 精品資料 不是 歡迎下載 12a1a2a2a2af x 的二階周期點(diǎn)； 當(dāng) a2 a1x 1 時(shí), 11 x a x 解得 2 a1a1, a1 x a 2 1a1a2a 1,1,因 f a21a 1 1a1 a21a 1 2 a aa 11 故 x a21a1是 f x 的二階周期點(diǎn) 綜上：函數(shù) f x 有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn), x1 a2aa1, x2 a21a1 II 考場(chǎng)杰出真題回放 【例 2】【 2022年高考江蘇卷】 設(shè) f x 是定義在 R

4、 且周期為 1【命題意圖】 此題主要考查復(fù)合函數(shù)的零 點(diǎn)此題能較好的考查同學(xué)的運(yùn)算才能,動(dòng) 手作圖才能以及觀看才能等 【考試方向】 這類(lèi)試題在考查題型上,通常 基本以選擇題或填空題的形式顯現(xiàn),綜合性 強(qiáng),難度大 【難點(diǎn)中心】 解答此類(lèi)問(wèn)題, 關(guān)鍵在于 “抽 繭剝絲”,把復(fù)合函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單函數(shù)問(wèn) 題,精確作出函數(shù)圖象, 利用圖象解決問(wèn)題 的函數(shù),在區(qū)間 0,1 上, f x 2 x , x D, 其中集合 x, x D , Dx x n1, n nN* ,就方程 f x lg x 0 的解的個(gè)數(shù)是 【答案】 8【解析】由于 f x 0,1 ,就需考慮 1 x 10 的情形 在此范疇內(nèi), x Q

5、 且 x Z時(shí),設(shè) x q , p, q p N * , p 2,且 p, q 互質(zhì) 如 lg x Q ,就由 lg x 0,1 ,可設(shè) lg x n, m, nN * , m 2 ,且 m, n 互質(zhì) m nqn,就 10 q m p,此時(shí)左邊為整數(shù),右邊非 因此 10mp整數(shù),沖突,因此 lg x Q 因此 lg x 不行能與每個(gè)周期內(nèi) x D對(duì)應(yīng)的部分相等,只需 考慮 lg x 與每個(gè)周期 x D 的部分的交點(diǎn),畫(huà)出函數(shù)圖象, 第 2 頁(yè),共 25 頁(yè)圖中交點(diǎn)除 1, 0 精品資料 歡迎下載 外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù), 屬于每個(gè)周 期 x D 的部分, 且 x 1 處 lg x 111

6、 ,就 x ln10 ln10 在 x 1 鄰近僅有一個(gè)交點(diǎn),一次方程解的個(gè)數(shù)為 8 【例 3】【2022年高考天津】已知函數(shù) f x 2x , x 2, 函數(shù) g x bf 2 x ,其 x 2 2 , x 2, 中 bR,如函數(shù) y f x g x 恰有 4 個(gè)零點(diǎn),就 b 的 取值范疇是 （ ） A 7, B 7 , 4C 7 0, 4D 7, 2 44【答案】 D 【解析】 2 x , x 2, 2 2 x , x 0由 f x 2 得 f 2 x 2, x 2 , x 2, x , x 02 x x 2 , x 0y f x f 2 x 4 x 2 x , 0 x 2 ,即 22 2

7、 x x 2 , x 22x x 2, x 0y f x f 2 x 2, 0 x 22x 5x 8, x 2 y f x g x f x f 2 x b ,所以 y f x g x 恰有 4 個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程 f x f 2 x b 0 有 4 個(gè)不同的解, 即函數(shù) y b 與函 數(shù) y f x f 2 x 的圖象的 4 個(gè)公共點(diǎn),由圖象可知 7 b 2 4第 3 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 8 6 4 215 10 5510 15 2 4 6 8III 理論基礎(chǔ)解題原理 1復(fù)合函數(shù)定義：設(shè) y f t , t g x ,且函數(shù) g x 的值域?yàn)?f t 定義域的子集,那么 y 通過(guò)

8、 t 的 聯(lián)系而得到自變量 x 的函數(shù),稱 y 是 x 的復(fù)合函數(shù),記為 y f g x 2復(fù)合函數(shù)函數(shù)值運(yùn)算的步驟：求 y g f x 函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的次序,一層層求出函數(shù)值 例如：已知 f x 2 x , g x x 2 x,運(yùn)算 g f 2 【解析】 f 2 2 2 4 , g f 2 g 4 12 3已知函數(shù)值求自變量的步驟：如已知函數(shù)值求 x 的解,就遵循“由外到內(nèi)”的次序,一層層拆解直到求 出 x 的值例如：已知 f x 2x , g x x 2 2x ,如 g f x 0 ,求 x 的值,再求對(duì)應(yīng) x 的 由上例可得,要想求出 g f x 0 的根,就需要先將 f x 視

9、為整體,先求出 f x 解,這種思路也用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,先回憶零點(diǎn)的定義 4函數(shù)的零點(diǎn)：設(shè) f x 的定義域?yàn)?D ,如存在 x0 D,使得 f x0 0 ,就稱 x x0 為 f x 的一個(gè)零 點(diǎn) 5復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的特點(diǎn)：考慮關(guān)于 x 的方程 g f x 0 根的個(gè)數(shù),在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),要分為兩層來(lái) 分析,第一層是解關(guān)于 f x 的方程, 觀看有幾個(gè) f x 的值使得等式成立； 其次層是結(jié)合著第一層 f x 的 值求出每一個(gè) f x 被幾個(gè) x 對(duì)應(yīng),將 x 的個(gè)數(shù)匯總后即為 g f x 0 的根的個(gè)數(shù) IV 題型攻略深度挖掘 【考試方向】 這類(lèi)試題在考查題型上,通?；疽赃x擇題或填

10、空題的形式顯現(xiàn),一般綜合性強(qiáng),難度大 【技能方法】 求解復(fù)合函數(shù) y g f x 零點(diǎn)問(wèn)題的技巧： 第 4 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 f x , g x 的圖像 （ 1）此類(lèi)問(wèn)題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密,在處理問(wèn)題的開(kāi)頭要作出 （ 2）如已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范疇,就先估量關(guān)于 f x 的方程 g f x 0 中 f x 解的個(gè)數(shù),再依據(jù) 個(gè)數(shù)與 f x 的圖像特點(diǎn),支配每個(gè)函數(shù)值 f i x 被幾個(gè) x 所對(duì)應(yīng),從而確定 fi x 的取值范疇,進(jìn)而準(zhǔn)備 參數(shù)的范疇 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 1函數(shù)零點(diǎn)忽視單調(diào)性的存在例如：如函數(shù) fx 在區(qū)間 2, 2 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且 fx 在 2,

11、 2 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),就 f 2 f （ 2）的值 A大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能確定 解答：如函數(shù) fx 在 2, 2 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),該零點(diǎn)可分兩種情形： （ 1）該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn),就 f 2 f （ 2） 0,因此選 D 易錯(cuò)警示： 警示 1：錯(cuò)誤認(rèn)為該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)；警示 2：不知道非變號(hào)零點(diǎn)這種情形 方法剖析：方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題,可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定,但要確定零 點(diǎn)的個(gè)數(shù)仍需進(jìn)一步爭(zhēng)論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,在給定的區(qū)間上,假如函數(shù)是單調(diào)的,它至多有一個(gè)零 點(diǎn),假如不是單調(diào)的,可連續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間,再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù),

12、作出正 確判定此題的解答錯(cuò)誤在于沒(méi)有正確懂得函數(shù)零點(diǎn)的含義及存在性,事實(shí)上,當(dāng) fx 在 2, 2 內(nèi)有一 個(gè)零點(diǎn)時(shí), f 2 f （ 2）的符號(hào)不能確定 2要留意對(duì)于在區(qū)間 a , b 上的連續(xù)函數(shù) fx ,如 x0 是 fx 的零點(diǎn),卻不愿定有 fa fb0 ,即 fa fb0 僅是 fx 在 a , b 上存在零點(diǎn)的充分條件,而不是必要條件 留意以下幾點(diǎn)：中意零點(diǎn)存在性定理的條件的零點(diǎn)可能不唯獨(dú)； 不中意零點(diǎn)存在性定理?xiàng)l件時(shí),也可能有零點(diǎn) 由函數(shù) y f x 在閉區(qū)間 a, b 上有零點(diǎn)不愿定能推出 f a f b 0 ,如以下圖所以 上是一個(gè) f a f b 0 是 y f x 在閉區(qū)

13、間 a, b 上有零點(diǎn)的充分不必要條件 f x 在區(qū)間 a,b 留意：假如函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且函數(shù) 單調(diào)函數(shù),那么當(dāng) f a f b 0 時(shí),函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 內(nèi)有唯獨(dú)的零點(diǎn),即存在唯獨(dú)的 c a,b ,使 f c 0 假如函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有 f a f b 0 ,那么,函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 內(nèi)不愿定沒(méi)有零點(diǎn) 假如函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,那么當(dāng)函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)不 第 5 頁(yè),共 25 頁(yè)確定有 f a f b 0 ,也可能有

14、f a 精品資料 歡迎下載 f b 0 V舉一反三觸類(lèi)旁通 【例 1】【 2022四川綿陽(yáng)一診】 函數(shù) 中意 ,且當(dāng) 時(shí), 如函數(shù) 的圖象與函數(shù) （ ,且 ）的圖象有且僅有 4 個(gè)交點(diǎn),就 的取值集合為（ ） A B C D 【答案】 C【例 2】【2022南寧高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】設(shè)函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù),且 ,當(dāng) 時(shí), ,如在區(qū)間 內(nèi)關(guān)于 的方程 （ 且 ）有且 只有 4 個(gè)不同的根,就實(shí)數(shù) 的取值范疇是（ ） A B C D 【答案】 D【解析】由題意可得函數(shù) fx 的對(duì)稱軸為 x=2,周期為 T=4,原方程變形為 , , 所以只需畫(huà)出 ,兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 -2 ,6 的圖像,依據(jù)圖像求

15、 a 的范疇,圖像如下, 確定過(guò)（ -1 , 0）點(diǎn),當(dāng) 時(shí),明顯只有一個(gè)交點(diǎn),所以 ,只需要對(duì)數(shù)從點(diǎn) B,點(diǎn) C 下面穿過(guò)就有 4 個(gè)零點(diǎn),所以 解得 ,選 D 【點(diǎn)睛】 對(duì)于求不同類(lèi)的兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的方程, 我們常把方程變形為 fx=gx ,然后依據(jù) y=fx 與 y=gx 的兩個(gè)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判定原方程根的個(gè)數(shù)如此題把方程 變形為 ,再畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像,依據(jù)兩個(gè)圖像有 4 個(gè)交點(diǎn),求出參數(shù) a 的范疇 第 6 頁(yè),共 25 頁(yè)【例 3】【 2022河南天一大聯(lián)考】已知函數(shù) 精品資料 歡迎下載 如關(guān)于 的方程 有 3 個(gè)實(shí)數(shù)根,就實(shí)數(shù) 的取值范疇是（ ） A B C D 【答案】 D【解析

16、】作圖如下： 因此要使方程 有 3 個(gè),實(shí)數(shù) 的取值范疇是 ,選 D 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù) 或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 問(wèn)題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性, 草圖確定其中參數(shù)范疇從圖象的最高點(diǎn),最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值,極值；從圖象的對(duì)稱性,分析函數(shù) 的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì),分析函數(shù)的單調(diào)性,周期性等 【例 4】【2022廣西桂林柳州高三綜合模擬】已知函數(shù) f x log 3 x,0 x 3 x 4 , x 3 ,如函數(shù) h x f x mx 2 有三個(gè)不同的零點(diǎn),就實(shí)數(shù) m 的取值范疇是（ ） A 1,1 B 1 , 21, C 1 , 21, D 1,1 22【答案】 A A（

17、0, 2）,B（3, 1）, C（ 4, 0 ）,就 g（ x）的圖象介于直線 ABAC 之間,介kAB m kAC,可得 1 2和 于 第 7 頁(yè),共 25 頁(yè)m 1故答案為： （ 12, 1） 精品資料 歡迎下載 點(diǎn)睛 : 函數(shù) h（ x） =f （ x） mx+2 有三個(gè)不同的零點(diǎn),即為 f （ x） mx+2=0 有三個(gè)不同的實(shí)根,可令 y=f （ x ）, y=g（ x） =mx 2,分別畫(huà)出 y=f （ x）和 y=g（x）的圖象,通過(guò)圖象觀看,結(jié)合斜率公式,即可得到 m 的范f x 2x 2 , x 1,就函數(shù) 疇 【例 5】【2022廣東珠海一中等六校第一次聯(lián)考】已知函數(shù) 2F

18、 x f f x 2 f x 3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） log2 x 1, x 12A 4 B 5 C 6 D 7 【答案】 A 3【解析】解：令 t=f （ x）, F（ x） =0,就 f （ t ） 2t 2=0, t 對(duì)應(yīng)幾個(gè) x 【名師點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是找出內(nèi)外層函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,找準(zhǔn)一個(gè) 【例 6】【2022安徽阜陽(yáng)臨泉一中上學(xué)期二?！恳阎?,如關(guān)于 的方程 恰好有 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,就實(shí)數(shù) 的取值范疇是 【答案】 【解析】 , , 當(dāng) 在 或 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,在 第 8 頁(yè),共 25 頁(yè)可作出 精品資料 歡迎下載 大致函數(shù)圖象如以下圖： 令 ,就

19、當(dāng) 時(shí),方程 有一解；當(dāng) 時(shí),方程 有兩解； 時(shí),方 程 有三解 關(guān)于 的方程 ,恰好有 4 個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 關(guān)于 的方程 ,解得 在 和 上各有一解 ,故答案為 【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范疇常用的方法和思路：直接法：直接依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于 參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范疇；分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題 加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求 解 【例 7】【2022湖南株洲醴陵其次中學(xué),醴陵第四中學(xué)高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考】已知函數(shù) f x log 2 x ,0 x 2,如 0 a bc,中意 f （

20、 a） =f （b） =f （c）,就 ab 的范疇為 x 2 2 x , x 2f c 【答案】（1, 2） 0abc ,中意 f af bf c , log 2 a log 2 b ,即 ab 1, f c c 211, 2c 2c 第 9 頁(yè),共 25 頁(yè)1f c 1,故 1 ab f 1精品資料 歡迎下載 2 ,故答案為 1,2 f c c 2【名師點(diǎn)睛】畫(huà)出函數(shù) f x 的圖象,由圖象可知有相等時(shí)的取值范疇,這里 由 log2 x 的圖象和運(yùn)算得 ab 1 ,可以當(dāng)作結(jié)論,這樣三個(gè)未知數(shù)就只剩下 c ,由反比例即可求出結(jié)果 【例 8】【 2022江西宜春豐城九中,高安二中,宜春一中,

21、萬(wàn)載中學(xué),樟樹(shù)中學(xué),宜豐中學(xué)六校聯(lián)考】已知 函數(shù) f x ln x 1| , f x m 的四個(gè)零x1 , x2 , x3 , x4 ,且 k 1111,就 f k ek x1 x2 x3 x4 點(diǎn) 的值是 f 2 x x 1,x 0,把方程 【答案】 e2 【例 9】【2022山西山大附中等晉豫名校第四次調(diào)研】已知函數(shù) f x 11,x 0f x x 0 的根按從小到大次序排成一個(gè)數(shù)列,就該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn n n 1 【答案】 n n 1 2【解析】當(dāng) 0 x 1 時(shí),1 x 1 0 ,有 f x f x 112x 1, 有 f x 112x 2 1當(dāng) 1 x 2 時(shí),有 0 x

22、11,有 f x 當(dāng) 2x 3 時(shí),有 1 x 12,有 f x f x 112x 3 2當(dāng) 3x 4 時(shí),有 2x 13,有 f x f x 112x 3 3依次類(lèi)推,當(dāng) n x n 1 n N 時(shí),就 f x f x 112x n 1 n , 所以 g x f x x 2x n 1 n x ,故 an 2n1,所以通項(xiàng)公式 an n 1 , Sn 2【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)分段函數(shù)的處理方法,分段函數(shù)要分段處理,依據(jù)分段函數(shù)的解析式找出各段函數(shù)的 零點(diǎn),從而得出各個(gè)零點(diǎn)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系,寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式,依據(jù)數(shù)列是特殊的等差數(shù)列,利用等差數(shù) 列求和公式,求出數(shù)列的前 n 項(xiàng)的和 第 10 頁(yè),共

23、25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 lnx 1,x 1, x 如 m 5,x 1, 2 8【例 10】【2022江蘇南通如皋第一次聯(lián)考】已知函數(shù) f x mx 2 2x g x f x m 有三個(gè)零點(diǎn),就實(shí)數(shù) m 的取值范疇 R 上的函數(shù) 是 【答案】 1, 74【例 11】【2022齊魯名校教科研協(xié)作體山東,湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第一次調(diào)研】已知定義在 f x 2 x ln x x , x 0 ,如函數(shù) g x f x a x 1恰有 2 個(gè)零點(diǎn),就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 1 , x 0 【答案】 , 11 ,1 e f x 的位置關(guān)系可得當(dāng) a, 11,1 時(shí)有兩 【解析】數(shù)形結(jié)合,由直線 y a x

24、1 與曲線 y e個(gè)交點(diǎn),即函數(shù) y g x 恰有兩個(gè)零點(diǎn) 第 11 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 【名師點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)爭(zhēng)論函 數(shù)的單調(diào)性,最大值,最小值,變化趨勢(shì)等,再借助函數(shù)的大致圖象判定零點(diǎn),方程根,交點(diǎn)的情形,歸 根到底仍是爭(zhēng)論函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性,極值,然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路 【例 12】【 2022江蘇淮安盱眙中學(xué)第一次學(xué)情調(diào)研】 已知函數(shù) f x 2 2x m 的圖象與函數(shù) g x ln x 的 圖象有四個(gè)交點(diǎn),就實(shí)數(shù) m 的取值范疇為 m ln 1,令 h10,可得 m1ln2 ,此時(shí)函 【答

25、案】 , 1ln2 2數(shù) h x 2 2x m lnx 最小值為 h121222222數(shù) h x 2 2x m lnx 有兩個(gè)零點(diǎn),故函數(shù) f x 2 2 x m 的圖象與函g x ln x 的圖象有四個(gè)交 數(shù) 點(diǎn),實(shí)數(shù) m 的取值范疇為 , 1ln2 ,故答案為 , 1ln2 22【方法點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,屬于難題函數(shù)圖象的交點(diǎn),函數(shù) 的零點(diǎn),方程的根往往是“知一求二”,解答時(shí)要先判定哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè),判定函數(shù) y f x 零 點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法： （ 1） 直接法： 令 f x 0, 就方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)； （ 2） 零點(diǎn)存在性 定理法：

26、判定函數(shù)在區(qū)間 a, b 上是連續(xù)不斷的曲線,且 f a f b 0, 再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) 如單調(diào) 性,奇偶性,周期性,對(duì)稱性 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn) 第 12 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象,其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間 內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn),在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯獨(dú)性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要 利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理,有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象幫忙解題 【跟蹤練習(xí)】 8sin2x x 01【 2022遼寧莊河高中,沈陽(yáng)二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】函數(shù) f x

27、1f x 2x 0,就函 數(shù) h x f x log4 x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為） 2（ A 2 個(gè) B 3 個(gè) C 4 個(gè) D5 個(gè) 【答案】 D【解析】函數(shù)的零點(diǎn)中意： f x log4 x ,就原問(wèn)題等價(jià)于考查函數(shù) y log 4 x 與函數(shù) f x 的交點(diǎn)的個(gè) 數(shù) f x 1f x 214sin2 x 22sin2 x ；22當(dāng) x 3時(shí), 2x 2,據(jù)此可得： 2f x 1 2f x 212sin2 x 2sin2 x ；2當(dāng) x 5 4時(shí), f 5sin 251 , 44而 log4 5 4log 4 4 1 , 就函數(shù) y log 4 x 與函數(shù) f x 在區(qū)間 3 , 2上有 2 個(gè)交

28、點(diǎn), 第 13 頁(yè),共 25 頁(yè)很明顯,當(dāng) x 3精品資料 歡迎下載 時(shí),函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn),繪制函數(shù)圖象如以下圖,觀看可得： 2函數(shù) h x f x log4 x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)5 個(gè) 為 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判定方法： （ 1）直接求零點(diǎn)：令 f x 0,假如能求出解,就有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn) （ 2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間 a, b 上是連續(xù)不斷的曲線,且 f a f b 0,仍必 須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) 如單調(diào)性,奇偶性 才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn) （ 3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差,畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不 同的值,就有幾個(gè)不同的零

29、點(diǎn) 2【 2022江西上饒高三下學(xué)期一?！恳阎?f x 是定義域?yàn)?0, 的單調(diào)函數(shù),如對(duì)任意的 x 0, , 都有 f f x log 1 x 4 ,且方程 f x 33 x 2 6 x 9 x 4 a 在區(qū)間 0,3 上有兩解,就實(shí)數(shù) a 的 3取值范疇是（ B ） C 0 a5D a 5A 0 a5 a 5【答案】 A 即有 log 1 x 3 x 2 6x 9x 4 a 在區(qū)間 0,3 上有兩解,由 g x 3 x 2 6x 9x 4 a ,可得 3g x 2 3x 12x 9 ,當(dāng) 1 x 3 時(shí), g x 0 , g x 遞減；當(dāng) 0 x 1g x 0 , g x 時(shí), 第 14

30、頁(yè),共 25 頁(yè)遞增 g x 在 x 1 處取得最大精品資料 歡迎下載 a 4 ,分別作出 y log 1 x ,和 a , g0a 4 , g3值 3y 3 x 2 6 x 9 x 4 的圖象,可得兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn) 1,0 ,將 y 3 x 2 6 x 9x 4 的圖象向上平移, 至經(jīng)過(guò)點(diǎn) 3,1 ,有兩個(gè)交點(diǎn),由 g 3 即方程兩解應(yīng)選 A 1,即 a 4 1,解得 a 5 ,當(dāng) 0a 5 時(shí),兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn), 3【 201甘肅蘭州西北師范高校附屬中學(xué)一調(diào)】如函數(shù) f x x3 e, x 0,就方程 3 f f x e3 0 x e, x 0的根的個(gè)數(shù)為（ ） x A 1 B 2 C

31、3 D 4 【答案】 C【解析】 【方法點(diǎn)睛】 此題主要考查分段函數(shù)的解析式及圖象, 函數(shù)與方程思想, 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用, 屬于難題 數(shù) 第 15 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 形結(jié)合是依據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法, 是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一,特殊在解決選擇題,填空題是發(fā)揮著神奇功效,大大提高明白題能 力與速度運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象以及嫻熟把握函數(shù)圖象的幾種變換充分利用數(shù)形結(jié) 合的思想方法能夠使問(wèn)題化難為簡(jiǎn),并迎刃而解 4【 2022安徽滁州高三 9 月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)】已知 f x f 111,0 x 1,如方程

32、 x x, 1 x 0f x ax 2a 0 a 0有唯獨(dú)解,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 1111 【答案】 1, 3【解析】當(dāng) 0 x 11 x 1 0 ,所以 f x 1 x 1 f x f 1x x 1時(shí), 如方程 f x ax 2a 0a0有唯獨(dú)解,即 f x ax 2a ,有唯獨(dú)解 作出 y f x 和 y ax 2a 的圖象,依據(jù)題意兩函數(shù)圖象有唯獨(dú)交點(diǎn) 由圖可知： a1 3【名師點(diǎn)睛】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值,也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題, （ 1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解； （ 2）分別參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解,假如涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí),仍需考慮函數(shù)的圖象與參

33、數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 3）轉(zhuǎn)化為兩熟識(shí)的函數(shù)圖象的上,下關(guān)系問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式求解 第 16 頁(yè),共 25 頁(yè)5【 2022山西 45校高三第一次聯(lián)考】已知 精品資料 1歡迎下載 e. 如方程 f x kx e 有且僅有 3 f x x e ,0 x 1, e 1,1 x x 個(gè)實(shí)數(shù)解,就實(shí)數(shù) k 的取值范疇是 C e, 1 ee1,觀看可知,當(dāng)位于切線 AB 和割線 AC【答案】 1 1 e , 2 4 e 設(shè) A 0,e ,ABy f x 的切線, B 為切點(diǎn), 為 之 間時(shí), y kx e 圖象與 y f x 的圖象有三個(gè)交點(diǎn),設(shè) B x0 , y0 由 11e1 1 2 x ,可得切線

34、 x AB: y 1e 1 10 x ,解得 x 2 ,故 k AB 1,又 k AC e1e1e 2 e,所以當(dāng) ex0 2 x0 4e 方程 f x kx e0,e 上有三個(gè)實(shí)數(shù)解,實(shí)數(shù) k 的取值范疇為 1 , 1 4 e 2e在 【名師點(diǎn)睛】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值,也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題, （ 1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解； （ 2）分別參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解,假如涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí),仍需考慮函數(shù)的圖象與參 數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 3）轉(zhuǎn)化為兩熟識(shí)的函數(shù)圖象的上,下關(guān)系問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式求解 6【 2022齊魯名校教科研協(xié)作體山東,湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第一次調(diào)研

35、】已知 f x 2 x lnx , x 0,如 2x, x 0f x =a 有 4 個(gè)根 x1 , x2 , x3, x4 ,就 x1 x2 x3 x4 的取值范疇是 【答案】 0, e 12e第 17 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 【解析】 由于 x1 x2 x3 x4 2x3 x4 ,所以 ,故答案為 0, e 12 e7【 2022河鄭州一中模擬】已知函數(shù) f x 2 x 2x, x 0 ,如關(guān)于 x 的不等式 2x, x 02 x f x 2af x b20 恰有 1 個(gè)整數(shù)解,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 【答案】 3 a 8【解析】畫(huà)出 f x 的圖象如以下圖 當(dāng) f x 0 時(shí)

36、,得 x 0 或 x 2此時(shí) f x 2af x b20 化為, b20如 b0 ,就此時(shí)有兩解 x 0 或 x 2 ,違反題意, 故 b0af x 0 恰有一個(gè)整數(shù)解 此時(shí) f x f x a0如 a 0 ,就關(guān)于的不等式 結(jié)合圖象可知 af 33,可得 3a8af 48第 18 頁(yè),共 25 頁(yè)如 a 0 ,就關(guān)于的不等式 0f x 精品資料 歡迎下載 a 恰有一個(gè)整數(shù)解 結(jié)合圖象可知 af 11,可得 3 a1f x 2x2 , x 00, 如存在唯獨(dú)的整 af 13綜上, 3a1 或 3 a 8 8【 2022江蘇南京高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù) 3 x 13, x 數(shù) x,使

37、得 f x a0 成立,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇為 x 【答案】 0 , 2 3 , 8 中意 f x a 0 符合題意, 當(dāng) a 8 時(shí),至少存在兩點(diǎn) 1, f 1 , 2, f 2中意 f x a 0 不合 x 0 x 0題意,故答案為 0,2 3,8 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù) 或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 問(wèn)題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性, 草圖確定其中參數(shù)范疇從圖象的最高點(diǎn),最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值,極值；從圖象的對(duì)稱性,分析函數(shù) 的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì),分析函數(shù)的單調(diào)性,周期性等 9【 2022浙江溫州一?！?已知函數(shù) 就 的取值范疇為 【答案】 有六個(gè)不同零點(diǎn), 且全部零點(diǎn)之和

38、為 3, 第 19 頁(yè),共 25 頁(yè)單調(diào)遞增, 且取值范疇是 ,當(dāng) 精品資料 歡迎下載 ,考慮到 是 時(shí),函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 上的單調(diào)遞增函數(shù),且 ,于是 在 上有唯獨(dú)零點(diǎn),記為 , 進(jìn)而函數(shù) 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,在 處取得微小值 ,如圖： 接下來(lái)問(wèn)題的關(guān)鍵是判定 與 的大小關(guān)系,留意到, ,函數(shù) ,在 上與直線 有 個(gè)公共點(diǎn), 的取值范疇是 ,故答案為 10【 2022湖南永州高三上學(xué)期一模】 定義函數(shù) h x f x , x a, f x x , g x 2 x 2x 4 , gx , x a如存在實(shí)數(shù) b 使得方程 h x b 0 無(wú)實(shí)數(shù)根,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 【答案】 ,

39、 54, 第 20 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 【解析】 11【 2022河北石家莊二中八月高三模擬】已知 f x x 2 x 2, x a,如函數(shù) g x f lnx 1a 有 2, x ax 零點(diǎn),就實(shí)數(shù) a 的取值范疇是 【答案】 1,2 3, 綜上可得： 1a 2 或 a3故答案為： 1,2 3, 【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范疇常用的方法和思路 （ 1）直接法：直接依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范疇； （ 2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決； （ 3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,

40、然后數(shù)形結(jié)合求解 12【 2022廣東茂名高三五大聯(lián)盟學(xué)校 9 月份聯(lián)考】如函數(shù) 至少有 3 個(gè)零點(diǎn),就實(shí) 數(shù) 的取值范疇是 【答案】 第 21 頁(yè),共 25 頁(yè)精品資料 歡迎下載 【解析】 由 可得 ,就問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) 的圖像有至 少三個(gè)交點(diǎn), 結(jié)合圖像可以看出當(dāng) 時(shí),即 時(shí)中意題設(shè), 應(yīng)填答案 【名師點(diǎn)睛】此題的求解過(guò)程表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的神奇運(yùn)用,求解時(shí)先在同一平面直角坐標(biāo)系中 畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像, 進(jìn)而借助圖像的直觀建立不等式 出參數(shù)的取值范疇 ,進(jìn)而通過(guò)解不等式求 13【 2022山東齊河晏嬰學(xué)校一?！恳阎?f x ex 1,又 g x 2 f x tf x t R,如中意 g x 1 的 x 有三個(gè),就 t 的取值范疇是 【答案】 2, 【解析】由題意作函數(shù) f x ex 1