2018年高考數(shù)學(xué)考點一遍過專題38拋物線文

1、PAGE PAGE - 26 -考點38拋物線了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）.一、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線拋物線關(guān)于過焦點F與準(zhǔn)線垂直的直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸注意：直線l不經(jīng)過點F，若l經(jīng)過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線l的一條直線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

2、（3）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)為負(fù)值時，不要出現(xiàn)p0的錯誤.二、拋物線的幾何性質(zhì)1拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形幾何性質(zhì)范圍對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱焦點準(zhǔn)線方程頂點坐標(biāo)原點(0，0)離心率2拋物線的焦半徑拋物線上任意一點與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：拋物線方程焦半徑公式3拋物線的焦點弦拋物線的焦點弦即過焦點F

3、的直線與拋物線所成的相交弦焦點弦公式既可以運用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點弦，則拋物線方程焦點弦公式其中，通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸而交拋物線于A，B兩點的線段AB，稱為拋物線的通徑對于拋物線，由，可得，故拋物線的通徑長為2p4必記結(jié)論直線AB過拋物線的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如圖：（1）y1y2p2，x1x2eq f(p2,4).（2）|AB|x1x2p，x1x2p，即當(dāng)x1x2時，弦長最短為2p.（3）eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)為定值eq f(2,p

4、).（4）弦長ABeq f(2p,sin2)(為AB的傾斜角)（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切（6）焦點F對A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90.考向一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M，一個定點F（拋物線的焦點），一條定直線l（拋物線的準(zhǔn)線），一個定值 1（拋物線的離心率）.2拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，即或，使問題簡化典例1已知拋物線C:x2=2py(p0)上一點A(m,4)到其焦點的距離為,則p,m的值分別為Ap

5、=1,m=2Bp=1,m=2Cp=,m=2Dp=,m=2【答案】D【解析】由拋物線的方程得其準(zhǔn)線方程為y=-p2,根據(jù)拋物線的定義可知,4+p2=174,解得p=,所以拋物線的方程為x2=y,將A(m,4)代入拋物線的方程,解得m=2. 典例2已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點A(-1,0),B(1,0),且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋物線的焦點的軌跡方程為A(x0)B(x0)C(y0)D(y0)【答案】D的橢圓.A,B在拋物線上,焦點F不在x軸上,故拋物線的焦點的軌跡方程是(y0).1已知點F是拋物線y 2 = 4x的焦點，M、N是該拋物線上兩點，| MF | + | NF | = 6，則

6、MN中點的橫坐標(biāo)為AB2CD3考向二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.典例3若點A,B在拋物線y2=2px(p0)上,O是坐標(biāo)原點,若正三角形OAB的面積為43,則該拋物線的方程是Ay2=xBy2=3xCy2=23xDy2=x【答案】A【解析】根據(jù)對稱性,可知ABx軸,由于正三角形OAB的面積是43,故AB2=43

7、,故AB=4,正三角形OAB的高為23,故可設(shè)點A的坐標(biāo)為(23,2),代入拋物線方程得4=43p,解得p=,故所求拋物線的方程為y2=x.典例4求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程（1）過點；（2）焦點在直線上當(dāng)焦點為時，此時拋物線的方程為；當(dāng)焦點為時，此時拋物線的方程為.故所求拋物線的方程為或，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.2已知拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓短軸所在的直線，拋物線的焦點到頂點的距離為5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.考向三焦點弦問題與拋物線的焦點弦長有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解.解題時，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長公式是由交點橫坐標(biāo)定還是由交點縱坐標(biāo)定

8、，是p與交點橫（縱）坐標(biāo)的和還是與交點橫（縱）坐標(biāo)的差，這是正確解題的關(guān)鍵.典例5過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離.【解析】拋物線的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=1.由拋物線的定義知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為,因此點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為.典例6已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點,且|AB|=9.（1）求該

9、拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點,C為拋物線上一點,若OC=OA+OB,求的值.（2）因為p=4,所以4x2-5px+p2=0可簡化為x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2. 3已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，P為C的準(zhǔn)線上一點，則的面積為A18 B24C36 D48考向四拋物線中的最值問題1.拋物線中經(jīng)常

10、根據(jù)定義把點到焦點的距離和點到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，從而求解.2.有關(guān)拋物線上一點M到拋物線焦點F和到已知點E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點E作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點到拋物線焦點F和到已知點E的距離之和是最小值.典例7如圖,已知點Q(22,0)及拋物線上的動點(x,y),則y+|Q|的最小值是A2B3C4D22【答案】A典例8已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點,點A(-2,4),在此拋物線上求一點P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】(-2)20)的焦點坐標(biāo)是A(,0)B(,0)C(0,-2p)D(0,-p)2以x軸為對稱軸,通徑長為8,頂點

11、為坐標(biāo)原點的拋物線方程是Ay2=8xBy2=-8xCy2=8x或y2=-8xDx2=8y或x2=-8y3已知拋物線y2=2px（p0）上一點Q(6,y0),且Q點到焦點的距離為10，則焦點到準(zhǔn)線的距離是A4B8C12D164已知點M(-3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點,若拋物線y2=2x的焦點為F,點Q是該拋物線上的一動點,則|MQ|-|QF|的最小值是AB3CD25設(shè)F為拋物線C:x2=12y的焦點,A、B、C為拋物線上不同的三點,若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|=A3B9C12D186已知拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,拋物線上的兩個動點A,B始終滿足AFB=60,過

12、弦AB的中點H作拋物線的準(zhǔn)線的垂線HN,垂足為N,則的取值范圍為A(0,B,+)C1,+)D(0,17若拋物線y2=2px（p0）的焦點與雙曲線x24y2=1的右頂點重合，則p=_.8已知等腰梯形的頂點都在拋物線上，且，則點到拋物線的焦點的距離是_9已知過拋物線x=4y2的焦點F的直線交該拋物線于M、N兩點,且|MF|=,則|MN|=_.10已知拋物線C:y2=ax(a0)的焦點為F,點A(0,1),射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點N,若|FM|MN|=13,則實數(shù)a的值為_.11已知拋物線y2=2px（p0）的焦點為F,準(zhǔn)線方程是x=-1.(1)求此拋物線的方程;(2)設(shè)點M在

13、此拋物線上,且|MF|=3,若O為坐標(biāo)原點,求的面積.12已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是拋物線y2=2px(p0)上的三個點,且它們到焦點F的距離|AF|,|BF|,|CF|成等差數(shù)列,求證:2y22=y12+y32.13如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m.若水位下降1m后，水面寬為多少？14設(shè)A,B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點,且滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點).求證:(1)A,B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值;(2)直線AB經(jīng)過一個定點.1（2016四川文科）拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是A(0,2) B (0,1)C(2,

14、0) D(1,0)2（2016新課標(biāo)全國II文科）設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k0）與C交于點P，PFx軸，則k=AB1CD23（2015新課標(biāo)全國I文科）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點,則|AB|=A3 B6C9 D124（2017浙江）如圖，已知拋物線，點A，拋物線上的點過點B作直線AP的垂線，垂足為Q（1）求直線AP斜率的取值范圍；（2）求的最大值5（2016新課標(biāo)全國III文科）已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點（1）若在線段上，是的中點，證明；（2）若的

15、面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.變式拓展1【答案】B【解析】由題意得F(1,0),令M(x1,y1),N(x2,y2)，由拋物線的幾何意義得| MF | + | NF | = 6=x1+1+x2+1，可得x1+x2=4，所以MN中點的橫坐標(biāo)為.選B.法二：由已知條件可知拋物線的對稱軸為x軸，設(shè)拋物線的方程為y2mx(m0).又拋物線的焦點到頂點的距離為5，m20.所求拋物線的方程為y220 x或y220 x. 3【答案】C【解析】因為AB過拋物線的焦點且與對稱軸垂直，所以線段AB是拋物線的通徑，則，所以，又點P到AB的距離為，所以的面積為.故選C.4【答案】C【解析】點P到拋物線y2=4

16、x的準(zhǔn)線的距離d1等于點P到拋物線y2=4x的焦點的距離|PF|，則d1+d2的最小值即為F到直線x+2y-12=0的距離由拋物線y2=4x得F(1,0)，故選C.5【解析】以隧道頂點為原點,拱高所在的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則點B的坐標(biāo)為(,).設(shè)隧道所在的拋物線方程為x2=my(m0),則()2=m(),解得m=-a,所以拋物線的方程為x2=-ay.將點(0.8,y)代入拋物線方程,得0.82=-ay,即y=.欲使卡車通過隧道,應(yīng)有y-()3,即a4-0.82a3,由于a0,故a12.21,所以a應(yīng)取的最小整數(shù)值為13.考點沖關(guān)1【答案】B【解析】拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2

17、=x(p0),則焦點坐標(biāo)為(,0).2【答案】C【解析】依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則2p=8,所以拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.故選C.3【答案】B4【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=，當(dāng)MQx軸時，|MQ|-|QF|取得最小值，此時|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=.5【答案】D【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因為A、B、C為拋物線上不同的三點,則A、B、C可以構(gòu)成三角形.拋物線C:x2=12y的焦點為F(0,3),準(zhǔn)線方程為y=-3.因為FA+FB+FC=0,所以利用平面向量的相關(guān)知識可得點F為的重心,從而有x1+x2+

18、x3=0，y1+y2+y3=9.又根據(jù)拋物線的定義可得|FA|=y1-(-3)=y1+3,|FB|=y2-(-3)=y2+3,|FC|=y3-(-3)=y3+3,所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+3+y2+3+y3+3=y1+y2+y3+9=18.【名師點睛】本題主要考查拋物線的定義、幾何性質(zhì),向量的相關(guān)知識.解題的關(guān)鍵是判斷出點F為的重心.解題時,先根據(jù)拋物線的方程得拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,再根據(jù)FA+FB+FC=0,判斷出點F為的重心,進(jìn)而可得y1+y2+y3=9,最后根據(jù)拋物線的定義求解.6【答案】D,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,故的取值范圍為(0,1.故選D.7【答案】4【解析

19、】由雙曲線x24y2=1可得a=2,則雙曲線的右頂點為(2,0),則,所以p=4.8【答案】【解析】由題意可設(shè)，因此，因此點到拋物線的焦點的距離是.9【答案】14【解析】拋物線x=4y2可化為y2=14x,其焦點為F(116,0),準(zhǔn)線方程為x=-116,|MF|=,點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,點M的橫坐標(biāo)為116,故直線MF垂直于x軸,|NF|=|MF|=,|MN|=14.10【答案】2【解析】依題意得焦點F的坐標(biāo)為(a4,0),設(shè)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為K,連接MK,由拋物線的定義知|MF|=|MK|,因為|FM|MN|=13,所以|KN|KM|=221,又,kFN=-|KN|KM|=-

20、22,所以=22,解得a=2.由拋物線定義知，得x0=2.由在拋物線上,滿足拋物線的方程y2=4x,知，所以的面積為.12【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=.由拋物線的定義知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.|AF|,|BF|,|CF|成等差數(shù)列,2|BF|=|AF|+|CF|,2x2=x1+x3.又y2=2px,故2y22=y12+y32.13【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，則A(2，2)，將其坐標(biāo)代入x22py得p1.x22y.當(dāng)水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，將其坐標(biāo)代入x22y得x02=6，x0=6.水面寬|CD|26m.14【解析】(1)設(shè)A(x1, y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2.OAOB,x1x2+y1y2=0.y12y22=4p2x1x2=4p2(-y1y2),y1y2=-4p2,x1x2=4p2.即A,B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值.y=2py1+y2x-2py1+y2y122p+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2.又y1y2=-4p2,y=2py1+y2x-4p2y1+y2=2py1+y2(x-2p).直線AB過定點(2p,0).直通高考1【答案】D【解析】的焦點坐標(biāo)為，故選D.【名師點睛】本題考查拋物線的定義解析幾何是