高等代數(shù)CAI課件張禾瑞郝炳新編（第四版）學(xué)習(xí)培訓(xùn)模板課件

1、高等代數(shù)CAI課件張禾瑞 郝炳新 編 (第四版)第一章 基本概念第二章 多項(xiàng)式第三章 行列式第四章 線性方程組第五章 矩陣第六章 向量空間第七章 線性變換第八章 歐氏空間第九章 二次型廣東教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 代數(shù)與幾何教研室 何謂高等代數(shù)大家知道，初等代數(shù)是研究數(shù)及代表數(shù)的文字的代數(shù)運(yùn)算（加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方）的理論和方法，也就是研究多項(xiàng)式（實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)）的代數(shù)運(yùn)算的理論和方法.而多項(xiàng)式方程及多項(xiàng)式方程組的解（包括解的公式和數(shù)值解）的求法及其分布的研究恰為初等代數(shù)研究的中心問(wèn)題，以這個(gè)中心問(wèn)題為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的一般數(shù)域上的多項(xiàng)式理論與線性代數(shù)理論就是所謂的高等代數(shù). 本課程的意義、內(nèi)

2、容及學(xué)習(xí)要求高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門(mén)重要基礎(chǔ)課程，從內(nèi)容上看，它是中學(xué)代數(shù)里有關(guān)內(nèi)容的繼續(xù)和提高。其中許多理論對(duì)于加深中學(xué)數(shù)學(xué)教材的理解有著直接的指導(dǎo)意義，因此作為一個(gè)合格的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，學(xué)好這門(mén)課程是非常必要的。此外，高等代數(shù)的思想和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)分析、幾何、計(jì)算技術(shù)等學(xué)科有廣泛的應(yīng)用，所以，學(xué)好這門(mén)課程也有助于學(xué)好其它數(shù)學(xué)課程，并且高代是考研的一門(mén)必考課程。第一章 基本概念第一節(jié) 集合第二節(jié) 映射第三節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法第四節(jié) 整數(shù)的一些整除性質(zhì)第五節(jié) 數(shù)環(huán)和數(shù)域 第一節(jié) 集合及映射章節(jié)名稱：集合及映射教學(xué)目的與要求：了解集合的概念和表示，運(yùn)算；理解并掌握映射的定義，合成

3、，單射滿射等的定義，掌握雙射的等價(jià)刻畫(huà)重點(diǎn)：證明映射是單射、滿射的方法一、集合把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做集合；常用大寫(xiě)字母A、B、C 等表示集合；當(dāng)a是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a 屬于A，記作: ； 當(dāng)a不是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a不屬于A，記作： 1、概念組成集合的這些事物稱為集合的元素 用小寫(xiě)字母a、b、c 等表示集合的元素 關(guān)于集合沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一個(gè)描述性的說(shuō)明集合論的創(chuàng)始人是19世紀(jì)中期德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（GCantor），他把集合描述為：所謂集合是指我們直覺(jué)中或思維中確定的,彼此有明確區(qū)別的那些事物作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果;集合中的那些事物就稱為集合的元素即，集

4、合中的元素具有：確定性、互異性、無(wú)序性. Remark:集合的表示方法：描述法：給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來(lái).例1例2 N ，2Z 例3 Mx | x具有性質(zhì)P Ma1，a2，an2、集合間的關(guān)系 如果B中的每一個(gè)元素都是A中的元素，則稱B是A的子集，記作 ，（讀作B包含于A）當(dāng)且僅當(dāng) 空集：不含任何元素的集合，記為注意：,空集是任意集合的子集 如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與 B相等，記作AB .AB當(dāng)且僅當(dāng) 且 3、集合間的運(yùn)算 交： ； 并： 顯然有，1、證明等式: 證：顯然， 又 ， ，從而, 例題： 故等式成立2、已知 ，

5、 證明： 又因 ， 又因 ， 證：1） 此即，因此無(wú)論哪一種情況，都有 .此即， 但是二、映射設(shè)M、M是給定的兩個(gè)非空集合，如果有 一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，通過(guò)這個(gè)法則對(duì)于M中的每一個(gè)元素a，都有M中一個(gè)唯一確定的元素a與它對(duì)應(yīng), 則稱 為稱 a為 a 在映射下的象，而 a 稱為a在映射下的M到M的一個(gè)映射，記作 : 或原象，記作(a)a 或1、定義 設(shè)映射 , 集合稱之為M在映射下的象，通常記作 Im 集合M 到M 自身的映射稱為M 的一個(gè)變換 顯然， 注 例4判斷下列M 到M 對(duì)應(yīng)法則是否為映射 1）Ma，b，c、M1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2：(a)1,(b)2,(c)3,(c)

6、4：(b)2，(c)4 （不是） （是） （不是） 2）MZ，MZ，：(n)|n|, ：(n)|n|1,（不是） （是） ：(a)a0，4）MP，M ，（P為數(shù)域）：(a)aE， （E為n級(jí)單位矩陣）5）M、M為任意兩個(gè)非空集合，a0是M中的一個(gè)固定元素. （是）（是）6）MMPx（P為數(shù)域） ：(f (x)f (x)， （是）3）M ，MP，（P為數(shù)域） ：(A)|A|，（是） 例5M是一個(gè)集合，定義I： I(a)a ，即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一個(gè)映射，例6 任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)yf(x) 都是實(shí)數(shù)集R到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是稱 I 為 M 上的恒等映射或單位

7、映射 映射的一個(gè)特殊情形 2、映射的乘積設(shè)映射 ， 乘積定義為： (a)(a) 即相繼施行和的結(jié)果， 是 M 到 M 的一個(gè) 映射 對(duì)于任意映射 ，有 設(shè)映射， 有注：3、映射的性質(zhì):設(shè)映射1）若，即對(duì)于任意，均存在（或稱 為映上的）； 2）若M中不同元素的象也不同，即 （或）， 則稱是M到M的一個(gè)單射（或稱為11的）； 3）若既是單射，又是滿射，則稱為雙射,，使 ，則稱是M到M的一個(gè)滿射（或稱為 11對(duì)應(yīng)） 例7判斷下列映射的性質(zhì)1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不單射，也不是滿射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是滿射，

8、但不是單射） 3）M，MP，（P為數(shù)域） ：(A)|A|，（是滿射，但不是單射） （雙射）4）MP，M P為數(shù)域, E為n級(jí)單位矩陣：(a)aE，（是單射，但不是滿射） ：(a)a0，（既不單射，也不是滿射） 6）MMPx，P為數(shù)域：(f (x)f (x)，（是滿射，但不是單射） 7）M是一個(gè)集合，定義I：I(a)a，8）M=Z，M2Z，：(n)2n,（雙射） （雙射） 5）M、M為任意非空集合，為固定元素 對(duì)于有限集來(lái)說(shuō)，兩集合之間存在11對(duì)應(yīng)的充要條 件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同； 對(duì)于有限集A及其子集B，若BA（即B為A的真子集），則 A、B之間不可能存在11對(duì)應(yīng)；但是對(duì)于無(wú)限集未必如此.

9、注：如例7中的8），是11對(duì)應(yīng)，但2Z是Z的真子集 M=Z，M2Z，：(n)2n,4、可逆映射定義：設(shè)映射若有映射使得則稱為可逆映射，為的逆映射， 若為可逆映射，則1也為可逆映射，且 （1）1注：為可逆映射，若的逆映射是由唯一確定的記作1 為可逆映射的充要條件是為11對(duì)應(yīng)證：若映射為11對(duì)應(yīng)，則對(duì)均存在唯一的，使(x)y，作對(duì)應(yīng) 即； 即為可逆映射 則是一個(gè)M到M的映射, 且對(duì) 即, 所以為滿射. 其次，對(duì)，則 即為單射.所以為11對(duì)應(yīng)反之，設(shè) 為可逆映射，則 練習(xí)： 找一個(gè)R到R的11對(duì)應(yīng)，規(guī)定解：則 是R到R的一個(gè)映射.若，則， 是單射 ，存在，使故 是11對(duì)應(yīng) 是滿射 2、令，問(wèn)：1）g

10、 是不是R到R的雙射？g 是不是 f 的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的話，求其逆 解：1）g是R到自身的雙射 ，若 ，則 ，g是單射 并且 ，即g是滿射 又 ， ， g不是 f 的逆映射事實(shí)上， 2）g是可逆映射3、設(shè)映射，證明：1）如果 h 是單射，那么 f 也是單射；2）如果 h 是滿射，那么 g 也是滿射；3）如果 f、g 都是雙射，那么 h 也是雙射，并且這與h是單射矛盾， f 是單射證：1）若 f 不是單射，則存在 于是有2） h 是滿射，即， g 是滿射又3） ，因?yàn)?g 是滿射，存在,使又因?yàn)?f 是滿射，存在，使h是滿射若，由于 f 是單射，有又因?yàn)?g 是單射，有即,

11、因而 h 是雙射h 是單射.1.3 數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容分布1.3.1最小數(shù)原理1.3.2數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)教學(xué)目的掌握映射的概念, 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。重點(diǎn)、難點(diǎn) 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。1.3.1 最小數(shù)原理數(shù)學(xué)歸納法所根據(jù)的原理是正整數(shù)集的一個(gè)最基本的性質(zhì)最小數(shù)原理. 最小數(shù)原理 正整數(shù)集 的任意一個(gè)非空子集S必含有一個(gè)最小數(shù)，也就是這樣一個(gè)數(shù) ，對(duì)任意 都有 . 其中 表示全體正整數(shù) 的集合. 1 最小數(shù)原理并不是對(duì)于任意數(shù)集都成立的2 設(shè)c是任意一個(gè)整數(shù)，令注意那么經(jīng)代替正整數(shù)集 ，最小數(shù)原理對(duì)于 仍然成立. 也就是說(shuō)， 的任意 一個(gè)非空子集必含有一個(gè)最小

12、數(shù)，特別，N的任意一個(gè)非空了集必含有一個(gè)最小數(shù). 這個(gè)原理的一般形式就是數(shù)學(xué)分析中的下（上）確界原理。1.3.2數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)定理1.3.1（數(shù)學(xué)歸納法原理） 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題. 如果 當(dāng)n=1時(shí). 命題成立； 假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)命題成立，當(dāng)n= k+1 時(shí)命題也成 立；那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)n都成立. 證 設(shè)命題對(duì)于一切正整數(shù)都成立. 令S表示使命題不成立的正整數(shù)所成的集合. 那么 . 于是，由最小數(shù)原理，S中有最小數(shù)h .因?yàn)槊}對(duì)于n=1成立，所以 從而h-1是一下正整數(shù). 因?yàn)閔是S中最小的數(shù)，所以 . 這就是說(shuō)當(dāng)n=h-1時(shí)，命題成立. 于是由，當(dāng)n=h時(shí)命題也成立.

13、 因此 . 這就導(dǎo)致矛盾. 例1 證明，當(dāng) 時(shí)，n 邊形的內(nèi)角和等于(n-2).證 當(dāng)n=3 時(shí)，命題成立. 因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于= (3-2).假設(shè)時(shí)命題成立. 任意一個(gè)k+1多邊形 ，聯(lián)結(jié) ，那么 的內(nèi)角和就等于三角形 的內(nèi)角和加上k邊形 的內(nèi)角和. 前者等于，后者由歸納法假定，等于(k-2). 因此k+1多邊形 的內(nèi)角和等于+(k-2)=(k-1)=(k+1)-2). 命題得證. 定理1.3.2（第二數(shù)學(xué)歸納法） 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題. 如果 當(dāng)n=1時(shí)命題成立； 假設(shè)命題對(duì)于一切小于k的自然數(shù)來(lái)說(shuō)成立，則命題對(duì)于k也成立；那么命題對(duì)于一切自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立.數(shù)學(xué)歸納法可以推廣

14、到良序集合上，即所謂超限歸納原理。1.4 整數(shù)的一些整除性質(zhì)一、內(nèi)容分布 1.4.1 整除與帶余除法 1.4.2 最大公因數(shù) 1.4.3 互素 1.4.4 素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)二、教學(xué)目的 1.理解和掌握整除及其性質(zhì)。 2.掌握最大公因數(shù)性質(zhì)、求法。 3.理解互素、素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 整除、最大公因數(shù)性質(zhì)、互素有關(guān)的證明 。1.4.1 整除與帶余除法 設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果存在一個(gè)整數(shù)d，使得b=ad，那么就說(shuō)a整除b（或者說(shuō)b被a整除）。用符號(hào)a | b表示a整除b。這時(shí)a叫做b 的一個(gè)因數(shù)，而b叫做a的一個(gè)倍數(shù)。如果a不整除b，那么就記作 . 整除的基本性質(zhì)： 每一個(gè)整數(shù)都可以1和

15、 - 1整除。 每一個(gè)整數(shù)a都可以被它自己和它的相反數(shù) - a整除 定理1.4.1（帶余除法） 設(shè)a，b 是整數(shù)且 ，那么存在一對(duì)整數(shù)q和r，使得滿足以上條件整數(shù)q和r 的唯一確定的。證 令 。因?yàn)?，所以S 是N 的一個(gè)非空子集。根據(jù)最小數(shù)定理（對(duì)于N），S 含有一個(gè)最小數(shù)。也就是說(shuō)，存在 ，使得r=b-aq是S 中最小數(shù)。于是b=aq+r，并且 。如果 ，那么 ，而 所以 。這是與r是S中最小數(shù)的事實(shí)矛盾。因此 . 假設(shè)還 ，使得 于是就有 。如果 那么由此或者 ，或者 。不論是哪一種情形，都將導(dǎo)致矛盾。這樣必須 ，從而 ，也就是說(shuō) 1.4.2 最大公因數(shù)設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，滿足下列條件的

16、整數(shù) d 叫做a與b的最大公因數(shù)： ； 。 如果 一般地，設(shè) 是n 個(gè)整數(shù)。滿足下列條件的整數(shù)d 叫做 的一個(gè)最大公因數(shù)： 定理1.4.2 任意 個(gè)整數(shù) 都有最大公因數(shù)。如果d是 的一個(gè)最大公因數(shù)，那么 - d 也是一個(gè)最大公因數(shù)； 的兩個(gè)最大公因數(shù)至多只相差一個(gè)符號(hào)。證 由最大公因數(shù)的定義和整除的基本性質(zhì)，最后一個(gè)論斷是明顯的。現(xiàn)證，任意n個(gè)整數(shù) 有最大公因數(shù)。如果 ，那么0顯然就是 的最大公因數(shù)，設(shè) 不全為零。考慮Z 的子集 I 顯然不是空集，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)i 又因?yàn)?不全為零，所以I 含有非零整數(shù)。因此是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，于是由最小數(shù)原理， 有一個(gè)最小數(shù)d。我們說(shuō)，d 就是 的一個(gè)

17、最大公因數(shù)。 首先，因?yàn)?，所以d 0并且d 有形式又由帶余除法，有 定理1.4.3 設(shè)d是 的一個(gè)最大公因數(shù)。那么存在整數(shù) ，使得 。如果某一 ，如 ，那么 而 。這與d是 中的最小數(shù)的事實(shí)矛盾。這樣，必須所有 ，即 。 另一方面，如果 。那么 。這就證明了d 是 的一個(gè)最大公因數(shù)。 證 若 ，那么d = 0，定理顯然成立。設(shè) 不全為零，由定理1.4.2的證明，知 ，.因而存在 ，使得 。 1.4.3 互素設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果（a, b）=1，那么就說(shuō)a與b互素。一般地， 是n個(gè)整數(shù)，如果 ，那么就說(shuō)這n個(gè)整數(shù) 互素。 （1） 定理1.4.4 n 個(gè)整數(shù) 互素的充分且必要條件是存在整數(shù)

18、，使得 證 如果 互素， 那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反過(guò)來(lái)，設(shè)等式（1）成立。令 。那么c能整除（1）式中的左端。所以c | 1，因此c =1,即 。1.4.4 素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)一個(gè)正整數(shù)p1叫做一個(gè)素?cái)?shù)，如果除1和p外，沒(méi)有其它因數(shù)。定理1.4.5 一個(gè)素?cái)?shù)如果帶隊(duì)兩個(gè)整數(shù)a 與b的乘積，那么它至少整除a 與b中的一個(gè)。證 設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，如果p | ab，但 ，由上面所指出的素?cái)?shù)的性質(zhì)，必定有（p, a）=1。于是由定理1.4.4，存在整數(shù)s 和t 使得 sp + ta = 1兩邊同乘以b ：spb + tab =b .左邊的第一項(xiàng)自然能被p整除；又因?yàn)閜 | ab，所以左邊第二項(xiàng)也能被p整除。于是p整除左邊兩項(xiàng)的和，從而p | b. 1.5 數(shù)環(huán)和數(shù)域定義1 設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于S中任意兩個(gè)數(shù)a, b 來(lái)說(shuō)，a +b, a b, ab 都在S內(nèi)，那么就稱S是一個(gè)數(shù)環(huán)。例1取定一個(gè)整數(shù)a ，令 那么S是一個(gè)數(shù)環(huán)。事實(shí)上，S顯然不是空集。 設(shè) 。那么如取a =2，那么S就是全體偶數(shù)所組成的數(shù)環(huán)。 例2令 . S顯然不是空集，如果 ，那么定義2 設(shè)F 是一個(gè)數(shù)環(huán)，如果 F 含有一個(gè)不等于零的