一階線性微分方程

1、一階微分方程微分方程課程的一個主要問題是求解， 即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分表達(dá)出來，但對一般的微分方程是無法求解的，如對一般的二元函數(shù)，我們無法求出一階微分方程（1）的解，但是對某些特殊類型的方程，我們可設(shè)法轉(zhuǎn)化為已解決的問題進(jìn)行求解。1.3 線性方程一階微分方程（1.3.1）若關(guān)于未知函數(shù)和是線性的，稱為線性方程。定義 一、 線性齊次方程（1.3.2） 為線性齊次方程。若中時，稱 求解思想： 將（1.3.2)進(jìn)行變形，將方程左端整理成某一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行積分求解。例1.3.1求線性齊次方程（1.3.3） 的通解。解：對于（1.3.3）的兩端乘以 得 由于 故（1.3.3）等

2、價于 即方程（1.3.3）的通解為故 其中為任意常數(shù)。一般地，對方程即 整理得通解為后得 兩端同乘以 二、 線性非齊次方程1.積分因子法給方程兩邊乘以函數(shù)兩種解法變成一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使左邊整理得：積分得通解：稱為方程的積分因子。2.常數(shù)變易法先求（2.1.1）對應(yīng)的齊次方程的通解為：思想：將一個對應(yīng)齊次方程的通解中的常數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)，代入原方程后確定出該方程的通解。再把通解表達(dá)式中的常數(shù)C換成一個待定函數(shù) 。即令 整理得通解為： 將 和 代入 得 線性微分方程解的性質(zhì):1.齊次方程的解或者恒為零，或恒不為零。2.齊次方程任何解的線性組合仍是它的解。3.齊次方程的任一解與非齊次方程的任一解之和仍為非

3、齊次方程的解。4.非齊次方程的兩解之差為對應(yīng)齊次方程的解。5.非齊次方程的任一解與對應(yīng)齊次方程的齊次方程的通解之和是非齊次方程的通解。初值問題 的解為 初值問題 的解為 數(shù)，求微分方程 的 周期解。 解：齊次方程 的通解為 方程 的通解為 例：2.1.3 為了使 以 為周期，須滿足 是以 為周期的周期函數(shù)， 是正常設(shè) 整理得為周期 以 （令 ） 將c 代入得二、 Bernoulli方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)例1.3.5求初值問題的解。解：方程兩邊同乘以2y后得令 代入得 通解為將 代入得 代入初值條件得在電

4、感上的電壓降為 由Kirchhoff回路電壓定律知： 沿著任一閉合回路的電壓降的代數(shù)和為零。 四、 線性微分方程的應(yīng)用舉例例1：RL串聯(lián)電路由電阻、電感、關(guān)閉合后電路中的電流強度 電源組成的串聯(lián)電路，求開解：當(dāng)電路中電流為 時，在R上的電壓降為 我們得到電流 所滿足的微分方程為：取開關(guān)閉合時刻為0，則 又 將初始條件 代入得: 故當(dāng)開關(guān)閉合后，電路中的電流強度為：求得齊次方程通解為是方程特解，因此,得到通解:例2 湖泊的污染設(shè)一個化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時. 開始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時, 湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時, 求該廠排污1年時, 湖泊水中鹽酸的