小波變換的定義課件

1、9.1 小波變換的定義小波變換的定義 給定一個基本函數(shù)，令 (9.1.1) 若a,b不斷地變化，我們可得 到一族函數(shù) 。給定平方可積的信號 ，即 則小x(t)的小波變換（Wavelet Transform，WT）： （9.1.2） 信號 的小波變換 是a和b的函數(shù)，b是時移，a是尺度因子。 又稱為基本小波，或母小波。 是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。 式中,b的作用是確定對x(t)分析的時間位置，也即時間中心。尺度因子a的作用是把基本小波 作伸縮。式中的因子 是為了保證在不同的尺度時，始終能和 母函數(shù)有著相同的能量，即 令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由

2、傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為： （9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表為： （9.1.4）此式即為小波變換的頻域表達式。 9.2 小波變換的特點 小波變換的恒Q性 由小波變換的兩個定義可以看出，如果 在時域是有限支撐的，那么它和 作內(nèi)積后將保證在時域也是有限支撐的，從而實現(xiàn)所希望的時域定位功能，也即 反映的是 在b附近的性質(zhì)；若 具有帶通性質(zhì)，即 圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么 和 作內(nèi)積后也將反映在中頻率處的局部性質(zhì)，而實現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。 若 的時間中心是 ,時寬是 ， 的頻率中心是 ,帶寬是 ，那么 的時間中心仍是 ，但時寬變成 ， 的頻譜 的頻率中心變

3、為 帶寬變成 。這樣, 的時寬帶寬積仍是 ,與a無關(guān)。 定義：為小波 的品質(zhì)因數(shù)，對 ，其=帶寬/中心頻率 帶寬/中心頻率 不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間中心和頻率中心的關(guān)系 圖9.2.2 a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間 由于小波變換的恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖9.2.2中三個時、頻分析區(qū)間（即三個矩形）的面積保持不變。由此，小波變換提供了一個在時、頻平面上可調(diào)的分析窗口，該分析窗口在高頻端（圖中 處）的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長），但時域的分辨率變好（矩形的時間邊變短）；反之，在低頻端（圖中 處），頻率分辨率變好，而時域分辨率變差。但在不同的值下，圖9.2.

4、2中分析窗的面積保持不變，也即時、頻分辨率可以隨分析任務的要作出調(diào)整。小波變換的時域及頻率分辨率 信號中的高頻成份往往對應時域中的快變成份。對這一類信號分析時則要求時域分辨率要好以適應快變成份間隔短的需要，對頻域的分辨率則可以放寬，當然，時、頻分析窗也應處在高頻端的位置。低頻信號往往是信號中的慢變成份，對這類信號分析時一般希望頻率的分辨率要好，而時間的分辨率可以放寬，同時分析的中心頻率也應移到低頻處。顯然，小波變換的特點可以自動滿足這些客觀實際的需要。 用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對信號作細致觀察，用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。小波變換的

5、這一特點即既符合對信號作實際分析時的規(guī)律，也符合人們的視覺特點。小波變換和其它信號分析方法的區(qū)別 傅里葉變換 傅里葉變換的基函數(shù)是復正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能（頻域的 函數(shù)），但在時域所對應的范圍是 - ，完全不具備定位功能。這是FT的一個嚴重的缺點。 第9章 小波變換的基礎(chǔ)短時傅里葉變換 重寫（2.1.1）式，即 (9.2.6) STFT不具備恒Q性質(zhì)，當然也不具備隨著分辨率變化而自動調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如圖9.2.3所示。圖9.2.3 STFT的時頻分析區(qū)間 定義 (9.2.7)為信號的“尺度圖（scalogram）”。它也是一種能量分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是

6、簡單的隨的能量分布。但由于尺度間接對應頻率（小對應高頻，大對應低頻），因此，尺度圖實質(zhì)上也是一種時頻分布。 綜上所述，由于小波變換具有恒Q性質(zhì)及自動調(diào)節(jié)對信號分析的時寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點，因此被人們稱為信號分析的“數(shù)學顯微鏡”。小波變換是八十年代后期發(fā)展起來的應用數(shù)學分支。 9.3 連續(xù)小波變換的計算性質(zhì)時移性質(zhì) 若 的CWT是 ,那么 的CWT是 。記 ， (9.3.1)尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果x(t)的CWT是 ，令 ，則 (9.3.2) 證明: 令 則 該性質(zhì)指出，當信號的時間軸按 作伸縮時，其小波變換在a和b兩個軸上同時要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點的又一體現(xiàn)。

7、 微分性質(zhì)如果x(t)的CWT是 ，令 ，則 （9.3.3）證明：由移位性質(zhì)有：即 兩個信號卷積的CWT 如果x(t),h(t)的CWT分別是 及 ,令 則 （9.3.4)式中符號 表示對變量b作卷積。 兩個信號和的CWT 令 的CWT分別是 ，且 ，則 （9.3.5a）同理，如果 ，則 （9.3.5b）即兩個信號和的CWT等于各自CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理。 小波變換式所定義的CWT是“線性”變換，而WVD表達式Wigner分布為代表的一類時頻分布為“雙線性變換”。正因為如此，是信號能量的分布。與之相對比，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平方，即（9.2.7）式的尺度圖則

8、是信號能量的一種分布。將 代入(9.2.7)式，可得： (9.3.6)式中 分別是 和 的幅角。 上式表明在尺度圖中同樣也有交叉項存在，但該交叉項的行為和WVD中的交叉項稍有不同。WVD的交叉項位于兩個自項的中間，即位于 處，分別是兩個自項的時頻中心。尺度圖中的交叉項出現(xiàn)在 和 同時不為零的區(qū)域，也即是真正相互交疊的區(qū)域中，這和WVD有著明顯的區(qū)別。WVD和WT之間的關(guān)系 ： （9.3.7） 小波變換的內(nèi)積定理 定理9.1 設(shè) 和 ， 的小波變換分別是 和 ，則 （9.3.8）式中 （9.3.9） （9.3.8）式實際上可看作是小波變換的Parseval定理。該式又可寫成更簡單的形式,即 (9

9、.3.10)進一步，如果令 ，由（9.3.8）式，有 (9.3.11) 傅里葉變換中的Parseval定理，即時域中的能量等于頻域 中的能量。但小波變換的Parseval定理稍為復雜，它不但要有常數(shù)加權(quán)，而且以的存在 為條件。 9.4小波反變換及小波容許條件連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件 定理9.2 設(shè) ，記 ， 為的傅里葉變換，若 則 可由其小波變換 來恢復，即 (9.4.1) 證明：設(shè) ， ,則 將它們分別代入（9.3.8）式的兩邊，再令 ，于是 于是定理得證。 在定理9.1和定理9.2中，結(jié)論的成立都是以0的范圍內(nèi)任意取值時，這時的小波變換即是連續(xù)小波變換。 用數(shù)值積分的方法計算

10、（9.1.2）式，即，令 (9.7.1) 由于在 的區(qū)間內(nèi)， ，所以上式又可寫為： (9.7.2) 由該式可以看出，小波變換 可看作是 和 的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中間變量是t，卷積后的變量為a及b。MATLAB中的cwt.m即是按此思路來實現(xiàn)的。 小波變換的大致過程：先由指定的小波名稱得到母小波 及其時間軸上的刻度，假定刻度長為 ；從時間軸坐標的起點開始求積分 ， 由尺度a確定對上述積分值選擇的步長，a越大，上述積分值被選中的越多；求 和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成（9.7.2）式。方法的不足:在a變化時，(9.7.2）式中括號內(nèi)的積 分、差分后的點數(shù)不同，也即和

11、 卷積后的點數(shù)不同。解決的方法:是在不同的尺度下對 作插值，使其 在不同的尺度下，在其有效支撐范圍 內(nèi)的點數(shù)始終相同。 有關(guān)CWT快速計算的方法還可借助于CZT及梅林變換等方法 。例題： 例9.7.1 令 為一正弦加噪聲信號，它取自MATLAB中的noissin.mat。對該信號作CWT，a分別等于2和128，a=2時，小波變換的結(jié)果對應信號中的高頻成份，a=128時，小波變換對應信號中的低頻成份。其原始信號及變換結(jié)果見圖9.7.1(a)，(b)和（c）。圖9.7.1 信號“noissin”的小波變換 (a)原信號x(t)，(b)a=2，(c)a=128 例9.7.2 仍然使用例9.7.1的信

12、號“noissin”，對其作CWT時a分別取10，30，60，90，120及150。所得到的圖9.7.2是在各個尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移（水平軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。圖9.7.2 多尺度下小波變換的灰度表示9.8 尺度離散化的小波變換及小波標架 對同一個信號 ，在 “時頻平面” a-b上，給出幾種不同的表示形式： STFT： （9.8.1） Gabor變換： （9.8.2） WVD： （9.8.3） 小波變換： （9.8.4） 9.8.1 尺度離散化的小波變換 目前通用的對a離散化的方法是按冪級數(shù)的形式逐步加大a，即

13、令 。若取 ，則 (9.8.5)稱為“半離散化二進小波”，而 (9.8.6)稱為二進小波變換。 設(shè)：母小波 的中心頻率： ，帶寬： ，當 時， 的中心頻率變?yōu)?，帶寬 。若 時， 的中心頻率和帶寬分別是： ， 。從對信號作頻域分析的角度，希望當a由 變成 時， 和 在頻域?qū)姆治龃?和 能夠相連。這樣，當j由0變至無窮時， 的傅里葉變換可以覆蓋整個 軸。 由 恢復 ： 設(shè) 是 的對偶小波，并令 和 取類似的形式，即 (9.8.7)這樣，通過對偶小波，我們希望能重建 ： (9.8.8)對上式作如下變換： 由（9.1.3）和（9.1.4）式，有 (9.8.9)顯然，若 (9.8.10)則（9.8

14、.9）式的右邊變成 的傅里葉反變換，自然就是 。 對于滿足容許條件的小波 ，當 時，其二進制小波 對應的傅里葉變換應滿足（9.4.4）式的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合（9.4.4）和（9.8.10）式，我們可由下式得到對偶小波 : (9.8.11)由于（9.8.11）式的分母滿足（9.4.4）式，因此有 (9.8.12)這樣，對偶小波 也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找到一個“穩(wěn)定的”對偶小波 由（9.8.8）式重建出 。 定理 9.4 : 如果存在常數(shù) ，使得 (9.8.13)則 (9.8.14)如果 滿足 (9.8.15)則 (9.8.16) 定理9.4指出，若 的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，則 在

15、 上的小波變換的幅平方的和是有界的。進而， 和 的傅里葉變換若滿足（9.8.15）式（也即（9.8.10）式），則 可由（9.8.16）式重建。 若（9.8.13）式的穩(wěn)定性條件滿足，則（9.3.9）式的容許條件必定滿足，且 (9.8.17)從而，由連續(xù)小波變換 總可以恢復 ，即（9.4.1）式總是成立 總結(jié)： 若 滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進小波變換 總可以重建，也即一個滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波 總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波 不一定是唯一的。如何構(gòu)造“好”的小波 及得到唯一的對偶小波 是小波理論中的重要內(nèi)容。 9.8.2 離散柵格上的小波變換 令 ，可實現(xiàn)對a的離散

16、化。若j=0，則 。當 時，將a由 變成 時，即是將a擴大了 倍，這時小波 的中心頻率比的中心頻率下降了 倍，帶寬也下降了 倍。 當尺度a分別取 時，對b的抽樣間隔可以取 這樣，對a和b離散化后的結(jié)果是： (9.8.18) 對給定的信號 連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小波變換，即 (9.8.19)此式稱為“離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT）”。注意:式中t仍是連續(xù)變量。這樣，(a,b)平面上離散 柵格的取點如圖9.8.1所示。圖中取 ，尺 度軸取以2為底的對數(shù)坐標。圖9.8.1 DWT取值的離散柵格 由該圖可看出小波分析的“變焦距”作用，即在不同的

17、尺度下（也即不同的頻率范圍內(nèi)），對時域的分析點數(shù)是不相同的。 記 ，仿照傅里葉級數(shù)和Gabor展開那樣來重建 ，即 (9.8.20)該式稱為小波級數(shù)， 稱為小波系數(shù)， 是 的對偶函數(shù)，或?qū)ε夹〔ā?對任一周期信號 ，若周期為T，且 ，則可展成傅里葉級數(shù)，即 (9.8.21a)式中 是 的傅里葉系數(shù)，它由下式求出： (9.8.21b) 小波級數(shù)和傅里葉級數(shù)形式上類似，但其物理 概念卻有著明顯的不同：傅里葉級數(shù)的基函數(shù) ，是一組正交基，即 。 小波級數(shù) 所用的一族函數(shù)不一定是正交基，甚至不一定是一組“基”；對傅里葉級數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即 都是（差一負號）；對小波

18、級數(shù)來說，分析所用的函數(shù)是可變的，且分析和重建 所用的函數(shù)是不相同的，即分析時是 ，而重建時是 ；在傅里葉級數(shù)中，時域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級數(shù)在a,b軸上的離散化是不等距的，這正體現(xiàn)了小波變換“變焦”和“恒Q”性的特點。將連續(xù)小波變換改變成離散小波變換的疑問：一族小波函數(shù) ，在空間 上是否是完備的？所謂完備，是指對任一 ，它都可以由這一組函數(shù)（即 ）來表示；如果 是完備的，那么 對的表示 是否有信息的冗余？如果 是完備的，那么對a和b的抽樣間隔如何選取才能保證對 的表示不存在信息的冗余？9.8.3 小波標架理論介紹 標架的基本理論，其要點是：若 是Hilbert空間中的一組向量，

19、對給定的 若存在常數(shù) ，滿足 (9.8.22) 則 構(gòu)成了一個標架；若A=B，則稱 為緊標架，若A=B=1，則 成一正交基定義標架算子S為 (9.8.23)則 (9.8.24)記 為的對偶函數(shù)族，則 也構(gòu)成一個標架，標架界分別為 和 ； 用標架來表征一個信號 ，也即對 作分解時，標架 可給出完備的且是穩(wěn)定的表示，但這種表示是冗余的，即 之間是線性相關(guān)的，因此 不是唯一的。對信號的冗余表示有時并不一定是壞事，它在表示的穩(wěn)定性、對噪聲的魯棒性（robustness）方面都優(yōu)于正交基；標界邊界B和之A比值，即B/A稱為冗余比。在實際工作中，總希望接近于1，即 為緊標架。當A=B時，有 (9.8.25

20、)定理9.5 : 如果 構(gòu)成 中的一個標架，且標架邊界分別為A和B，則母小波須滿足： (9.8.26a)及 (9.8.26b) 以上定理又稱構(gòu)成標架 的必要條件。這一條件實際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。當僅a對取二進制離散化，b保持連續(xù)時，該必要條件也就是充分條件。 若 構(gòu)成緊標架，即A=B，那么，其標架邊界 (9.8.27) 若 構(gòu)成 中正交基，則 (9.8.28) 定理9.6: 定義 (9.8.29)及 (9.8.30)如果 和 的選取保證 (9.8.31a)及 (9.8.31b)則 是 中的一個標架。 、 分別是標架界A和B的下界與上界。 例9.8.1 對（9.6.6）式給出的墨西哥

21、草帽小波，利用（9.8.31）式計算在a和b取不同步長時邊界A和B的值，如表9.8.1所示。表中 取 。顯然，N越大，對a離散化的步長越小。由該表可以看出：當 時，墨西哥草帽離散化后的 都接近于構(gòu)成一個緊標架，即這時的B/A接近于1；同一值N下， 越小，A和B的值越大，因為這時 所以它們的值反映了冗余度的大小。顯然， 越小，冗余度越大，自然A和B越大；同一N值下， 越大，B/A的值越大，這就越遠離緊標架。若再增加 ，有可能使求出的為負值，從而使這時的 不再構(gòu)成標架?？偨Y(jié)： 總之，以上的標架理論及邊界值A(chǔ)、B的計算給我們一個大致估計選取 的原則，即二者的選取要保持離散化后的 至少要構(gòu)成一個標架，以保證對信號穩(wěn)定、完備的表示。但在一般情況下，標架并不是正交基，除非A=B=1。定義9.8.1： 若 是由母小波 通過伸縮與移位生成的 上的“稠密”的二維函數(shù)族，并且存在常數(shù)和，使得 (9.8.32)對于所有滿足平方和的序列 成立，式中 (9.8.33)則稱 是 上的一個Riesz基，常數(shù)A、B分別稱為Riesz基的下界和上界。 定義中“稠密”的含義是指 中的任一函數(shù)都可由二維序列 的線性組合來表示。定義的簡單