《公共選擇與政治立憲》 第七講 其它多數(shù)規(guī)則

1、理論分析框架上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)第七講 其它多數(shù)規(guī)則公共選擇與政治立憲，第6、8、9章上海財(cái)經(jīng)大學(xué)講義提綱最多票數(shù)規(guī)則孔多塞規(guī)則黑爾機(jī)制庫(kù)姆斯機(jī)制波爾達(dá)計(jì)票贊成投票點(diǎn)投票否決投票*過(guò)程比較 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)一、最多票數(shù)規(guī)則 最多票數(shù)（Plurality）規(guī)則的含義 在投票過(guò)程中，每一個(gè)個(gè)體將自己的選票投給自 己最喜愛(ài)的對(duì)象（候選人或者議案），獲得選票 數(shù)最多的對(duì)象將獲勝。最多票數(shù)規(guī)則的優(yōu)點(diǎn) 簡(jiǎn)單且相對(duì)合理：結(jié)果獲得了相對(duì)“多數(shù)”的 支持上海財(cái)經(jīng)大學(xué)最多票數(shù)規(guī)則的問(wèn)題 可能產(chǎn)生對(duì)部分人有利但對(duì)其它個(gè)體極端不利 的極端主義議案和（或）候選人；產(chǎn)生低效率 的結(jié)果（平均效率） 當(dāng)選人與政治機(jī)構(gòu)的權(quán)威性

2、二次選舉（Double election）的引進(jìn) 規(guī)則的含義：一起表決，得到兩個(gè)獲得最多票 數(shù)支持的議案和（或）候選人；投票人繼續(xù)就 上述兩個(gè)備選對(duì)象進(jìn)行選舉，多數(shù)支持者獲勝 二次選舉的意義（表1） 返回 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)表1 二次選舉投票人偏好排序V1（8）YVWZXV2（7）XVWZYV3（5）ZWVXYV4（3）VXWZYV5（2）WZYVX上海財(cái)經(jīng)大學(xué)二、孔多塞規(guī)則投票均衡 特殊例子 一般情形投票循環(huán)悖論（Voting cycling paradox） 基本類型 主要問(wèn)題孔多塞規(guī)則的適用性 返回 返回上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（一）投票均衡：特殊例子假設(shè) 5個(gè)決策個(gè)體集體決定某一公共產(chǎn)品的規(guī)模 稅收制度

3、：同一稅制（Uniform taxation）個(gè)體最優(yōu)選擇（圖1） 個(gè)體的需求曲線與最優(yōu)選擇 具體例子：簡(jiǎn)單多數(shù)均衡（表2） 中位數(shù)投票者（Median voter） 多數(shù)投票均衡（Majority voting equilibrium） 返回上海財(cái)經(jīng)大學(xué)元 D5 D4 D2 a/n D1 d（D3） O x1 x2 x3 x4 x5 x圖1 中位數(shù)投票模型上海財(cái)經(jīng)大學(xué)民主決策的個(gè)體行動(dòng)基礎(chǔ)：具體例子上海財(cái)經(jīng)大學(xué)表2 簡(jiǎn)單投票多數(shù)支持率比較表比較組支持x3的個(gè)體反對(duì)x3的個(gè)體兩者之比x3對(duì)x13、4、5或21或24：1或3：2x3對(duì)x23、4、51、23：2x3對(duì)x41、2、34、53：2x3

4、對(duì)x51、2、3或45或44：1或3：2（一）投票均衡：一般情形 中位數(shù)定理（Median Voter Theorem）：對(duì)于 一維待決策議案x，若所有投票者的偏好在x是 上是單峰的，那么，多數(shù)規(guī)則投票的結(jié)果為中 位數(shù)投票者所偏好的方案。上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 概念定義與說(shuō)明： a. 理想點(diǎn)（Ideal point）：若xi*是個(gè)體i的理想 點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有xxi*，都有ui（xi*） ui（x）;上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)定理證明* （二）投票循環(huán)悖論：基本類型 一維議案 雙峰偏好（Double-peaked preference） 多元議案 二維組合 返回上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)效 甲用

5、 乙 丙 x y z圖6 雙峰偏好 1、一維議案上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 2、多元決策表3 個(gè)體第一選擇第二選擇第三選擇甲THD乙HDT丙DTH上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 理想點(diǎn)、效用山（Utility mountain）與無(wú)差異 曲線（圖3） 二元議案時(shí)的投票循環(huán)（圖4） 向前 3、二維組合上海財(cái)經(jīng)大學(xué)y UA A（xA，yA） x圖3 理想點(diǎn)與無(wú)差異曲線上海財(cái)經(jīng)大學(xué)y UC UA A D UB C E K B x圖4 二元議案時(shí)均衡的不存在性 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（二） 循環(huán)悖論：存在的問(wèn)題 問(wèn)題的具體性質(zhì) 非決定性（集體非理性） 日程控制（Agenda manipulation） 問(wèn)題的嚴(yán)重程度 循環(huán)出現(xiàn)的概率 返回上海

6、財(cái)經(jīng)大學(xué)投票循環(huán)的概率表4 議案?jìng)€(gè)數(shù)為3時(shí)無(wú)多數(shù)勝者的概率人數(shù)概率人數(shù)概率10.000150.08230.056170.08350.069190.08370.075210.08490.078230.084110.080250.084130.0810.088注：前提假設(shè)是所有序有同樣的機(jī)會(huì)被每一個(gè)個(gè)體采用。資料來(lái)源：吉爾博（1952）、加曼與凱明（1968）以及尼米和韋斯博格（1968）。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)表5 無(wú)多數(shù)勝者概率的極限制 方案數(shù)概率人數(shù)概率10.000200.68120.000250.73030.088300.76540.176350.79150.251400.812100.489450

7、.829150.609注：前提假設(shè)是所有序有同樣的機(jī)會(huì)被每一個(gè)個(gè)體采用。資料來(lái)源：尼米和韋斯博格（1968）。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)個(gè)體偏好的調(diào)整修改投票的規(guī)則投票程序的修正 （三）孔多塞規(guī)則的適用性上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 一維：個(gè)體偏好類型 二維：理想點(diǎn)的空間分布 多元：個(gè)體偏好組合類型 個(gè)體偏好的同質(zhì)性程度 1、個(gè)體偏好的調(diào)整上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（1）理想點(diǎn)的空間分布 探索性分析 (a)點(diǎn)分布在同一直線（如圖5）； (b)增加的點(diǎn)對(duì)稱分布在過(guò)均衡點(diǎn)的直線上 一般性條件 返回 上海財(cái)經(jīng)大學(xué) y A C B x圖5 多元（維）議案與均衡上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 個(gè)體偏好的空間分布（理想點(diǎn)分布）上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（2）個(gè)體偏好的組合形式上海

8、財(cái)經(jīng)大學(xué)（3） 個(gè)體偏好結(jié)構(gòu)的同質(zhì)性 a. 具有相同偏好的多數(shù)的存在，就足以保證多數(shù)規(guī)則均 衡的存在，而不管其他人的偏好如何（Kramer，1973； Buchanan，1954）； b. 循環(huán)發(fā)生的概率會(huì)隨具有相同偏好人數(shù)比例的增多而遞 減（Williamson 與 Sargent，1976; Gehrlein與 Fishburn, 1967）。 c. 財(cái)政競(jìng)爭(zhēng)與財(cái)政聯(lián)邦主義上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2、 對(duì)投票規(guī)則的修正 3、投票程序的修正逐步淘汰法加權(quán)賦值法 返回 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)三、黑爾機(jī)制 黑爾機(jī)制（Hare system）的含義 個(gè)體在選票上以第一、第二、第三的方式對(duì)所有候選對(duì) 象做出排

9、序。在偏好排序給定的基礎(chǔ)上，根據(jù)首要偏好 的情況來(lái)進(jìn)行淘汰和選擇 如果有候選人所獲得的選票數(shù)超過(guò)一半，即有半數(shù)以上 的人將候選人置于首位，那么，他就將宣布獲勝 但如果沒(méi)有，那么具有最少數(shù)的、投票人將其排在首位 的候選對(duì)象將被淘汰出局，而他所獲得的所有選票將轉(zhuǎn) 移給排在第二位置的候選對(duì)象 繼續(xù)該過(guò)程直到有一個(gè)候選對(duì)象能獲得多數(shù)支持為止上海財(cái)經(jīng)大學(xué)黑爾機(jī)制的運(yùn)作結(jié)果（表2）表2選擇過(guò)程YXZVW第一次計(jì)票87532第一次淘汰與第二次計(jì)票8773第二次淘汰與第三次計(jì)票8107第三次淘汰與第四次計(jì)票1015最終獲勝者上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 優(yōu)點(diǎn) 與最多票數(shù)規(guī)則比較：保證那些能夠吸引 “最多數(shù)”但是為大多數(shù)所反對(duì)

10、的備選議 案不會(huì)當(dāng)選 黑爾機(jī)制的性質(zhì)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)不足平均效率：被少數(shù)人排在最前面但在整體層面上 （平均排序）較高的備選對(duì)象可能被排除。比如說(shuō) V和W。孔多塞效率：由于淘汰的依據(jù)是被最少數(shù)的人排 在最前面的備選對(duì)象，孔多塞勝者可能被過(guò)早地 淘汰出局。也就是說(shuō)，即便存在孔多塞勝者，孔 多塞勝者不一定能得到選擇，比如說(shuō)V。 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)四、庫(kù)姆斯機(jī)制庫(kù)姆斯機(jī)制（Coombs system）的含義 依次被集體決策過(guò)程所淘汰的是被最多的人排在 最后的議案和（或）候選人。具體來(lái)說(shuō)，就是在 所有的議案中，每一投票者都指出被他排在最后 面的議案，然后刪除被最多的投票人排在最后面 的議案，并按照同樣的方法對(duì)剩下

11、的個(gè)議案進(jìn)行 表決，繼續(xù)該過(guò)程直到只有一個(gè)議案為止，該議 案就是最終的獲勝議案。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)庫(kù)姆斯機(jī)制的運(yùn)行結(jié)果表3投票過(guò)程YXZWV第一次計(jì)票1510000第一次淘汰與第二次計(jì)票151000第二次淘汰與第三次計(jì)票1807第三次淘汰與第四次計(jì)票187最終獲勝者上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 庫(kù)姆斯機(jī)制的性質(zhì)與黑爾機(jī)制的共性：排斥極端議案、孔多塞勝者 可能未能得到選擇與黑爾機(jī)制的差異：黑爾機(jī)制傾向于選擇被多數(shù) 人所支持的對(duì)象；庫(kù)姆斯機(jī)制傾向于選擇被最少 人所厭惡的對(duì)象 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)五、波爾達(dá)計(jì)票（Berda count） 波爾達(dá)計(jì)票方法的具體過(guò)程波爾達(dá)計(jì)票方法的合理性波爾達(dá)計(jì)票方法存在的問(wèn)題 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)1.波爾

12、達(dá)計(jì)票方法的具體過(guò)程 投票過(guò)程 考慮一個(gè)一般性的有n位成員就m個(gè)議案進(jìn)行表決的集體決策環(huán)境。就某一公共投票者而言，假設(shè)個(gè)體對(duì)于議案的排序是P。于是可以按照議案排序的先后順序給予每一個(gè)議案一個(gè)分?jǐn)?shù)（等價(jià)于是存在m個(gè)等級(jí)）：居于最前面的議案得m分，第二位的得m-1分，最后的議案得1分。在賦值的基礎(chǔ)上，把每個(gè)議案的得分進(jìn)行加總，得分最高者宣布獲勝具體例子 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)表4 議案加權(quán)票數(shù)總計(jì)(8)(7)(5)(3)(2)y5*8=401*7=71*5=51*3=33*2=661z2*8=162*7=145*5=252*3=64*2=869w3*8=243*7=214*5=203*3=95*2=1084

13、v4*8=324*7=283*5=155*3=152*2=494x1*8=85*7=352*5=104*3=121*2=267上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2.波爾達(dá)計(jì)票方法的合理性 平均效率：波爾達(dá)計(jì)票往往會(huì)選擇平均排序水平 相對(duì)較高的議案（比如說(shuō)V）；它有 利于消除極端主義的議案或者候選人孔多塞效率：在孔多塞勝者存在的情況下，波爾 達(dá)計(jì)票一般會(huì)選擇孔多塞勝者。當(dāng)然 也有例外。 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)3.波爾達(dá)計(jì)票方法存在的問(wèn)題 波爾達(dá)計(jì)票方法可能引發(fā)個(gè)體戰(zhàn)略性行為 波爾達(dá)計(jì)票方法不滿足“無(wú)關(guān)備選對(duì)象的獨(dú)立性 （Independence of irrelevant alternatives）”性質(zhì) 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)六、贊同

14、投票（Approval voting） 贊同投票方法運(yùn)作的具體方式 對(duì)于所有的備選對(duì)象，個(gè)體對(duì)于自己贊成的 備選對(duì)象投贊成票，而對(duì)自己不贊成的投反 對(duì)票。然后加總所有的贊成票數(shù)，票數(shù)最多 的備選對(duì)象當(dāng)選。就贊同投票而言，其等價(jià) 于個(gè)體賦予自己贊同的備選對(duì)象的權(quán)數(shù)為1， 對(duì)于不贊同的備選對(duì)象賦予的權(quán)重為0。 在贊同投票方式下，個(gè)體所投的票數(shù)可能不 一樣，除非規(guī)定贊同票的票數(shù)。特別地，若 所有個(gè)體都只投一票，那就是最多票數(shù)規(guī)則上海財(cái)經(jīng)大學(xué)贊同投票表5限定票數(shù)備選對(duì)象獲勝者xyzvw21087187v3101072325w41510252525z、v、w上海財(cái)經(jīng)大學(xué)七、點(diǎn)投票（Point votin

15、g）點(diǎn)投票方法 給每位投票者一定的點(diǎn)數(shù)，比如說(shuō)100點(diǎn)，投票者 可以根據(jù)自己對(duì)于議案或候選人的偏好強(qiáng)度將自 己的點(diǎn)數(shù)分配給各個(gè)議案或各位候選人。然后加 總各個(gè)議案或候選人所得到的點(diǎn)數(shù)，按照點(diǎn)數(shù)的 多少來(lái)確定最終的勝者。點(diǎn)投票的過(guò)程是個(gè)體分 配和賦予權(quán)重的過(guò)程，又叫“點(diǎn)分配方法（Point distribution method）”。具體例子（假設(shè)個(gè)體根據(jù)偏好強(qiáng)度分配點(diǎn)數(shù)）。 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)表6 議案強(qiáng)度分布假設(shè)與計(jì)算結(jié)果V1（8）Y24V22W20Z18X16V2（7）X60V15W10Z8Y7V3（5）Z38W35V22X5Y0V4（3）V40X20W19Z18Y3V5（2）W28Z21Y18

16、V17X16V(y)=286; V(z)=486;V(w)=518;V(v)=545;V(x)=665上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 點(diǎn)投票方法的性質(zhì) 若個(gè)體按照偏好強(qiáng)度真實(shí)投票，那無(wú)論是從平 均效率還是從孔多塞效率的角度來(lái)看，規(guī)則運(yùn) 行的效率水平都會(huì)有一定的保證 投票規(guī)則存在戰(zhàn)略性行為的激勵(lì) 若將所有點(diǎn)分配給最偏好的備選對(duì)象，點(diǎn) 投票退化為最多票數(shù)規(guī)則。 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)八、否決投票否決投票（Voting by veto）的含義給定議案下的議案否決議案集合的選擇和提供否決投票程序的性質(zhì)總結(jié) 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)1. 否決投票（Voting by veto）的含義 每位參與投票的成員（通常是委員會(huì)成員）都 給出一個(gè)議案;

17、由一個(gè)隨機(jī)過(guò)程來(lái)確定否決投票的順序，參與 投票的人就按照隨機(jī)過(guò)程所確定的順序就其中 的一個(gè)投否決票 直到最后只剩下一個(gè)議案為止，該議案就是否 決投票的勝者 個(gè)體二元選擇：選擇議案與否決議案 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2.給定議案下的議案否決：一個(gè)例子表7議案投票人V1V2V3a1123a2312a3231a0444上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（1）否決次序?yàn)閂1V2V3時(shí)的個(gè)體選擇與集體選擇表8V1與V2的選擇V3可能的選擇V3的最優(yōu)選擇勝者a1、a2a3、a0a0a3a1、a3a2、a0a0a2*a1、a0a2、a3a2a3a2、a1a3、a0a0a3a2、a3a0、a1a0a1*a2、a0a3、a1a1a3上海財(cái)經(jīng)大學(xué)

18、（1）否決次序?yàn)閂1V2V3時(shí)的個(gè)體選擇與集體選擇表8（續(xù)）V1與V2的選擇V3可能的選擇V3的最優(yōu)選擇勝者a3、a1a2、a0a0a2a3、a2a1、a0a0a1a3、a0a1、a2a1a2*a0、a1a2、a3a2a3a0、a2a1、a3a1a3a0、a3a1、a2a1a2*上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（2）否決次序、個(gè)體選擇與最終結(jié)果表9否決次序個(gè)體最優(yōu)選擇最終結(jié)果V1V2V3a2a3a0a1V1V3V2a2a1a0a3V2V1V3a3a2a0a1V2V3V1a3a1a0a2V3V1V2a1a2a0a3V3V2V1a1a3a0a2上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（3）給定議案下否決投票過(guò)程的性質(zhì)結(jié)果的確定性與對(duì)循環(huán)的避免：

19、循環(huán)為每一個(gè)議 案有1/3的獲勝概率所取代；決策結(jié)果與否決的次序有關(guān)，但次序是隨機(jī)決定 的，因而不會(huì)存在人為的日程控制問(wèn)題。 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)3.議案集合的提供與選擇：一個(gè)例子表8議案投票人V1V2V3a1123a23（2）12a32（3）31a0444上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（1）個(gè)體議案提供決策的特點(diǎn)性質(zhì)如果個(gè)體能夠提高自己議案在其它個(gè)體偏好排序 中的地位，那么，該議案獲勝的概率會(huì)得到顯著 的提高。在表8所給出的例子中，除了否決次序?yàn)?V1V2V3這一情形之外，在其它的否決次序下，a2 均會(huì)稱為獲勝議案。為了提升自己所提議案獲勝的概率，個(gè)體有考慮 其它個(gè)體利益的激勵(lì)。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（1）個(gè)體議案提供決策的特

20、點(diǎn)性質(zhì)（續(xù)）否決投票的激勵(lì)效應(yīng)在人數(shù)眾多的情形中得到充 分的體現(xiàn)。就再分配問(wèn)題而言，此時(shí)最終所選擇 的往往是最公平的議案，次公平的議案雖然能得 到選擇，但概率很低，而其它的議案根本無(wú)法得 到選擇（Mueller,1978)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（2）否決議案的激勵(lì)效應(yīng)證明:基本設(shè)定基本設(shè)定 個(gè)體議案給出，其公平性由 ei定義和衡量。 按照公平性程度對(duì)其進(jìn)行排序：p1、p2、pn、 pn+1 假設(shè)否決次序?yàn)? V1、V2、Vn 為便于分析,定義Vi所否決的議案為ri,并定義Ei 為Vi以后所有個(gè)體(包括Vi本人)所否決的議案集 合;上海財(cái)經(jīng)大學(xué)（2）否決議案的激勵(lì)效應(yīng)證明:具體過(guò)程 表9iriEi可能獲勝

21、議案集V1p3,或p2或p1p2,p1V2p4,或p3或p2p3,p2,p1Vn-2pn,或pn-1或pn-2pn+1,pn, ,pn-1或pn+1 , pn , pn-2pn-2,pn-3p1或pn-1,pn-3,p1Vn-1pn或pn-1pn+1,pn或pn+1,pn-1pn-1,pn-2p1或pn,pn-2,p1Vnpn+1pn+1p1,p2pn上海財(cái)經(jīng)大學(xué)4.否決投票性質(zhì)的總結(jié)激勵(lì)效應(yīng)與對(duì)個(gè)體利益的考慮確定性與對(duì)循環(huán)的避免對(duì)公共產(chǎn)品提供擴(kuò)展 九、過(guò)程比較孔多塞效率功利主義效率 返回上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)孔多塞效率表9 投票機(jī)制備選議案數(shù)345710最多票數(shù)規(guī)則79.169.462.152.042.6贊同投票76.069