數(shù)據(jù)包絡(luò)分析北大精選課件

1、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）北京大學(xué)經(jīng)管學(xué)院 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是線性規(guī)劃模型的應(yīng)用之一，常被用來(lái)衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營(yíng)單位的相對(duì)效率。 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績(jī)效相對(duì)有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營(yíng)業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績(jī)效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績(jī)效排序。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述2022/7/273數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無(wú)法算出

2、投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤(rùn)、市場(chǎng)份額和成長(zhǎng)率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營(yíng)單位效率高，哪個(gè)單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進(jìn)行績(jī)效比較。這種方法就是二十世紀(jì)七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問(wèn)題的能力是具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的。 1978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國(guó)德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuring the efficiency of de

3、cision making units”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡(jiǎn)稱 C2R 模型。該模型用以評(píng)價(jià)部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為DEA有效）。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）源起DEA模型是直接使用輸入、輸出數(shù)據(jù)建立非參數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。2022/7/275數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大。它也可以用來(lái)研究多種方案之間的相對(duì)有效性（例如投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出

4、決策后它的相對(duì)效果如何（例如建立新廠后，新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來(lái)進(jìn)行政策評(píng)價(jià)。2022/7/276數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀最引人注目的研究是把DEA與其它評(píng)價(jià)方法進(jìn)行比較。例如將DEA應(yīng)用于北卡羅來(lái)納州各醫(yī)院的有效性評(píng)價(jià)。已有的按計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為，此例中不存在規(guī)模收益。DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測(cè)定規(guī)模收益其關(guān)鍵在于：DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；DEA致力于每個(gè)單個(gè)醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對(duì)整個(gè)集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化。在其它的研究中，例如在評(píng)價(jià)醫(yī)院經(jīng)營(yíng)有效性時(shí)，將DEA與馬薩諸

5、塞州有效性評(píng)定委員會(huì)使用的比例方法進(jìn)行了比較，當(dāng)使用模擬方法對(duì)DEA進(jìn)行檢驗(yàn)后認(rèn)為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效 2022/7/277數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型簡(jiǎn)介DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃（包括線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無(wú)限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等）模型，評(píng)價(jià)具有多個(gè)輸入、特別是多個(gè)輸出的“部門”或“單位”（稱為“決策單元”，簡(jiǎn)記DMU）間的相對(duì)有效性（稱為DEA有效）。實(shí)際上“效率”或“相對(duì)有效性”的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過(guò)是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。根據(jù)對(duì)各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能

6、集的“生產(chǎn)前沿面”上。在DEA中一般稱被衡量績(jī)效的組織為決策單元（decision making unitDMU）。設(shè)：n 個(gè)決策單元（ j = 1，2，n ） 每個(gè)決策單元有相同的 m 項(xiàng)投入（輸入）（i = 1，2，m ） 每個(gè)決策單元有相同的 s 項(xiàng)產(chǎn)出（輸出） （r = 1，2，s ） Xij 第 j 決策單元的第 i 項(xiàng)投入 yrj 第 j 決策單元的第 r 項(xiàng)產(chǎn)出 衡量第 j0 決策單元是否DEA有效數(shù)據(jù)包絡(luò)分析基本概念 決策單元 1 2 n投入項(xiàng)目12m X11 X12 X1n X21 X22 X2n Xm1 Xm2 Xmn 1 2 n決策單元 y11 y12 y1n y21 y

7、22 y2n ys1 ys2 ysn12s產(chǎn)出項(xiàng)目2022/7/2710輸入型與輸出型的DEA模型Input-DEA 模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實(shí)際投入之比來(lái)估計(jì)?；蛘哒f(shuō)，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求的最小。Output-DEA 模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來(lái)估計(jì)?；蛘哒f(shuō)，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。2022/7/2711C2R模型2022/7/2712C2R的對(duì)偶輸入模型模型2022/7/2713C2R的對(duì)偶輸出模型模型2022/7/2714BC2的對(duì)偶輸入模型模型Banker, Charnes a

8、nd Cooper(1984) 衡量某一決策單元 j0是否DEA有效是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個(gè)由 n 個(gè)決策單元組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于 j0 決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，它的各項(xiàng)投入均低于 j0 決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。即有： 構(gòu)建DEA 模型的思路j yrj yrj0 （r = 1，2，s）j xij E xij0 （i = 1，2，m，E1）j = 1 ，j 0 （j = 1，2，n）j=1j=1j=1nnn 這說(shuō)明 j0 決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。 基于上述事實(shí)，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：min E S.t.j yrj y

9、rj0 （r = 1，2，s）j xij E xij0 （i = 1，2，m）j = 1 ，j 0 （j = 1，2，n）j=1j=1j=1nnn結(jié)果分析：1、當(dāng)求解結(jié)果有 E 1 時(shí)，則 j0 決策單元非DEA有效；2、否則，則 j0 決策單元DEA有效。2022/7/2717具有非阿基米德無(wú)窮小量的C2R對(duì)偶輸入模型2022/7/2718例1：考慮具有4個(gè)決策單元，2個(gè)輸入和1個(gè)輸出，相應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出： 3 3 43 1 3 2 1 2 3 41 1 2 11212022/7/2719考察DMU1，取1052022/7/2720最優(yōu)解為所以，DMU1為DEA有效。2022

10、/7/2721DEA有效性的判斷對(duì)具有非阿基米德無(wú)窮小量的C2R對(duì)偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)則判斷DEA有效性：若1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源；當(dāng)E1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。（模型的目標(biāo)）2022/7/2739鎮(zhèn)醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià)DEA模型我們可寫出輸入量的約束條件：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E（全職非主治醫(yī)師）123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws348.50E（提供的經(jīng)費(fèi)）106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws104.10E

11、（可提供的住院床位數(shù)）DEA模型的邏輯就是尋求一種合成能否在取得相同的或更多的輸出量的同時(shí)只需更少的輸入量。假如這種合成可以得到，那么合成的一部分（如鎮(zhèn)醫(yī)院）將被判定比合成（合成醫(yī)院）低效。2022/7/2740鎮(zhèn)醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià)DEA模型min Es.t. wgwuwcws1 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws36.7 243.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws45.98 253wg+148wu+175wc+160ws175 41wg+27wu+23wc+84ws23 285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E 123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.1