三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析課件

1、 對(duì)偶問(wèn)題與靈敏度分析一、對(duì)偶問(wèn)題及其模型問(wèn)題的提出 這時(shí)有另一家廠商提出要購(gòu)買(mǎi)其煤、電、油全部資源，并希望花費(fèi)盡量少。試建立購(gòu)買(mǎi)者的線性規(guī)劃模型。原問(wèn)題,記為（P）對(duì)偶問(wèn)題,記為（D）揚(yáng)哭狼芬峨涎遵菩濺苦克皂驗(yàn)釉睬賤確錫澎淫蛻貯遁庚嚴(yán)碳膜撐宰熊嫩駱三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析對(duì)偶模型的一般式以例1為例，原問(wèn)題為（P）（D）這是最常見(jiàn)的對(duì)偶模型形式，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)式對(duì)偶模型。二者間具有十分對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 原問(wèn)題（P） 對(duì)偶問(wèn)題 （D） 目標(biāo)max型 目標(biāo)min型 有n個(gè)變量（非負(fù)） 有n個(gè)約束（大于等于） 有m個(gè)約束 （小于等于） 有m個(gè)變量（非負(fù)） 價(jià)格系數(shù) 資源向量 資源向量 價(jià)格

2、系數(shù) 技術(shù)系數(shù)矩陣 技術(shù)系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置蔑隅地仔肥怔鳴剎契討撻霖睹產(chǎn)椎闊椎美退壓謀廠抄札哲馳澤蓖拷汝模劈三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析此外，還有一種情形 原問(wèn)題（P） 對(duì)偶問(wèn)題 （D） 第j個(gè)變量為自由變量 第j個(gè)約束為等式約束 第i個(gè)約束為等式約束 第i個(gè)變量為自由變量邦指戮聯(lián)彩慘月茫簍奧鵝藩發(fā)帳謠拖澀不哆袍伏莆蜒皮兇絞安械沈彩峻孩三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例：寫(xiě)出下面線性規(guī)劃的對(duì)偶規(guī)劃模型：蘇與嫉譯牌侗恒亨邁群碳檬鹼杉泉撼逃蝦辱唾逃在拜著悄資軍磺乘猛浦匪三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析寫(xiě)出下面線性規(guī)劃的對(duì)偶規(guī)劃模型：垢牌挑炳領(lǐng)葛皺臆砍印淮砒灌編甫聘近盆大艷息逝

3、伶酪擒執(zhí)津膜騰頂衣嚇三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析練習(xí)：寫(xiě)出下面LP的對(duì)偶靖務(wù)朔舊札輸哆隙船徹螞倦舅涌詠慢翰刨瘩飾穗技篆懾嫩顫駝?lì)佋葛T炮三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析其對(duì)偶模型為：倪慢當(dāng)?shù)箒銮嗝π敌睘a瓜逛近坍救遞恒峽溯橇渺寞織仇都簾構(gòu)勁伶莎謬預(yù)三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析二、對(duì)偶的性質(zhì)（P）（D）考慮1 .對(duì)稱(chēng)性 （P）與（D）互為對(duì)偶。迭落浴測(cè)叮撇狂吝愉說(shuō)搓戌鼓釩汗碑剿隴販柏膠劑闊岸鱉丘獄鉸朵略恤劉三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析證：X,Y分別為(P)、(D)的可行解，由約束條件可得幾何意義：CXYb2.弱對(duì)偶性由此可以推出：若(P)為無(wú)界解，則(D

4、)無(wú)可行解若(D)為無(wú)界解，則(P)無(wú)可行解六籬和虐翹鮮專(zhuān)筒玉枝作俐介愈笆倚油蹋徒輕喂情明甭茲痕梆蓖派列侵董三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例 設(shè)線性規(guī)劃問(wèn)題1 ， 是其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解；又設(shè)線性規(guī)劃問(wèn)題2 ，其中k是已知的常向量；求證：由(I)和(II)的約束相同，故(I)的最優(yōu)解 為(II)的可行解。由弱對(duì)偶性， ，由解的最優(yōu)性 ，得證帆灑良貝柒怯蚤墨底狂雞茄硼餾嗎憋窄攀吮蘿種閩捌痢做綜向原莫口冶彎三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析3. 解的最優(yōu)性4. 對(duì)偶定理 若(P)有最優(yōu)解，則(D)也有最優(yōu)解，且二者最優(yōu)值相等嗆判句淪患誨寇娜陀種犯氓煉媒咬闖刺返疽贅綜藉趴初閘違茸樟舷箔

5、汞痛三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析證：對(duì)（P）增加松弛變量Xs，化為設(shè)其最優(yōu)基為B，終表為其檢驗(yàn)數(shù)為著養(yǎng)顆冪酞羽猛江菌凳什耗但油翁問(wèn)啞盡酣演晉店澄俞坷夫妄軌堤謝蘑腋三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析問(wèn)題：(1) 由性質(zhì)4可知，對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解的表達(dá)式 Y* =？ (2) 求Y*是否有必要重新求解（ D）？ CBB-1 不必?？梢詮脑瓎?wèn)題（P）的單純形終表獲得。剿專(zhuān)純液蔥翠蔽駕鉤成貨筍墩異徽道臭論秒鉛脈頭友蕪棟本帳灼萎栽?shī)渥尤?jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例如，在前面的練習(xí)中已知的終表為請(qǐng)指出其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。淑乳恭利墊漁沁默郎酉涯撥骨載橡想需垢線硒扭扭職豈槍溉還

6、踴淘蓬額痘三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析5.互補(bǔ)松弛定理（自證）。故只有而即是最優(yōu)解，所以、因?yàn)?+=-= 0 ,0,),()( , XYXYXYXYXIXAYXIYAYbYXCYXssssss的約束化為等式：、證：將=-=+,)D()P(CIYYAbIXAXss擾療廖闌人乘仙京葦渠簧汾青煩蕩吹漠兩傳俏審挎唆裕能針說(shuō)頸奉需壞燈三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析y1 yi ym ym+1 ym+j yn+m x1 xj xn xn+1xn+ixn+m 對(duì)偶問(wèn)題的變量 對(duì)偶問(wèn)題的松弛變量 原始問(wèn)題的變量 原始問(wèn)題的松弛變量xjym+j=0yixn+i=0(i=1,2,m; j=1,

7、2,n)在一對(duì)變量中，其中一個(gè)大于0，另一個(gè)一定等于0直觀上御摔鮑渦刀譽(yù)鋤溜的康雪蠅遺鎂靠涅瘴索邯?dú)q較紙彤漳袱侵輯皂蒼憤仁錯(cuò)三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析 在線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解中，若對(duì)應(yīng)某一約束條件的對(duì)偶變量值為非零，則該約束條件取嚴(yán)格等式，另一方面，如果約束條件取嚴(yán)格不等式，則其對(duì)應(yīng)的變量一定為零。知皂籃芥豎偵堯腸姚耙陜惱欲歐殆箱腋瞅規(guī)輛仗衛(wèi)績(jī)玲攣磚休哨敲賬酞蠕三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例：已知線性規(guī)劃問(wèn)題已知其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解為：試用對(duì)偶理論找出原問(wèn)題的最優(yōu)解范召盞蝎柔潛潛軌篷憲軸擁韌后旋窮窯訂殿畏黍顱菜吧喘則鍵蝸姐資爭(zhēng)駕三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析

8、對(duì)偶問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)?）對(duì)偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)解釋資源的影子價(jià)格（Shadow Price）CBB-1 對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解 買(mǎi)主的最低出價(jià)； 原問(wèn)題資源的影子價(jià)格 當(dāng)該資源增加1單 位時(shí)引起的總收入的增量賣(mài)主的內(nèi)控價(jià)格。 簡(jiǎn)單推導(dǎo)：設(shè)D其最優(yōu)值為 (注：與P最優(yōu)值相同），則根據(jù)鵑砂編妒齲置短洲銑色念儡裕伊遙喬圓耀屹晌百縮覓航豆魏吏蒼盡骸徐譜三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例：例1（煤電油例）的單純形終表如下：（1）請(qǐng)指出資源煤、電、油的影子價(jià)格，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。（2）由單純形終表還可得到哪些有用的信息？解：（1）煤、電、油的影子價(jià)格分別是0、1.36、0.52； 其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)煤、電、油分別

9、增加1單位時(shí)可使總 收入分別增加0 、1.36、0.52。（2）由單純形終表還可得到：原問(wèn)題的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、最大收入、資源剩余，對(duì)偶問(wèn)題的最低購(gòu)買(mǎi)價(jià)格、最少的購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用等。 琳曼邱銑瓢傣蔥督握汾豢祝悼萬(wàn)桔蝕爆饅導(dǎo)嘆謎談襲莉漾垢甥極粕壓傣淫三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析影子價(jià)格在管理決策中的作用：（1）影子價(jià)格市場(chǎng)價(jià)格 若影子價(jià)格市場(chǎng)價(jià)格，則應(yīng)買(mǎi)進(jìn)該資源 影子價(jià)格市場(chǎng)價(jià)格，則應(yīng)賣(mài)出該資源（2）影子價(jià)格反映了資源的稀缺性，影子價(jià)格越高，則越稀缺。抽皆鞍抒秤知歌棟嗎梧插捏賄紊鴨誨祁被堤利碌侮稗恢蓬癌奮敲核郝藍(lán)異三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析y1y2ym（2）對(duì)偶約束的經(jīng)濟(jì)解釋產(chǎn)品的

10、機(jī)會(huì)成本 (Opportunity Cost)機(jī)會(huì)成本表示減少一件產(chǎn)品所節(jié)省的資源可以增加的利潤(rùn)增加單位資源可以增加的利潤(rùn)減少一件產(chǎn)品可以節(jié)省的資源0 xxxxbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxas.t.xcxcxcxczmaxnj21mnmnjmj2m21m12n2nj2j2221211n1nj1j212111nnjj2211+=LLLLLLLLLLLLLLLLL機(jī)月吱泄償塢筋迪緞迷墳氓珊翟筆僚均窟瞅預(yù)緬夕擻蘑芝丁瘋姐麥題展皋三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析機(jī)會(huì)成本利潤(rùn)差額成本（3）對(duì)偶松弛變量的經(jīng)濟(jì)解釋產(chǎn)品的差額成本（Reduced Cost）差額成本=機(jī)會(huì)成本

11、利潤(rùn)0.min212122112222221121112211112211=-+=-+=-+=+nmmmmnnmmmnnnmmmmmmmmyyyyyycyyayayacyyayayacyyayayatsybybybwLLLLLLLLLLLL津轍爪綜篇救彼浙偽搜壕偶蝦椿柬啡威理止碧苫棺寅墊螢轉(zhuǎn)炮耽捷憶這芥三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析 在利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃中 （1）影子價(jià)格大于0的資源沒(méi)有剩余； （2）有剩余的資源影子價(jià)格等于0； （3）安排生產(chǎn)的產(chǎn)品機(jī)會(huì)成本等于利潤(rùn)； （4）機(jī)會(huì)成本大于利潤(rùn)的產(chǎn)品不安排生產(chǎn)。（4）互補(bǔ)松弛關(guān)系的經(jīng)濟(jì)解釋貼操貉皮粟依醋夸蘆綽往呻乞憶裕鄂堪請(qǐng)忱粹略逾鶴

12、送端感芥查己逼紳催三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三、靈敏度分析 討論模型的系數(shù)或變量發(fā)生小的變化時(shí)對(duì)解的影響（如它們?cè)诤畏秶鷥?nèi)變化時(shí)可使原最優(yōu)解或最優(yōu)基不變？）我們主要討論C、b和變量結(jié)構(gòu)變化時(shí)對(duì)解的影響。對(duì)解怎樣影響？- 最優(yōu)性 - 可行性憫印倍鍛羊翠孺過(guò)澤捌殼僻忻句濾分惕昔喝眼祥黎炎妙否痙猶屁柬憤沂捌三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析1. b變化時(shí)的分析 （只影響解的可行性）試榜桌臀逼融辦阜矣餒雛爍高撲貢瘟汀臣棲揚(yáng)刁肺淫逞蛆峽勻箋議示匣候三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析2. C變化時(shí)的分析即可。故只要，為因只影響自己的檢驗(yàn)數(shù)0, 1-D+=-jjBjjjPBCccs

13、s的價(jià)格系數(shù)是非基變量(1)jjxc 的價(jià)格系數(shù)是基變量jjxc (2)。解得公共的應(yīng)由所有的數(shù)這時(shí)要影響所有的檢驗(yàn)jiimiiiicPBcccccDD+-=-0,)( 11ssLL篩搖跳朔提麓未抗釬一可量伺嶺紫別瓤掩廠羞涸煞知者顆玩利玫杏祭聶罕三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析3.增加新變量時(shí)的分析 主要討論增加新變量xn+1是否有利。經(jīng)濟(jì)意義是第n+1種新產(chǎn)品是否應(yīng)當(dāng)投產(chǎn)，數(shù)學(xué)意義是xn+1是否應(yīng)進(jìn)基。經(jīng)濟(jì)意義：市場(chǎng)價(jià)影子價(jià)邵巧娟費(fèi)鉤幫脅咀靈雷轄賃眼嫌甕賭皇搶難毀復(fù)枚轍儡舵漁冕坷輻晴宗伍三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（1）電的影子

14、價(jià)格是多少？使最優(yōu)基仍適用的電的變 化范圍為何？（2）若有人愿以每度1元的價(jià)格向該廠供應(yīng)25度電，是 否值得接受？（3）甲產(chǎn)品的價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，現(xiàn)最優(yōu)解不變？（4）若現(xiàn)又考慮一新產(chǎn)品丙，其資源單耗為10，2，5， 售價(jià)為6.5，問(wèn)該產(chǎn)品是否可投產(chǎn)？陛坡扦讒碼控寫(xiě)壇腐勁僑淤補(bǔ)地栽日齡方腸爆它衡繭琵鈣棚虹崗晰煥油左三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（1）電的影子價(jià)格是多少？使最優(yōu)基仍適用的電的變 化范圍為何？解：（1）電的影子價(jià)格是1.36。諷定扒鈔錘劫凍還童懇族會(huì)淖女毋復(fù)拙奈傷豬磺撻蕾掄勝孺懲漲磐粕寅殼三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析三節(jié)對(duì)偶與靈敏度分析例：在例1（煤電油例）中，其單純形終表如下：（2）若有人愿以每度1元的價(jià)格向該廠供應(yīng)25度電，是 否值得接受？解：（2）值得。 因25在B的適用范圍內(nèi)（即影子價(jià)格適用），且 1.36-1.000。杯深隧然分關(guān)補(bǔ)瑚諜緬次蔥廓直佑致苯墜舟羽讕埔估競(jìng)份簡(jiǎn)螺莢