《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》8-6

1、第六節(jié)一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系 空間直線及其方程 第八章 三、實例分析 一、空間直線方程因此其一般式方程1. 一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)直線L的方向向量：平行于已知直線L的非零向量s。2. 對稱式方程故有說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.設(shè)直線上的動點為 則此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程)直線方程為已知直線上一點例如, 當(dāng)和它的方向向量 3. 參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :例1.用對稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點.再求直線的方向向量令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .故所給直線的對稱式方程為參數(shù)

2、式方程為解題思路:先找直線上一點;再找直線的方向向量.是直線上一點二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設(shè)直線 L1, L2 的方向向量分別為 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)特別有:例2. 求以下兩直線的夾角解: 直線L1的方向向量為直線L2的方向向量為二直線夾角 的余弦為(參考P45 例2 )從而當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角為線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;2. 直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足直線和它在平面上的投影直特別有:解: 取已知平面的法向量則直線的對稱式方程為直的直線方程

3、. 為所求直線的方向向量. 垂 例3. 求過點(1,2 , 4) 且與平面例4 設(shè)M0(x0, y0, z0)是平面： 外一點，求M0 到平面的距離. M0Nnd=?解1 可先求得過點M0且與平面垂直的直線L的方程,然后再求平面與直線L的交點N坐標,最后由兩點的距離公式即得所求.直線L的方程為代入平面的方程得于是M0 到平面的距離為于是交點N的坐標為:解2:利用投影(P42)3、平面束平面束：通過定直線L的所有平面的全體. 設(shè)L的一般方程為 A1x+B1y+C1z+D1=0， (1) A2x+B2y+C2z+D2=0， (2)其中系數(shù)A1，B1，C1與A2，B2，C2不成比例. 1(A1x+B

4、1y+C1z+D1)+ 2 (A2x+B2y+C2z+D2) =0 平面束方程注平面束方程(3) 中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0。 平面束方程通常寫成 A1x+B1y+C1z+D1+ (A2x+B2y+C2z+D2) =0 (3) 解 直線L在平面上的投影可視為與過L且垂直于的平面1的交線. 因為1是通過L的平面束中的一個平面，于是可設(shè)1的方程為由與1垂直知 (1+)1+(1-)1+(-1+)1=0,得=-1.從而1的方程為 y-z-1=0.所以投影直線的方程為 x+y-z-1+（x-y+z+1) =0.其法向量為n=1+，1-，-1+.1L這是投影平面這是給定的平面例5. 求直

5、線在平面上的投影直線方程.三、實例分析例6. 求與兩平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交線提示: 所求直線的方向向量可取為利用點向式可得方程平行, 且 過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程. 例7. 求直線與平面的交點 . 提示: 化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 從而確定交點為（1，2，2）.例8. 求過點( 2 , 1 , 3 ) 且與直線垂直相交的直線方程.提示: 先求二直線交點 P. 化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點最后利用兩點式得所求直線方程的平面的法向量為故其方程為過已知點且垂直于已知直線例9. 設(shè)一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量所求為1. 空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式 內(nèi)容小結(jié) 直線2. 線與線的關(guān)系直線夾角公式:平面 :L L / 夾角公式：3. 面與線間的關(guān)系直線 L :到直線的距離為點d作業(yè)P48 2 ，3，5，7，8，9，14，15 P48 題2, 10習(xí)題課 思考與練習(xí)解：相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點及 面的法向量為則所求直線的方向向量方法1 利用叉積. 所以一直線過