高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：10.3拋物線及其性質(zhì)44

1、第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)考綱解讀 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形和及其簡單幾何性質(zhì).命題趨勢探究 拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查拋物線的方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)，題形上，選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，以考查學(xué)生的運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合和分析能力為主. 預(yù)測2019年高考主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)的應(yīng)用，焦點(diǎn)弦是重點(diǎn)考查的內(nèi)容.知識點(diǎn)精講一、拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線. 注 若在定義中有，則動點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn).二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項(xiàng)與對

2、稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標(biāo)準(zhǔn)方程yxOFlyxOFlFyxOl圖形yxOFl對稱軸軸軸頂點(diǎn)原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1. 點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2. 焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3. 的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.4. 焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為.焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為

3、直線與對稱軸的夾角）.5.拋物線的弦若AB為拋物線 的任意一條弦， ，弦的中點(diǎn)為 ，則弦長公式： 直線AB的方程為 線段AB的垂直平分線方程為 6求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法） （1） 焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 (2) 焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 如，即，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線方程為7參數(shù)方程 的參數(shù)方程為 （參數(shù)）8切線方程和切點(diǎn)弦方程 拋物線的切線方程為為切點(diǎn) 切點(diǎn)弦方程為點(diǎn)在拋物線外 與中點(diǎn)弦平行的直線為此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果。題型歸納及思路提示題型143；拋物線的定義與方程思路提示求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為

4、：先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：根據(jù)題目條件列出P的方程解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程 已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切,求的值為（ ）A B C 2 D4解析；拋物線的準(zhǔn)線為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，由與圓相切，知，解得，故選C評注 準(zhǔn)線 是拋物線的重要性質(zhì)，要熟記準(zhǔn)線方程。變式1 【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_解析 評注 當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到軸的距離變式2 設(shè) 為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的

5、圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是（ ）A B C D解析 圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離，即因?yàn)闇?zhǔn)線與圓相切，所以，即，故選C 若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小 ，則點(diǎn)的軌跡為（ ）A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析 解法一：（直接法）設(shè) 依題意有 ，當(dāng) 時(shí)， ，整理得 當(dāng) 時(shí)， ，顯然不成立，故點(diǎn)的軌跡方程為解法二：（定義法）由題意可知，點(diǎn)只能在的右側(cè)，點(diǎn)到直線 的距離等于它到點(diǎn)的距離，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡是拋物線，故選D變式1 設(shè)圓 與圓 外切，與直線 相切，則的圓心軌跡為（ ）A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓解析 依題意，圓心C不可能在軸下方，設(shè)圓C的半徑為，則圓心C到直線的距離為

6、r，由兩圓相切可得，圓心C到點(diǎn)的距離為，即圓心C到點(diǎn)的距離比到直線的距離大1，故點(diǎn)C到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，故點(diǎn)C的軌跡為拋物線變式2 【2016高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為，則p的值為_.解析 拋物線的普通方程為，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，所以，評注 1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理2若P(x0，y0)為拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|x0eq f(p,2

7、)；若過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到 設(shè)拋物線上一點(diǎn) 到 軸的距離是 ，則點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ）A4 B6 C8 D12解析 由焦半徑公式 知點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，故選B變式1 已知拋物線關(guān)于 軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn) ，若點(diǎn) 到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則（ ）A B C4 D 解析 由題設(shè)可設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)，由定義知，所以，故，故選B變式2 已知是拋物線的焦點(diǎn)， 是該拋物線上的兩點(diǎn)， 則線段的中點(diǎn)到軸的距離為

8、（ ）A B C D 解析 因?yàn)?，所以線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為，故選C變式3 設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)， 為該拋物線上三點(diǎn)，若 ，則（ ）A9 B6 C4 D3 解析 設(shè)，且，由得，即，故，故選B 過拋物線 的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn) 在軸上方），則 解析 如圖10-10所示，由題意得準(zhǔn)線，作 于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則 ， ，因?yàn)樵谌切沃校?，即 ，得變式 1 已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于 兩點(diǎn)，設(shè)，則與的比值等于 xBAyCDFH圖10-60解析 如圖10-60所示，由題意得準(zhǔn)線，作于C，于D，于H ，則，因?yàn)樵谥苯侨切蜛HB中，所以，得變式2 【2016年高

9、考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為( )（A）（B）（C）（D）1解析 設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，故選C.題型144 與拋物線有關(guān)的距離和最值問題 思路提示 拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題或點(diǎn)到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。已知直線 和直線，拋物線上一動點(diǎn) 到直線和的距離之和的最小值是（ ）A B3 C D分析

10、 畫出圖形，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化，將距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離。解析 作輔助線如圖10-11所示，連接 拋物線方程為，為其準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為 ，由拋物線的定義可如 ，故選A評注 本題考查拋物線的定義及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想變式 1 已知點(diǎn)是拋物線 上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ）A B3 C D解析由拋物線定義知，故選A變式2 已知點(diǎn)在拋物線上，那么當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D解析 拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于到拋物線的準(zhǔn)線的距離，過P作PE垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)E，過Q作QH垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)H，則，故點(diǎn)P到Q的距離與點(diǎn)P到焦

11、點(diǎn)的距離之和取最小值時(shí)，PQ垂直于準(zhǔn)線，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此得，故選A變式3 【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10解析 設(shè)，直線方程為聯(lián)立方程得同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足由拋物線定義可知當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號.【答案】A題型145 拋物線中三角形，四邊形的面積問題思路提示 解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比。例10.28 在

12、直角坐標(biāo)系中，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，若直線的傾斜角為，則的面積為 解析 解法一：直線的方程為 沒，代入得 解得 得 解法二： 如圖10-12所示，由題意得拋物線的準(zhǔn)線，過作于，于，連接，則，又，故三角形為正三角形，因?yàn)?，所以 ，所以 評注 解法一求出了交點(diǎn) 的坐標(biāo)，從而求得 的面積；解法二利用了拋物線的定義及三角形的性質(zhì)，得出中邊 的高，計(jì)算量較小，方法更簡捷變式1 過拋物線 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（ ） B C D解析 不妨設(shè)，由，可得，進(jìn)而得，直線AF1：，與拋物線聯(lián)立解得，則變式2 【2015高考浙江，理5】如圖

13、，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（ ）A. B. C. D. 解析 ，故選A.評注 本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時(shí)，需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識的復(fù)習(xí).例10.29 拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為 ，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，垂足為，則的面積是（ ）A B C D分析 作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想

14、，在圖中找到三角形的底和高從而使問題得以解決。解析 解法一：如圖10-13所示，由題意可知，準(zhǔn)線方程為，由 ，解得 ，故，因?yàn)橹本€的斜率，所以，則，又，則為正三角形，的底為 ，高為，所以 解法二： 由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，因?yàn)橹本€的斜率為 ，所以，則，又，則為正三角形，則，則 ，所以，選C變式1 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在 上且，則的面積為（ ）A B C D解析 由題意知，準(zhǔn)線為，即，過點(diǎn)A作AB垂直于準(zhǔn)線，垂足為B，由拋物線定義知，由題設(shè)知，所以在直角三角形ABK中，所以，且軸，軸，則，所以，故選B變式2 【2017天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知

15、是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.分析：由于為拋物線焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出所在直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程.解析：（）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，

16、或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.最有效訓(xùn)練題44 最有效訓(xùn)練題44（限時(shí)45分鐘）1拋物線上有一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是3,它到焦點(diǎn)的距離是5,則拋物線的方程為( )A B C D2.若點(diǎn)到直線 的距離比它到點(diǎn) 的距離大1,則點(diǎn)的軌跡為( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 3.已知拋物線 ,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( )A相離 B相切 C相交 D不能確定4. 已知雙曲線的離心率為2,若拋物線 的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線 的方程為( )A B C D5. 等軸雙曲線

17、的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上, 與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn), ,則的實(shí)軸長為( )A B C D6. 已知 為拋物線 上兩點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,過分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn) ,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( )A B C D7. 已知以為焦點(diǎn)的拋物線 上的兩點(diǎn) 滿足，則弦 的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 8若點(diǎn)是拋物線的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則 9已知點(diǎn) ，動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 10已知拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)（1）若有點(diǎn)，求的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值（3）若點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，求的最小值.11已知拋物線方程 （1

18、）若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求拋物線的方程 （2）若動圓過，且圓心在該拋物線上運(yùn)動，是圓和軸的交點(diǎn)，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，是定值？12如圖10-14所示，已知點(diǎn)，均在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合。（1）寫出該拋物線的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo) ； （2）求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）求所在直線的方程.最有效訓(xùn)練題441A 解析 依題意，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，則有，故，拋物線的方程為，故選A2D 解析 依題意，動點(diǎn)P的軌跡到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)P的軌跡滿足拋物線的定義，故選D3B 解析 設(shè)過焦點(diǎn)的弦與拋物線交于點(diǎn)A，B，則(A1，B1為過點(diǎn)A，B向拋物線的準(zhǔn)線作垂線的垂足)，所以，結(jié)合梯形中位線的定義可知以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故選B4D 解析 由雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，所以，則雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離，得，拋物線C2的方程為，故選D5C 解析 設(shè)等軸雙曲線C的方程為，雙曲線C與直線 相交于A，B兩點(diǎn)，且，得，故，則雙曲線C的方