2022年兩條直線平行與垂直的判定教案

1、3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定 三維目標1知識與技能 (1)讓學生掌握直線與直線的位置關(guān)系(2)讓學生掌握用代數(shù)的方法判定直線與直線之間的平行與垂直的方法2過程與方法 (1)利用“ 兩直線平行，傾斜角相等” 這一性質(zhì)，推出兩直線平行的判定方法(2)利用兩直線垂直時傾斜角的關(guān)系，得到兩直線垂直的判定方法3情感、態(tài)度與價值觀 (1)通過本節(jié)課的學習讓學生感受幾何與代數(shù)有著密切的聯(lián)系，對解析幾何有了感性的 認識(2)通過這節(jié)課的學習，培養(yǎng)學生用“ 聯(lián)系” 的觀點看問題，提高學習數(shù)學的興趣(3)通過課堂上的啟發(fā)教學，培養(yǎng)學生勇于探索、創(chuàng)新的精神 重點難點 重點：根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行與垂

2、直難點：兩條直線垂直判定條件的探究與證明重難點突破： 以初中學習的平面內(nèi)兩直線平行和垂直關(guān)系為切入點，利用數(shù)形結(jié)合的思 想，導出直線傾斜角間的關(guān)系，再通過直線的傾斜角同斜率的關(guān)系，猜想得出兩條直線平行 和垂直判定的方式為了更好的理解兩直線垂直的條件，老師可利用幾何畫板直觀演示，驗證當兩條直線的斜率之積為 教學建議1 時，它們是相互垂直的即可本節(jié)課是在學習直線的傾斜角、斜率概念和斜率公式等知識的基礎(chǔ)上，進一步探究如何用直線的斜率判定兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系核心內(nèi)容是兩條直線平行與垂直的判定結(jié)合本節(jié)知識的特點，建議采用引導發(fā)現(xiàn)法，先從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，采用數(shù)形結(jié)合的思想， 把兩條直線平行

3、與垂直的幾何關(guān)系代數(shù)化，由于學生面對的是一種全新的思維方法， 首次接觸會感到不習慣，故教學過程中，教師應采取循序漸進的原則，注意到直線的 傾斜角同斜率的關(guān)系，在幾何關(guān)系代數(shù)化的過程中，注意向?qū)W生滲透分類討論思想 教學流程 創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：直線的平行與垂直同其斜率間分別存在什么關(guān)系？?引導學生回憶初中幾何知識，先建立傾斜角同平行與垂直間的關(guān)系 . ?通過引導學生回答所提問題理解斜率同直線的平行與垂直的關(guān)系 . ?通過例 1及其變式訓練，使學生理解直線的平行同其斜率間的關(guān)系 .? 通過例 2及其變式訓練，使學生理解直線的垂直同其斜率間的關(guān)系 . ?借助直線的斜率公式及傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系，完成

4、例 3及其變式訓練，使學生的知識進一步深化 .? 歸納整理，進行課堂小結(jié)，整體認識本節(jié)課所學知識 . ?完成當堂雙基達標，鞏固所學知識并進行反饋矯正 .1.理解兩條直線平行或垂直的判斷條件(重點 ) 課標解讀2會利用斜率判斷兩條直線平行或垂直(難點 ) 3利用斜率判斷含字母參數(shù)的兩直線平行或垂直時，對字母分類討論 (易錯點 )兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系【問題導思】1若兩條直線平行，其傾斜角什么關(guān)系？反之呢？【提示】兩條直線平行其傾斜角相等；反之不成立2有人說：兩條直線平行，斜率一定相等這種說法對嗎？【提示】不對，若兩直線平行，只有在它們都存在斜率時，斜率相等，若兩直線都垂直于 x 軸，雖然它

5、們平行，但斜率都不存在兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l 1，l2，傾斜角分別為1，2，斜率存在時斜率分別為k1，k2.則對應關(guān)系如下：前提條件12 901290對應關(guān)系l1 l2? k1k2l 1 l 2? 兩直線斜率都不存在圖示兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系【問題導思】1如圖，直線 l 1與 l 2 的傾斜角分別為【提示】21 90. 1 與 2，若 l 1l 2，則 1 與 2 之間存在什么關(guān)系？2當直線 l1 的傾斜角為 0時，若直線 l1l 2，則 l 2 的斜率應滿足什么條件？【提示】直線 l2 的斜率不存在，如圖，當直線 l1 的傾斜角為 0時，若 l1l 2，則 l

6、2 的傾斜角為 90 ，其斜率不存在兩條直線垂直與斜率的關(guān)系對應關(guān)系l1 與 l2 的斜率都存在，分別為k1，k2，l1 與 l 2 中的一條斜率不存在，另一條斜則 l1l 2? k1k2 1率為零，則l 1 與 l 2的位置關(guān)系是l 1l 2圖示兩條直線平行關(guān)系的判定判斷下列各組中的直線 l1 與 l2 是否平行：(1)l 1 經(jīng)過點 A(1， 2)，B(2,1)，l2 經(jīng)過點 M(3,4)，N(1， 1)；(2)l 1 的斜率為 1，l 2 經(jīng)過點 A(1,1)，B(2,2)；(3)l 1 經(jīng)過點 A(0,1)， B(1,0)， l2 經(jīng)過點 M(1,3)，N(2,0)；(4)l 1 經(jīng)過

7、點 A(3,2)，B(3,10)， l2 經(jīng)過點 M(5， 2)，N(5,5)【思路探究】【自主解答】(2)k11，k2依據(jù)兩條直線平行的條件逐一判斷便可(1)k11 21，k2145 4，k1 k2， l1 與 l2 不平行2 113211，k1k2，21l 1 l 2 或 l 1 與 l 2重合(3)k101 1，k21003 1， k1 k2，而 kMA31 2 1，102 1l 1 l 2. (4)l 1 與 l 2 都與 x 軸垂直， l1 l 2. 判斷兩直線平行，要“ 三看 ”：一看斜率是否存在；在斜率都存在時，二看斜率是否相等；若兩直線斜率都不存在或相等時，三看直線是否重合，若

8、不重合則兩直線平行已知直線 l1 經(jīng)過兩點 ( 1， 2)，(1,4)，直線 l 2 經(jīng)過兩點 (2,1)，(x,6)，且 l1 l 2，則 x_. 【解析】直線 l1 的斜率不存在，且l1 l2，l 2的斜率也不存在點(2,1)及(x,6)的橫坐標相同，x2. 【答案】2 兩條直線垂直關(guān)系的判定判斷下列各組中的直線 l1 與 l2 是否垂直：(1)l 1 經(jīng)過點 A(1， 2)，B(1,2)，l2 經(jīng)過點 M(2， 1)，N(2,1)；(2)l 1 的斜率為 10，l 2 經(jīng)過點 A(10,2)，B(20,3)；(3)l 1 經(jīng)過點 A(3,4)， B(3,100) ，l2 經(jīng)過點 M (1

9、0,40)，N(10,40)【思路探究】求出斜率，利用l1l 2? k1k2 1 或一條直線斜率為0，另一條斜率不存在來判斷【自主解答】(1) 直線 l 1 的斜率 k12 22，直線 l 2 的斜率 k21 11 2，k1k21 12 21，故 l1 與 l2 不垂直32 1 (2)直線 l1 的斜率 k1 10，直線 l2 的斜率 k2201010，k1k2 1，故 l1l2. (3)l 1 的傾斜角為 90，則 l1x 軸4040 直線 l2 的斜率 k20，則 l2 x 軸故 l1l 2. 10 10使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟：(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，

10、則直線的斜率不存在，若不相 等，則進行第二步；(2)二用：就是將點的坐標代入斜率公式；(3)三求值：計算斜率的值，進行判斷尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應用斜率公式 要對參數(shù)進行討論已知直線 l1l 2，若直線 l1 的傾斜角為30，則直線 l 2 的斜率為 _【解析】由題意可知直線l 1 的斜率 k1tan 303 3，設(shè)直線 l 2 的斜率為 k2，則 k1 k2 1，k23. 3 【答案】直線平行與垂直關(guān)系的綜合應用已知 A(4,3)，B(2,5) ，C(6,3)，D(3,0)四點，若順次連接 A、B、C、D 四點，試判定圖形 ABCD 的形狀【思路探究】先由圖形判斷四邊形各邊的關(guān)系，猜測

11、四邊形的形狀，再由斜率之間的關(guān)系完成證明【自主解答】A、B、C、D 四點在坐標平面內(nèi)的位置如圖，由斜率公式可得kAB2 4 531 3，kCD36 0 31 3，03kAD 3，3 435 1 kBC622. kABkCD，由圖可知 AB 與 CD 不重合，AB CD. 由 kAD kBC，AD 與 BC 不平行又 kAB kAD1 3 (3) 1，ABAD. 故四邊形 ABCD 為直角梯形1在頂點確定的情況下，確定多邊形形狀時，要先畫出圖形，由圖形猜測其形狀，為下面證明確定目標2證明兩直線平行時，僅k1k2 是不夠的，注意排除重合的情況3判斷四邊形形狀問題要進行到底，也就是要得到最具體的四邊

12、形已知四邊形ABCD 的四個頂點分別為A(0,0)，B(2， 1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形 ABCD 的形狀，并給出證明【解】四邊形 ABCD 是平行四邊形證明如下：如圖所示，AB 邊所在直線的斜率kAB 101 2，20CD 邊所在直線的斜率BC 邊所在直線的斜率DA 邊所在直線的斜率kCD321 2，24kBC2 13 2，42kDA30203 2. 所以 kABkCD， kBCkDA，由題意知 AB CD，BC DA. 故四邊形 ABCD 是平行四邊形分類討論思想在直線平行與垂直中的應用(12 分)已知直線 l1 經(jīng)過點 A(3， a)， B(a1,2)，直線 l2 經(jīng)

13、過點 C(1,2)，D(2，a2)(1)若 l 1 l 2，求 a 的值；(2)若 l 1l 2，求 a 的值【思路點撥】(1) xC xD 斜率存在 , l 1 l2 k1k2 a的值(2) l 1l 2 分情況討論 求a的值【規(guī)范解答】設(shè)直線 l 2 的斜率為 k2，則 k22 a21 2a 3.2 分(1)若 l 1 l 2，設(shè)直線 l 的斜率為 k1，則 k1a 3. 又 k12a，則 a42aa4a 3，a1 或 a6.4 分經(jīng)檢驗，當 a1 或 a6 時， l1 l2. (2)若 l 1l 2，當 k20 時，此時 a0，k11 2，不符合題意 .8 分當 k2 0 時， l 2

14、的斜率存在，此時 k12a. a4由 k2k1 1，可得 a3 或 a 4. 所以，當 a3 或 a 4 時，l1l 2.12 分1由 l 1 l2 比較 k1，k2 時，應首先考慮斜率是否存在，當 重合的情況k1k2 時，還應排除兩直線2由 l1 l2 比較 k 1，k2時，既要考慮斜率是否存在，又要考慮斜率是否為 0 的情況3在 l1 l2 及 l1l 2 相關(guān)問題的處理中，樹立分類討論的意識1兩條直線平行的條件是在兩直線不重合且斜率存在的條件下得出的，即在此條件下有 l 1 l2? k1k2；若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則兩直線也平行2兩條直線垂直的條件也是在兩條直線的斜率都

15、存在的條件下得出的，即在此條件下有 l 1 l2? k1 k2 1；若一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率等于 0，則兩條直線也垂直3在兩條直線平行或垂直關(guān)系的判斷中體會分類討論的思想1已知直線l 1 l2，直線 l 1 的斜率 k12，則直線 l 2的斜率 k2() A不存在B.1 2C2 D12【解析】l1 l2 且 k12，k22. 【答案】C 2已知直線 l 1 的斜率 k18 5，直線 l 2 的斜率 k25 8，則 l1 與 l 2 的位置關(guān)系為 ( ) A平行 B重合C垂直 D無法確定【解析】k1k 2 1，l 1l 2. 【答案】C 2，直線 l 2 上有三點M(3,5)，

16、N(x,7)，P( 1，y)，若 l 1l2，則 x3直線 l 1 的斜率為_，y_. 【解析】l1l 2，且 l 1 的斜率為 2，則 l2 的斜率為1 2，5 2)，試判75x3y5131 2，x 1， y7. 【答案】 17 3 4(1)已知直線 l 1經(jīng)過點 M( 3,0)，N(15， 6)，l 2 經(jīng)過點 R(2，2)，S(0，斷 l 1 與 l 2 是否平行(2)l 1 的傾斜角為45， l 2 經(jīng)過點 P(2， 1)，Q(3， 6)，問 l 1 與 l 2是否垂直？【解】(1) kMN0 61 2，kRS5 23 21 2，l 1 l2. 3 150 2(2)k1tan 451，

17、k26 1 1，3 2k1k21.l1l 2.一、選擇題1下列說法正確的有() 若兩直線斜率相等，則兩直線平行；若 l1 l2，則 k1k2；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行A1 個 B2 個 C3 個 D4 個【解析】當 k1k2 時， l1 與 l2 平行或重合，不成立；中斜率不存在時，不正確；同也不正確只有正確，故選 A. 【答案】A 2經(jīng)過兩點 A(2,3)，B(1，x)的直線 l1 與斜率為 1的直線 l2 平行，則實數(shù) x 的值為 ( ) A0 B 6 C6 D3 【解析】直線 l 1 的斜率 k1x33x 3

18、，由題意可知3x 1，x6. 123【答案】C ) 3若直線 l1，l 2 的傾斜角分別為1，2，且 l 1l2，則 (A1290B 2 190C|12|90D12180【解析】如圖所示由圖 (1)可知 1290，由圖 (2)可知 2190，|12|90. 【答案】C ) 2)，4過點 (3，6)，(0,3)的直線與過點 (6，2)，(2,0)的直線的位置關(guān)系為(A垂直B平行6，C重合D以上都不正確【解析】過點 (3，6)，(0,3)的直線的斜率k136323；過點 (0(2,0)的直線的斜率k22032.因為 k1k2 1，所以兩條直線垂直故選A. 62【答案】A 5以 A(1,1)，B(2

19、， 1)，C(1,4)為頂點的三角形是() A銳角三角形 B鈍角三角形 C以 A 點為直角頂點的直角三角形 D以 B 點為直角頂點的直角三角形【解析】kAB11 212 3，kAC41 113 2，kABkAC 1，ABAC，A 為直角【答案】C 二、填空題6若 A(4,2)，B(6， 4)，C(12,6)， D(2,12)，則下面四個結(jié)論：AB CD ； ABCD； AC BD； ACBD.其中正確的序號是_【解析】kAB3 5， kCD3 5，kAC1 4，kBD 4，kABkCD，kAC kBD 1，AB CD，ACBD . 【答案】7經(jīng)過點 M(m,3)和 N(2，m)的直線 l 與斜

20、率為 4 的直線互相垂直， 則 m 的值是 _【解析】由題意知，直線 MN 的斜率存在，MN l，kMNm32m1 4，解得 m14 5 . 【答案】1458(2013 洛陽高一檢測 )已知平行四邊形 D 的坐標為 _ABCD 中，A(1,1)，B( 2,3)，C(0， 4)，則點【解析】設(shè) D(x， y)，由題意可知，AB CD 且 AD BC. kABkCD 且 kADkBC，3121y4 x，4302y1，解得 x3，y 6，x1D 點的坐標為 (3， 6)【答案】(3， 6) 三、解答題圖 3 15 9如圖 3 15，在 ?OABC 中， O 為坐標原點，點 C(1，3)(1)求 OC

21、 所在直線的斜率(2)過 C 作 CD AB 于 D，求直線 CD 的斜率【解】(1) 點O(0,0)，C(1,3)，30OC 所在直線的斜率 kOC3. 10(2)在?OABC 中， AB OC，CD AB，CD OC，kOCkCD 1，kCD1 kOC 1 3. OPQR 的頂點按逆時針順序依次是O(0,0)， P(1，t)，故直線 CD 的斜率為1 3. 10在平面直角坐標系中，四邊形Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中 t(0， )，試判斷四邊形【解】OP 邊所在直線的斜率kOPt，t，1t，QR 邊所在直線的斜率kQRt2 212t 2tOR 邊所在直線的斜率kOR1 t. PQ

22、 邊所在直線的斜率kPQ2t t12t 1kOPkQR，kORkPQ，OP QR，OR PQ，四邊形 OPQR 是平行四邊形又 kQRkOR t (1 t) 1，QROR. 四邊形 OPQR 是矩形OPQR 的形狀，并給出證明11已知 A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求 D 點的坐標， 使四邊形 ABCD 為直角梯形 (A、B、C、D 按逆時針方向排列 )【解】設(shè)所求點 D 的坐標為 (x，y)，如圖由于直線 AB 的斜率 kAB3，直線 BC 的斜率 kBC0，則 kABkBC0 1，即 AB 與 BC不垂直故AB、BC 都不可作為直角梯形的直角邊D(1)若 CD 是直角梯形的直角邊，則BCCD， ADCD . kBC0，CD 的斜率不存在從而有x3. y3 又直線 AD 的斜率 kADkBC，x0，即 y3.此時 AB 與 CD 不平行故所求點的坐標為 (3,3)，(2)若 AD 是直角梯形的直角邊，則 ADAB，ADCD . y3 y y3kADx，直線