結(jié)構(gòu)化學(xué)第四章 分子對(duì)稱(chēng)性1

1、 第四章 分子對(duì)稱(chēng)性Chapter 4. Molecular Symmetry4.1 對(duì)稱(chēng)操作與對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)操作與對(duì)稱(chēng)元素4.2 對(duì)稱(chēng)操作群及對(duì)稱(chēng)元素的組合對(duì)稱(chēng)操作群及對(duì)稱(chēng)元素的組合4.3 分子點(diǎn)群分子點(diǎn)群4.4 分子偶極矩和極化率分子偶極矩和極化率4.5 分子的手性和旋光性分子的手性和旋光性4.6 群的表示群的表示 Contents 第四章目錄 判天地之美,析萬(wàn)物之理。 莊 子 在所有智慧的追求中，很難找到其他例子能夠在深刻的普遍性與優(yōu)美簡(jiǎn)潔性方面與對(duì)稱(chēng)性原理相比. 李政道對(duì)稱(chēng)性概念對(duì)稱(chēng)性概念 對(duì)稱(chēng)在科學(xué)界開(kāi)始產(chǎn)生重要的影響始于對(duì)稱(chēng)在科學(xué)界開(kāi)始產(chǎn)生重要的影響始于1919世紀(jì)世紀(jì). .發(fā)展到近

2、代，我們已經(jīng)知道這個(gè)觀念是發(fā)展到近代，我們已經(jīng)知道這個(gè)觀念是晶體學(xué)、分子學(xué)、原子學(xué)、原子核物理學(xué)、化晶體學(xué)、分子學(xué)、原子學(xué)、原子核物理學(xué)、化學(xué)、粒子物理學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)的中心觀念學(xué)、粒子物理學(xué)等現(xiàn)代科學(xué)的中心觀念. . 近年近年來(lái)，對(duì)稱(chēng)更變成了決定物質(zhì)間相互作用的中心來(lái)，對(duì)稱(chēng)更變成了決定物質(zhì)間相互作用的中心思想（所謂相互作用，是物理學(xué)的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，思想（所謂相互作用，是物理學(xué)的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，意思就是力量，質(zhì)點(diǎn)跟質(zhì)點(diǎn)之間之力量）意思就是力量，質(zhì)點(diǎn)跟質(zhì)點(diǎn)之間之力量）. . 楊振寧楊振寧生物界的對(duì)稱(chēng)性自然規(guī)律的對(duì)稱(chēng)性自然規(guī)律的對(duì)稱(chēng)性電偶極躍遷選律電偶極躍遷選律 g g g u u g u u分子軌道對(duì)稱(chēng)性守恒

3、分子軌道對(duì)稱(chēng)性守恒泡利原理泡利原理1111(1)(1)(2)(2)ssss 電荷對(duì)稱(chēng)電荷對(duì)稱(chēng): : 一組帶電粒子一組帶電粒子極性互換極性互換, 其相互作其相互作用不變用不變(但在弱相互但在弱相互作用下這種對(duì)稱(chēng)被作用下這種對(duì)稱(chēng)被部分破壞部分破壞). 文學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性文學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性回文回文 將這首詩(shī)從頭朗誦到尾將這首詩(shī)從頭朗誦到尾, 再反過(guò)來(lái)再反過(guò)來(lái), 從尾到頭去朗誦從尾到頭去朗誦, 分別都是一首絕妙好詩(shī)分別都是一首絕妙好詩(shī). 它們可以它們可以合成一首合成一首“對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性”的詩(shī)，其中每一首相當(dāng)于一首的詩(shī)，其中每一首相當(dāng)于一首“手性手性”詩(shī)詩(shī). 悠悠綠水傍林偎日落觀山四望回幽林古寺孤明月冷井寒泉碧映

4、臺(tái)鷗飛滿(mǎn)浦漁舟泛鶴伴閑亭仙客來(lái)游徑踏花煙上走流溪遠(yuǎn)棹一篷開(kāi)開(kāi)篷一棹遠(yuǎn)溪流走上煙花踏徑游來(lái)客仙亭閑伴鶴泛舟漁浦滿(mǎn)飛鷗臺(tái)映碧泉寒井冷月明孤寺古林幽回望四山觀落日偎林傍水綠悠悠對(duì)稱(chēng)性在化學(xué)中的意義對(duì)稱(chēng)性在化學(xué)中的意義1）簡(jiǎn)明表達(dá)分子構(gòu)型和晶體結(jié)構(gòu)；簡(jiǎn)明表達(dá)分子構(gòu)型和晶體結(jié)構(gòu)；2）簡(jiǎn)化分子構(gòu)型的測(cè)定工作，減少計(jì)算量；簡(jiǎn)化分子構(gòu)型的測(cè)定工作，減少計(jì)算量；3）幫助正確了解分子和晶體性質(zhì)；幫助正確了解分子和晶體性質(zhì)；4）指導(dǎo)化學(xué)合成工作。指導(dǎo)化學(xué)合成工作。一個(gè)對(duì)稱(chēng)性的例子分子的波函數(shù)一個(gè)對(duì)稱(chēng)性的例子分子的波函數(shù)1111(1) (1)(1) (1)1(2) (2)(2) (2)2ssss2H對(duì)稱(chēng)性的定義對(duì)稱(chēng)性

5、的定義：體系包含若干等同部分，這些部分相對(duì)體系包含若干等同部分，這些部分相對(duì)( (對(duì)等，對(duì)應(yīng)對(duì)等，對(duì)應(yīng)) )而而相稱(chēng)相稱(chēng)( (適合，相當(dāng)適合，相當(dāng)) )，這些部分能經(jīng)過(guò)不改變其內(nèi)部任何，這些部分能經(jīng)過(guò)不改變其內(nèi)部任何兩點(diǎn)間距離的兩點(diǎn)間距離的對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作所復(fù)原。所復(fù)原。對(duì)稱(chēng)性的本質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性的本質(zhì)：不變性不變性 4.1 分子的對(duì)稱(chēng)操作與對(duì)稱(chēng)元素分子的對(duì)稱(chēng)操作與對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)操作：對(duì)稱(chēng)操作：不改變圖形中任意兩點(diǎn)間距離不改變圖形中任意兩點(diǎn)間距離而能使圖形復(fù)原的操作，而能使圖形復(fù)原的操作，每個(gè)每個(gè)對(duì)稱(chēng)操作可以用一個(gè)對(duì)稱(chēng)算符對(duì)稱(chēng)操作可以用一個(gè)對(duì)稱(chēng)算符表示表示對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)元素: :旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)元素：對(duì)

6、稱(chēng)元素：對(duì)稱(chēng)操作據(jù)以進(jìn)行的幾何要對(duì)稱(chēng)操作據(jù)以進(jìn)行的幾何要素叫做素叫做對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)操作是一個(gè)或多個(gè)動(dòng)作對(duì)稱(chēng)操作是一個(gè)或多個(gè)動(dòng)作對(duì)稱(chēng)元素則是幾何實(shí)體對(duì)稱(chēng)元素則是幾何實(shí)體對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作: : 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)1804.1.1 旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)操作是將分子繞通過(guò)其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度旋轉(zhuǎn)操作是將分子繞通過(guò)其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度使分子復(fù)原的操作，旋轉(zhuǎn)依據(jù)的對(duì)稱(chēng)元素為旋轉(zhuǎn)軸。使分子復(fù)原的操作，旋轉(zhuǎn)依據(jù)的對(duì)稱(chēng)元素為旋轉(zhuǎn)軸。 n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 基本操作基本操作 旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)方向 逆時(shí)針逆時(shí)針1nnCC基轉(zhuǎn)角基轉(zhuǎn)角: : =(360/n)能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)

7、角1234360360360180123603601209034CCCC12331223112313C13C13C131323CCC 13131333CCCC mnCm為整數(shù)，進(jìn)行為整數(shù)，進(jìn)行m次基本操作次基本操作 ，分子總能復(fù)原，分子總能復(fù)原 對(duì)于對(duì)于C4軸，可得如下操作：軸，可得如下操作：E對(duì)于一個(gè)保持原狀的操作（或保持不動(dòng)）稱(chēng)為恒等對(duì)于一個(gè)保持原狀的操作（或保持不動(dòng)）稱(chēng)為恒等操作。恒等操作用操作。恒等操作用E表示，算符為表示，算符為E軸對(duì)應(yīng)的操作一共有軸對(duì)應(yīng)的操作一共有n個(gè)，即：個(gè)，即：121,nnnnnCC CCEn稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)軸的軸次，旋轉(zhuǎn)操作進(jìn)行稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)軸的軸次，旋轉(zhuǎn)操作進(jìn)行n次后分子

8、恢復(fù)為次后分子恢復(fù)為全同構(gòu)型全同構(gòu)型1111444444 C C C CC11134444 C C CC12C112444 C CC14C123312123E13C23C23123C13C12213333 C CC CEmn mnnnnC CCE11ABBA逆操作逆操作: : 若若 , ,則則 為為 的逆，反之的逆，反之 也為也為 的逆。的逆。 BBAAABBAE 寫(xiě)為寫(xiě)為顯然，顯然，對(duì)于對(duì)于 ，逆操作為逆操作為mnCn mnC操作和逆操作操作和逆操作分子中常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)軸分子中常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)軸2CCOCOOHHNHHH3C4CPtClClClCl2-5C6CFe 主軸和副軸主軸和副軸一個(gè)圖形中軸次最

9、高的軸為主軸；其它軸為副軸。一個(gè)圖形中軸次最高的軸為主軸；其它軸為副軸。4.1.2 反演操作和對(duì)稱(chēng)中心反演操作和對(duì)稱(chēng)中心反演操作是從圖形中任一點(diǎn)至對(duì)稱(chēng)中心連一直線(xiàn)，將反演操作是從圖形中任一點(diǎn)至對(duì)稱(chēng)中心連一直線(xiàn)，將此線(xiàn)延長(zhǎng)，必可在和對(duì)稱(chēng)中心等距離的另一側(cè)找到另此線(xiàn)延長(zhǎng)，必可在和對(duì)稱(chēng)中心等距離的另一側(cè)找到另一相應(yīng)點(diǎn)。反演依據(jù)的對(duì)稱(chēng)元素為對(duì)稱(chēng)中心。一相應(yīng)點(diǎn)。反演依據(jù)的對(duì)稱(chēng)元素為對(duì)稱(chēng)中心。 ii對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心 基本操作基本操作 12 ,ii iE 對(duì)應(yīng)的操作有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的操作有兩個(gè)niniEn奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù) 可以知道可以知道 FeOCOPtClClClCl2-有對(duì)稱(chēng)中心的分子（有對(duì)稱(chēng)中心的分子（中心

10、對(duì)稱(chēng)分子中心對(duì)稱(chēng)分子）沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心的分子：沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心的分子：NHHHHCHHH4.1.3 反映操作和鏡面反映操作和鏡面反映操作是反映操作是使圖形中的每一點(diǎn)都反映到該點(diǎn)到鏡面垂使圖形中的每一點(diǎn)都反映到該點(diǎn)到鏡面垂線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上鏡面另一側(cè)等距離處。反映的對(duì)稱(chēng)元素線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上鏡面另一側(cè)等距離處。反映的對(duì)稱(chēng)元素是鏡面。是鏡面。 鏡面鏡面 基本操作基本操作nnEn奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù) 可以知道可以知道 對(duì)應(yīng)的操作有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的操作有兩個(gè)12,E 當(dāng)分子中同時(shí)含有對(duì)稱(chēng)軸和鏡面時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與鏡當(dāng)分子中同時(shí)含有對(duì)稱(chēng)軸和鏡面時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與鏡面的關(guān)系，可以對(duì)鏡面進(jìn)行分類(lèi)面的關(guān)系，可以對(duì)鏡面進(jìn)行分類(lèi)ClClClC3h

11、 h 垂直于主軸垂直于主軸 (horizontal) v 通過(guò)主軸通過(guò)主軸 (vertical) d 通過(guò)主軸且平分副軸的夾角通過(guò)主軸且平分副軸的夾角(diagonal/dihedral)HHHHHHC2C2d d d dC2C2C2鏡面對(duì)稱(chēng)性：鏡面對(duì)稱(chēng)性：分子與它在鏡中的像完全相同，沒(méi)有任分子與它在鏡中的像完全相同，沒(méi)有任何差別，包括沒(méi)有左右手那樣的差別。何差別，包括沒(méi)有左右手那樣的差別。手性：手性：分子與它在鏡中的像不相同，如同左右手那樣。分子與它在鏡中的像不相同，如同左右手那樣。4.1.4 旋轉(zhuǎn)反演操作和反軸旋轉(zhuǎn)反演操作和反軸 nC i旋轉(zhuǎn)反演操作：先旋轉(zhuǎn)反演操作：先繞軸轉(zhuǎn)繞軸轉(zhuǎn)360

12、/n，接著按軸上的中心點(diǎn)，接著按軸上的中心點(diǎn)進(jìn)行反演進(jìn)行反演nIiCI3II反軸反軸 基本操作基本操作I412341234ii14C14C1234例：例：CH4（放在正方體中）（放在正方體中）123429不同軸次的不同軸次的I所包含的操作所包含的操作111111iCiI：1IECiI21221hCiI12112：2IECiI222221I = i33I =i+C2hI =13113CiI ：3I2323223CCiI1343443CCiIECiI63663iCiI333332353553CiCiI4I ：14114CiI 1224224CCiIECiI4444434334CiI 4I的操作中沒(méi)

13、有的操作中沒(méi)有i和和C4的全部操作，的全部操作，是是真正的反軸真正的反軸5I：11223344555555555667283555555559410555,IiCICIiCICIiICCIiCICIiCIE3hC6I5iC 5I111122131662636362425516636636 ,hhhhIiCC CCICIiCICIiCCIE6I ：由此可知：對(duì)于反軸由此可知：對(duì)于反軸In有有In Cn + i 2n個(gè)操作個(gè)操作 n為奇數(shù)為奇數(shù) Cn/2 + h n個(gè)操作個(gè)操作 n為偶數(shù)但不是為偶數(shù)但不是4的倍數(shù)的倍數(shù) In n個(gè)操作個(gè)操作 n為為4的倍數(shù)的倍數(shù)( (同時(shí)有同時(shí)有Cn/2與與 之重

14、疊之重疊) ) 4.1.5 旋轉(zhuǎn)反映操作和映軸旋轉(zhuǎn)反映操作和映軸旋轉(zhuǎn)反映操作：旋轉(zhuǎn)反映操作：繞軸轉(zhuǎn)繞軸轉(zhuǎn)360 /n，接著按垂直于軸的鏡面，接著按垂直于軸的鏡面進(jìn)行反映進(jìn)行反映nnhhnSCC旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸Cn和垂直于和垂直于Cn鏡面鏡面 h的組合的組合不同軸次的不同軸次的S所包含的操作所包含的操作1S：11111hhSC22211hSCE2S ：1122hSCi22222hSCEh1S =3h3S =+Ci2S =3S ：13113CSh2323223CCShhhCS333331343443CCSh2353553CCShhECSh636634S ：4S的操作中既沒(méi)有的操作中既沒(méi)有 h，也沒(méi)有，

15、也沒(méi)有C4，是是真正的映軸真正的映軸3Ci6S5S ：ESCCSCCSCCSCCSCSCCSCCSCCSCShhhhhhhhhhhhh,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,105459595358585257575565655555454545353535252525555hC5S14114CSh3434334CCShh1224224CCShECSh444446S ：ECSCiCSCCSiCSCSCiCShhhhh)(,)(,)(,)(,666635656234646363632623663I由此可知：對(duì)于映軸由此可知：對(duì)于映軸Sn有有Sn Cn/2 + i n個(gè)操作個(gè)操作 n為為

16、偶數(shù)但不是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)的倍數(shù) Cn + h 2n個(gè)操作個(gè)操作 n為為奇數(shù)奇數(shù)Sn n個(gè)操作個(gè)操作 n為為4的倍數(shù)的倍數(shù)映軸與反軸的關(guān)系：映軸與反軸的關(guān)系：S2 iS3 h + C3S4獨(dú)立獨(dú)立S1 I2 I1 I6 I4 I3S6 C3 + iIn= Sn/2 n為偶數(shù)但不為為偶數(shù)但不為4的倍數(shù)的倍數(shù) In= S2n n為奇數(shù)為奇數(shù)In= Sn n為為4的倍數(shù)的倍數(shù)對(duì)稱(chēng)元素和對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)元素和對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)元素對(duì)稱(chēng)元素旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)第一類(lèi)對(duì)稱(chēng)操第一類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作，作，實(shí)實(shí)操作操作旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸第一類(lèi)對(duì)稱(chēng)元第一類(lèi)對(duì)稱(chēng)元素素反演反演第二類(lèi)對(duì)稱(chēng)操第二類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作，作，虛虛操作操作對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中

17、心第二類(lèi)對(duì)稱(chēng)元第二類(lèi)對(duì)稱(chēng)元素素反映反映鏡面鏡面旋轉(zhuǎn)反演旋轉(zhuǎn)反演反軸反軸旋轉(zhuǎn)反映旋轉(zhuǎn)反映映軸映軸4.1.6 對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示在一定的坐標(biāo)系下，對(duì)物體進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作使得其對(duì)應(yīng)在一定的坐標(biāo)系下，對(duì)物體進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作使得其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)發(fā)生改變，對(duì)這種坐標(biāo)的變化關(guān)系，可以使用的坐標(biāo)發(fā)生改變，對(duì)這種坐標(biāo)的變化關(guān)系，可以使用矩陣來(lái)描述。矩陣來(lái)描述。211 1122133221 1222233231 1322333xR xR xR xyR xR xR xzR xR xR xxyzP(x2,y2,z2)P(x1,y1,z1)x1y1z1111213212212223121313233RRRxxyR

18、RRyzzRRR111xR yz1 1）旋轉(zhuǎn)操作：）旋轉(zhuǎn)操作：22cossin022sincos0001knkknnkkCnnzyzxP(x,y,z)P(x,y,z) q qrr取取z軸為旋轉(zhuǎn)軸，進(jìn)行如下操作：軸為旋轉(zhuǎn)軸，進(jìn)行如下操作：, ,knCP x y zPx y z 例如：可求例如：可求 的表示矩陣：的表示矩陣：14C1422cossin044cos90sin90001022sincos0sin90cos90010044001001001C1331022cos120sin120031sin120cos1200022001001C例如：求例如：求C3軸的旋轉(zhuǎn)操作的表示矩陣。軸的旋轉(zhuǎn)操作的

19、表示矩陣。23310cos 2 120sin 2 12002231sin 2 120cos 2 1200022001001C 33100010001CE2）反演操作：）反演操作：100010001i反演操作的表示矩陣：反演操作的表示矩陣：zyxPzyxPzyxPi, , ,xxyyzz可得：可得：取對(duì)稱(chēng)中心位于原點(diǎn)取對(duì)稱(chēng)中心位于原點(diǎn)100010001xy反映操作的表示矩陣：反映操作的表示矩陣：3）反映操作）反映操作取鏡面與取鏡面與xy面平行并通過(guò)原點(diǎn)面平行并通過(guò)原點(diǎn)zyxPzyxPzyxPxy, , ,xx yy zz可得：可得：100010001xz100010001yz同理可得：同理可得：

20、4）旋轉(zhuǎn)反演操作旋轉(zhuǎn)反演操作10002cos2sin02sin2cos100010001nnnn111nnCiI 11nnIiC10002cos2sin02sin2cosnnnn取取z軸為旋轉(zhuǎn)軸，對(duì)稱(chēng)中心位于原點(diǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸，對(duì)稱(chēng)中心位于原點(diǎn)由關(guān)系式由關(guān)系式得得對(duì)于對(duì)于10002cos2sin02sin2cos100010001nknknknkknkknCiI10002cos2sin02sin2cosnknknknkknknCIknknCiI當(dāng)當(dāng)k偶數(shù)偶數(shù)當(dāng)當(dāng)k奇數(shù)奇數(shù)例例 I4操作矩陣操作矩陣 ( (z軸為旋轉(zhuǎn)軸軸為旋轉(zhuǎn)軸) )11213344442444,IiCICIiCIE1422coss

21、in04401 022sincos01 0 044011001Ii 214210 001 000 1IC3344IiC100001010100001010100010001441 0 00 1 00 0 1IE5）旋轉(zhuǎn)反映操作旋轉(zhuǎn)反映操作取取z軸為旋轉(zhuǎn)軸，鏡面與軸為旋轉(zhuǎn)軸，鏡面與xy面平行并通過(guò)原點(diǎn)面平行并通過(guò)原點(diǎn)knkxyknCSknknCSknxyknCS當(dāng)當(dāng)k偶數(shù)偶數(shù)當(dāng)當(dāng)k奇數(shù)奇數(shù)10002cos2sin02sin2cos100010001nknknknk10002cos2sin02sin2cosnknknknk例例 S4操作矩陣操作矩陣 ( (z軸為旋轉(zhuǎn)軸軸為旋轉(zhuǎn)軸) )1233444

22、42444,hhSCSCSCSE1422cossin04401022sincos010044001001hS3344hSC1 000100100 101001000 01001001 4.2 對(duì)稱(chēng)操作群及對(duì)稱(chēng)操作的組合對(duì)稱(chēng)操作群及對(duì)稱(chēng)操作的組合4.2.1 群的定義群的定義當(dāng)集合當(dāng)集合G: : 構(gòu)成群，該集合應(yīng)定義了乘法并構(gòu)成群，該集合應(yīng)定義了乘法并滿(mǎn)足下列條件：滿(mǎn)足下列條件：,CBA(3) 存在逆元素存在逆元素EAAAAGAGA,111(4) 滿(mǎn)足結(jié)合律滿(mǎn)足結(jié)合律CBACBA)()(AEAGEGA,(2) 存在單位存在單位( (恒等恒等) )元素元素EGCCBAGBGA,(1) 封閉性封閉性群

23、的階：群元素的數(shù)目稱(chēng)為群的階，一般用群的階：群元素的數(shù)目稱(chēng)為群的階，一般用h表示。表示。有限群和有限群和無(wú)限群無(wú)限群：群中元素的數(shù)目有限的群為有限：群中元素的數(shù)目有限的群為有限群，群中元素的數(shù)目無(wú)限的群為無(wú)限群。群，群中元素的數(shù)目無(wú)限的群為無(wú)限群。子群：當(dāng)一個(gè)群中的部分元滿(mǎn)足前述四個(gè)條件時(shí)，子群：當(dāng)一個(gè)群中的部分元滿(mǎn)足前述四個(gè)條件時(shí)，則這部分元構(gòu)成的群稱(chēng)為該群的子群。子群的階是則這部分元構(gòu)成的群稱(chēng)為該群的子群。子群的階是該群的階的一個(gè)因子。該群的階的一個(gè)因子。例例1. Cn軸的軸的n個(gè)旋轉(zhuǎn)操作個(gè)旋轉(zhuǎn)操作G: 構(gòu)成群。構(gòu)成群。例例2. 所有整數(shù)的集合所有整數(shù)的集合G:0, 1, 2, ,，并定義

24、群中并定義群中任意兩個(gè)元素的乘積為兩個(gè)整數(shù)的和，即任意兩個(gè)元素的乘積為兩個(gè)整數(shù)的和，即AB = A + B，則則集合集合G構(gòu)成群。構(gòu)成群。121,nnnnE CCC例例3. 水分子中水分子中所有的對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成群。所有的對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成群。一個(gè)分子具有的全部對(duì)稱(chēng)元素所對(duì)應(yīng)的全部一個(gè)分子具有的全部對(duì)稱(chēng)元素所對(duì)應(yīng)的全部對(duì)稱(chēng)操對(duì)稱(chēng)操作作形成一個(gè)形成一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)群。每個(gè)對(duì)稱(chēng)操作成為對(duì)稱(chēng)。每個(gè)對(duì)稱(chēng)操作成為對(duì)稱(chēng)操作點(diǎn)群中的一個(gè)群元素，操作點(diǎn)群中的一個(gè)群元素，對(duì)稱(chēng)操作群中的對(duì)稱(chēng)操對(duì)稱(chēng)操作群中的對(duì)稱(chēng)操作可以連續(xù)使用，構(gòu)成群元素之間的乘法作可以連續(xù)使用，構(gòu)成群元素之間的乘法4.2.2 群的乘法表群的乘法

25、表將將h階群的階群的h個(gè)元素分別排成一行和一列，在行坐標(biāo)個(gè)元素分別排成一行和一列，在行坐標(biāo)和列坐標(biāo)的交點(diǎn)處按照列元素和列坐標(biāo)的交點(diǎn)處按照列元素行元素的規(guī)則作用，行元素的規(guī)則作用，即先作用行元素，再作用列元素。即先作用行元素，再作用列元素。121211221212yzxzyzxzxzyzyzyzxzxzxzyzECEECCCEECCE例：例：H2O分子分子對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作群的乘法表群的乘法表例例2 C3v群的乘法表群的乘法表C3v：,233cbaCCE群的乘法表的特點(diǎn)：群的乘法表的特點(diǎn)：F同類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作（同為第一類(lèi)或同為第二類(lèi)）相乘同類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作（同為第一類(lèi)或同為第二類(lèi)）相乘得第一類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作，異類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作（第一類(lèi)和第得第一類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作，異類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作（第一類(lèi)和第二類(lèi)，或第二類(lèi)和第一類(lèi)）相乘得第二類(lèi)對(duì)稱(chēng)操二類(lèi)，或第二類(lèi)和第一類(lèi)）相乘得第二類(lèi)對(duì)稱(chēng)操作。作。F重排定理重排定理4.2.3 對(duì)稱(chēng)元素的組合對(duì)稱(chēng)元素的組合12 R R分子中往往存在不止一個(gè)對(duì)稱(chēng)元素，而兩個(gè)對(duì)稱(chēng)元素分子