考研曲線積分和曲面積分

1、第十章第十章積分學 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對弧長的曲線積分 第十章 內容小結1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質性質kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(

2、),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果曲線如果曲線 L 的方程為

3、的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中其中L1是曲線是曲線L在在x軸右側的那一部分；關于軸右側的那一部分；關于y軸對軸對稱也有類似結論。稱也有類似結論。10,( , )( , )2( , ) ,( , )LLf x yyf x y dsf x y ds

4、f x yy當關于 為奇函數(shù)；當關于 為偶函數(shù)l對稱性的應用：1.如果曲線關于x軸對稱，函數(shù)f(x,y)關于y為奇偶函數(shù)，則2.設f(x,y)在曲線連續(xù)，曲線L關于原點對稱，函數(shù)f(x,y)關于（x,y）為奇偶函數(shù)，則其中其中L1是曲線是曲線L在右半平面或上半平面的那一部分在右半平面或上半平面的那一部分。10,( , )( , )( , )2( , ) ,( , )( , )LLf x yx yf x y dsf x y dsf x yx y當關于為奇函數(shù)；當關于為偶函數(shù)例1. 計算計算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標系下它在第一象限部分為)40

5、(2cos:1 arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 d d s例2. 計算計算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式

6、=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節(jié)第二節(jié)1、對坐標的曲線積分的概念、對坐標的曲線積分的概念 與性質與性質2、 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對坐標的曲線積分 第十章 1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),( 性質(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的

7、反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 計算計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos

8、,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節(jié)第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關的二、平面上曲線積分與路徑無關的 等價條件等價條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 格林公式及其應用 第十章 LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內部靠左域的內部靠左定理定理1. 設區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林

9、公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導數(shù),一、 格林公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理2. 設D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關, 只與起止點有關. 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內是某一函數(shù)的全微分,即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yx說明:根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內,

10、xQyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 真題研討真題研討21.(09)2Lxds已知L:y=x (0 x)，則sinsinsinsinsinsin22

11、.(030,0(2)2xxxxLLxxLxyDxedyyedxxedyyedxxedyyedx ）已知D:，L為 的正向邊界，試證:(1)23.(99)=(sin()(cos)(2 ,0)2xxLeyb xy dxeyaxLAaaxx求Idy，其中a,b為正的常數(shù), 為從點沿曲線y=到點(0,0)的弧.224.(00)4Lxdyydxxy求I=，其中L是以點（1,0）為中心，R為半徑的圓周（R1)取逆時針方向.225.(04)2Lxdyydx設L為正向圓周x +y =2在第一象限中的部分，則26.(08)(0,0)sinsin 22.LLAxxdx設為從點沿曲線y=到點(,0)的弧,則（x -

12、1）dy2222238.(12)243(2 )LLxx ydxxxy dy 已知 是第一象限中從點（0,0）沿x +y = 到點(2,0),再沿x +y = 到點(0,2)的曲線段，計算J=2227.(11)2LLyxzdxxdydz設 是柱面x +y =1與平面z=x+y的交線，從z軸正向看去為逆時針方向，則229. 97()():2Lzy dxxy dzLLxyz（） 求（ x-z)dyx +y =1其 中,從 z軸 正 向 看的 方 向 順 時 針 .第四節(jié)第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質 二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法機動

13、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對面積的曲面積分 第十章 1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設,),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對面積的曲面積分的概念、性質和計算對面積的曲面積分的概念、性質和計算對稱性的應用對稱性的應用設關 于 yoz對 稱 ， 則若 關于另外兩個坐標面有對稱性，也有類似結論10,( , , )( , , )( , , )( ,

14、, )f x y zf x y z dSf x y z dSf x y z當關于x是奇函數(shù)，當關于x是偶函數(shù)例3. 計算計算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第五節(jié)第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束